01 专项练习实数及其性质1、2学生2015秋季 初二竞赛进度一

12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 1 / 9 12 教育数学竞赛与自招专题复习 第一轮课内的基础知识已经学完. 接下来的半年时间，我们将一起考察数学知识中一些重要的 方面，有部分内容超出了课内，隶属于自招、竞赛或高中的知识，但只是描述性的定义和概念，同 学们只需要严格根据定义进行分析即可. 每堂课都会从相关的课内的知识和概念说起，逐步过渡到 更深的层次. 到最后，有些题目变得比较困难，或是非常抽象，或设置了重重关卡，但往往都离不 开简单的直觉. 碰到这些题目时，需要学生和老师们共同探索，尝试不同的可能，可能过程会很艰 辛，但收获一定非常丰厚. 讲授这些问题时，不建议老师用灌输的方法，而是请老师一起加入到学生的讨论中，老师点拨 得越少，学生能收获得越多. 也希望同学们能够放弃对老师的依赖，开动脑筋从各个角度来切入问 题. 老师的工作重点应该是打扫战场，解完题目后说清楚题目与基本概念、技巧之间的联系，并在 基本概念上做广泛的、扎实的探讨. 由于各班程度差异，竞赛难度的题目根据班级具体情况量体裁衣，选择讲或不讲，不讲的题目 由老师选择通过微信或 qq 等方式将答案公布. 第一讲 实数及其性质（2-2.5 课时） 实实数的简单历史数的简单历史 很多古文化在发展时都产生了正整数的观念、记法和运算. 对正整数性质进行完全研究的是古 希腊的毕达哥拉斯学派（公元前 6-5 世纪） ，并且他们坚信世界上的任何自然现象都可以最终化为 整数或整数之比（即分数） ，即“万物皆数”. 不久，学派中的一人（希帕索斯）发现了2，它无法 表示为两个正数之比，第一个无理数诞生. 由于无理数的出现危害到了毕氏学派的理论根基，希帕 斯因此被扔到了爱琴海中，惨遭谋杀. 在接下来长达 2000 年的岁月中，数学家都一直没有把无理 数当成一个数，而仅仅认为它是一个几何量（例如，2表示了腰长为 1 的等腰直角三角形的斜边 长）. 直到 17 世纪第二次数学危机时，才承认和接受了无理数作为数的存在，并在接下来的一两百 年中建立了完备的实数理论，推动了微积分的发展. 0 和负数的应用都主要归功于印度人， 而且从历史上来看， 它们的正式出现比无理数出现得晚很 多（公元 5 世纪和 7 世纪）. 就 0 来说，很奇怪的是，即便在古希腊如此发达的古代文明中都没有 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 2 / 9 产生这个数，也许是那些古代文化搞不清楚 0 和“空无”、“没有”的区别是什么. 0 的出现使得十进 制位数计数法得以可能，大大方便了记录和运算. 负数最早出现在九章算术中，印度人在公元 7 世纪将其运算法则进行了完善. 西方数学家们直到 17 世纪才完全接受了负数的概念. 在整个数字历史发展的过程中，要搞清楚的事情就是：很多概念像负数和无理数一样，从其发 现时开始将被数学家们抵制几百年甚至上千年. 但没关系，数学的发现往往都不是现世有用的，如 今看似抽象、无用的概念和方法在数百年后也许就能应用在生活的方法面面. 正如庄子云：无用之 用方为大用. 实数分类实数分类 整数 有理数有限小数或无限循环小数 分数实数 无理数 无限不循环小数 实数的性质归纳实数的性质归纳 性质性质 1：两个有理数之间必存在无数个有理数：两个有理数之间必存在无数个有理数. 这个性质称为有理数的稠密性，它说明有理数是密密麻麻地分布在数轴上，更确切一些，一条 任意短的线段上都有无穷多个表示有理数的点. 即便如此，数轴上面仍然有无数个“洞”， 若把 “水”倒在数轴上，“水”会漏下去. 即有理数稠密但不连续.有理数集还不是完备的数集. 性质性质 2：任何有理数都可以表示为既约分数：任何有理数都可以表示为既约分数 p a q 的形式的形式. 性质性质 3：实数与数轴上的：实数与数轴上的点一一对应点一一对应. 这个性质表明实数的连续而完备的. 性质性质 4：任意两个实数之间必存在无穷多个有理数：任意两个实数之间必存在无穷多个有理数. 性质性质 5：设：设, a b为有理数，为有理数，为无理数，则为无理数，则0ab当且仅当当且仅当0ab. 性质性质 5 推论： 设推论： 设, , ,x y a b是有理数，是有理数，nm是无理数， 则是无理数， 则 nn xymabm 当且仅当当且仅当 xa yb . 无理数的判定方法无理数的判定方法 这部分内容是自招、竞赛考试的重点. （0）m（m 不为完全平方数）是无理数不为完全平方数）是无理数. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 3 / 9 （1）反证法. 