04第四章_李雅普诺夫稳定性理论.ppt

第四章,动态系统的稳定性分析,1稳定性基本概念,2李雅普诺夫意义下的稳定性,3李雅普诺夫第一法,4李雅普诺夫第二法,5线性定常系统渐近稳定性判别法,1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别,教学要求：,研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线性系统),1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应，最优控制，非线性控制等。,主要内容：李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先线性化。李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造Lyapunov标量函数。,一、稳定性基本概念1.自治系统：输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)2.初态：=f(x,t)的解为初态3.平衡状态：系统的平衡状态a.线性系统,第一节李雅普诺夫稳定性定义,A非奇异：,解唯一,平衡点只有一个,令,例：,b.非线性系统,A奇异：,4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。,系统不一定都存在平衡点；但系统也可能有多个平衡点；平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。,说明：,二、李雅普诺夫意义下的稳定性,定义4-2：,几何意义：,实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定,无摩擦，等幅振荡,定义4-3(渐近稳定)：,球受外力离开平衡点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。,几何意义,物理意义,定义4-4(大范围渐近稳定)：,必要条件：只有一个平衡点。,定义4-5(不稳定)：,说明：,(1)若系统渐近稳定，则对于x=Ax而言，A特征值应均有负实部。,(2)若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡点。,(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。,第二节李雅普诺夫间接法,李氏间接法利用系统矩阵A的特征值或者说系统极点来判断系统稳定性。对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得到一近似的线性化方程，然后再进行判断。一、线性定常系统的稳定性,(1)李氏稳定A的约当标准形J中，实部为0的特征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均有负实部。,说明：,例：,李氏稳定,不稳定,李氏稳定,李氏稳定,不稳定,李氏稳定,(2)渐近稳定A的特征值均具有负实部。,(3)不稳定A的特征值中至少有一个有正实部。,说明：,(1)劳斯判据依然适用。(2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。,例：,求A的特征值：,得A特征值：,不稳定,例：,判xe=0平衡点的稳定性。,解A的特征值：对应约当块是二维。,例：,判xe=0平衡点的稳定性。,解A的特征值：,实部为0的特征值对应约当块是一维的.,BIBO稳定:若输入u(t)有界，则输出y(t)也有界。称有界输入有界输出稳定。BIBO稳定性由G(s)极点决定。系统状态的稳定性由A的特征值决定。,零点多项式,极点多项式,例：,判xe=0平衡点的渐近稳定与BIBO稳定。,说明：渐近稳定是真正的系统稳定，包含BIBO稳定。BIBO稳定可能内部状态不稳定，不包含渐近稳定。,二、非线性系统的稳定性,非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判断时，应先线性化。,高阶导数项,判定法：,说明：,(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;,例：,两个负实根，渐近稳定,和,有一个正实根，不稳定,例：,所以，系统在处不稳定,实部为0，不能由A来判断稳定性,第三节李雅普诺夫直接法,李氏直接法通过找一个能量函数V(x)来判断系统的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定；V(x)增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都可以找到能量函数。一、函数的定号性,例：,二、二次型,例：,V(x)的定号性完全由P来确定。P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。,P的顺序主子式：,希尔维斯特判据,例：,P的顺序主子式都大于0P是正定的V(x)正定,例：,不定,例：,负定,Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建立在用能量分析稳定性的基础上。,例：,若无摩擦能量不变李氏稳定有摩擦能量减小渐近稳定,能量变化始终0不稳定,例：,如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M,用V(x)表示系统的能量：,V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增大而趋于坐标原点。,坐标原点是渐近稳定。,定理4-2：,对李氏函数的讨论：,(1)V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。,(2)对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。,(3)V(x)的最简单形式是二次型函数，其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但V(x)并不一定都是简单的二次型。,(4)V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。,(5)由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如高阶非线性系统或时变系统。,(6)只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。,例：,解：,显然是正定的,且有连续一阶偏导,判稳定性。,例：,判稳定性。,始终位于圆上,状态与平衡点的距离,例：,判稳定性。,(1),(2),(*),解：,(3),代入方程(*)中,由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。,例：,判稳定性。,解：,说明：系统的稳定域在单位圆内。,例：,判稳定性。,解：,二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法),定理4-3：,进一步：,证明：,说明:(1)这种方法并不适用于所有系统;,例：,判稳定性。,解：,例：线性定常系统,判稳定性。,解：,例：线性定常系统,判稳定性。,解：,若用克拉索夫斯基方法：,无法判定,进一步说明此方法并不是适用于所有的系统。,三、李雅普诺夫方程,P应为正定实对称矩阵,则,任意确定一正定矩阵Q，则