《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析

2020/6/15,1,第二章线性控制系统的运动分析,线性定常齐次状态方程的解矩阵指数函数状态转移矩阵线性定常非齐次状态方程的解,2020/6/15,2,预备知识：线性定常系统的运动,1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。,齐次状态方程的解：,2020/6/15,3,第一节线性定常齐次状态方程的解,2020/6/15,4,满足初始状态的解是：,一、直接求解：,1、标量齐次微分方程：,线性定常齐次状态方程的求解方法：直接求解，拉氏变化求解,2020/6/15,5,求解过程：仿标量方程求解,待定系数法！,2020/6/15,6,二、拉氏变换求解：,两边取拉氏变换得：,整理得：,与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：,本节小结：,2020/6/15,7,第二节矩阵指数函数的性质和计算方法,2020/6/15,8,一、矩阵指数函数的性质：,2020/6/15,9,5、对有：,4、对于nn阶方阵A和B：如果A和B可交换，即AB=BA，则如果A和B不可交换，即ABBA，则,由定义证明,2020/6/15,10,7、如果A是nn阶对角阵，则也是nn阶对角阵：,则有：,如果：,证明：根据定义证,2020/6/15,11,8、如果是mm阶的约当块：,则有：,证明：略。根据定义证。,2020/6/15,12,其中是约当块,其中是对应约当块的矩阵指数函数。,9、当A是约当矩阵时：,则有：,2020/6/15,13,二、矩阵指数函数的计算：,直接求解法：根据定义拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换待定系数法：凯莱哈密顿（简称C-H）定理,2020/6/15,14,2、用拉氏变换法求解：,关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。,2020/6/15,15,其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。,（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型,对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于的特征向量，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。,2020/6/15,16,（2）当A具有n重特征根：约当标准型,其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。,约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得。,2020/6/15,17,4、待定系数法：将化为A的有限项多项式来求解：,说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。,设nn维矩阵A的特征方程为：,（1）凯莱哈密顿（以下简称C-H）定理：,则矩阵A满足其自身的特征方程，即：,2020/6/15,18,由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。,并令即可得到如下的结论：,即：,将此式代入的定义中：,2020/6/15,19,1）A的特征值两两相异时，,推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。,注意：,推导时可看到：,2020/6/15,21,注意求逆,2）A的特征值为(n重根）,推导：此时只有一个方程：,缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，得到其余n-1个方程,说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。,2020/6/15,22,例：求以下矩阵A的矩阵指数函数,解：1）用第一种方法定义求解：(略）,2）用第二种方法拉氏变换法求解：,2020/6/15,23,3）用第三种方法标准型法求解：,得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。,先求特征值：,2020/6/15,24,2020/6/15,25,4）用第四种方法待定系数法求解.,在第3种方法中已经求得特征根，所以得：,求得矩阵指数函数如下：,2020/6/15,26,或者：由和得到：从而求出系数,2020/6/15,27,例：求以下矩阵A的矩阵指数函数,分析：用CH定理求解,先求特征值：,求得：,当时，有,当（二重根）时，有,上式对求导1次，得到另一个方程：,2020/6/15,28,得到方程组：,写成矩阵形式为：,整理得：,2020/6/15,29,可以求出：,所以：,可以求出矩阵指数函数。,本节小结：矩阵指数函数的9个性质，4种计算方法,2020/6/15,30,第三节状态转移矩阵,2020/6/15,31,一、线性定常系统的状态转移矩阵,线性定常系统的齐次状态方程：,满足初始状态的解是：,满足初始状态的解是：,已知：,线性定常系统的状态转移矩阵,2020/6/15,32,说明1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵,1）状态转移矩阵初始条件：,2）状态转移矩阵满足状态方程本身：,说明2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身,说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵,2020/6/15,33,二、状态转移矩阵的性质,1、对于线性定常系统：,说明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。,不变性,2、对于线性定常系统：,3、对于线性定常系统：,传递性,说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步：先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。,证明:,同时有:,比较x(t2)的两种表达形式有:,2020/6/15,35,4、对于线性定常系统：,可逆性,说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。说明：由性质1、3证明,6、对于线性定常系统：,2020/6/15,36,三、与状态转移矩阵相关的问题,1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用直接求解。,2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。,4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。,本节小结：,2020/6/15,37,例已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：,试求状态转移矩阵。,解：设，则：,则有：,所以：,2020/6/15,38,第四节线性定常非齐次状态方程的解,2020/6/15,39,若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：,一、直接求解法,初始状态引起的响应，零输入响应,输入引起的响应,零状态响应,说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。,2020/6/15,40,证：,1）先把状态方程写成,3）对上式在区间内进行积分，得:,直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数,2）两边左乘，再利用的性质,2020/6/15,