假设数 a 为有理数，则 a 可表示为既约分数 p a q 的形式，再根据整数性质去构造矛盾. （2）利用整系数方程有理根的判定定理）利用整系数方程有理根的判定定理. 设整系数方程：设整系数方程： 1 110 .00 nn nnn a xaxa xaa 有有理数根有有理数根 p q （其中（其中 p、q 为互质的整数） ，则为互质的整数） ，则 0 p a， n q a. 只要将有理根进行代入即可得到该判定定理. 【背景知识背景知识】 1. 25的平方根是 . 729 相反数的立方根是 . 2. 17 的六次方根可以用分数指数幂表示为 . 3. 已知21.414，204.472， 200 ，0.002 . 4. 3的小数部分是 . 绝对值小于91的所有整数有 个. 5. 若 2 2 11 2xx xx ，则 x 的取值范围是 . 6. 已知 2 9241643xxx，x 的取值范围是 . 7. 将循环小数化为分数：1.6 ，0.657 . 8. 分数指数幂 m n p 化为根式可以表示为 . 9. 当221x 时，代数式 2 24xx的值为 . 10. 找到一个整系数方程，使得其根为23，它是 . 11. 已知, a b都是有理数，且23ab，则ab . 12. 已知方程 2 3 1360 xxa有有理数根，则有理数 a 的值为 . 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 4 / 9 13. 判断正误，错的举出反例. （1）两无理数之和一定为无理数； （2）有理数和无理数之和一定为无理数； （3）有理数和无理数之积一定为无理数. 【自招部分自招部分】 14. 证明：2是无理数. 15. 证明： （1）23是无理数； （2） 3 23是无理数. 16. （复旦附中）证明： （1） 若 a，b，ab均是有理数，则a、b均为有理数； （2） 若 a，b，c，abc均是有理数，则a、b、c均为有理数. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 5 / 9 17. 证明：2730是无理数. 18. 已知 121ff， 21,1,2,.f nf nf n n ， 记 n a表示 f n的个位数码， 求证： 12 0. . n aaa是有理数. 19. 证明：任意有理数都能化为有限个分母为完全平方数的单位分数之和. 20. 证明或证伪：存在无理数, ，使得 是有理数. 21. 证明：不存在这样的两个既约分数，它们的和与它们的积都是整数. 22. 求不定方程 222xy的有理数解. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 6 / 9 23. 若, ,a b c为两两不相等的有理数，求证： 222 abbcca 是有理数. 24. 化简下列各式： （1） 用分段函数表示： 222 69441025xxxxxx； （2） 33 2525； （3） 33 8181 3333 aaaa aa 25. 设 s 为大于 4 的整数，存在两个实数 u，v 满足uvuvs ，求证：u，v 都是无理数. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 7 / 9 26. 求 6 23的整数部分. 27. 已知32x ，求 65432 2 22 322xxxxxx的值. 28. 设 axb S cxd ，, , ,a b c d是有理数，x 是无理数，求证： （1） 当bcad时，s 是有理数； （2）当bcad时，s 是无理数. 29. 设正整数 n 是非完全平方数，a，b 是两个正整数. （1） 求证：n必介于 a b 和 anb ab 之间； （2）求 a b 和 anb ab 之中更接近n的数. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 8 / 9 30. 若是有理系数有理系数 12 ,., n a aa（1n）的代数方程 1 110 .0 nn nn a xaxa xa 的根，那么 叫做代数数. 请证明： （1）每一个有理数都是代数数； （2）2，黄金分割比，cot22.5也都是代数数. 【竞赛部分竞赛部分】 31. 证明：若既约分数 p q （p，q 为正整数）是循环小数，则其循环节位数不超过1q位. 32. 证明：2, 3, 6不可能是一个等差数列中的三项. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 9 / 9 33. 如图，给出平面