福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（一）数学（文）试题（含答案）

12017 届福州外国语学校高三适应性考试（一） 数学（文）试卷 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题： 本大题共 题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 UR ，集合 2 0 M x x x ，则 ） A | 0 1 B | 0 1 C | 0 1x x x或 D | 0 1x x x或 2 设 i 是虚数单位，则 3211是（ ） A i1 B i1 C i1 D i1 3 设命题 p 和 q ，在下列结论中，正确的是（ ） 为真是 为真的充分不必要条件； 为假是 为真的充分不必要条件； 为真是 p 为假的必要不充分条件； p 为真是 为假的必要不充分条件 . A. B. C. D. 4 已知数列 列 n 项和为 已知 2,57123 5a（ ） A21B21C 2 D 2 5 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 6 已知 414t a n,52t a n ， 则 的值为 （ ） 外语见长 文理兼优 全面发展 2A、1813B、 61C、 2213D、2237一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A316B332C 16 D 32 8已知点 P 是抛物线 241 上的一个动点，则点 P 到点 A(0, 2)的距离与点 P 到 y 轴 的距离之和的最小值为 ( ) A 2 B 1 C 5 D 15 9 已知 m1，在约束条件1，目标函数 z=x+最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A )21,1( B ),21( C )3,1( D ),3( 10 已知等差数列 d ，且1a，3a，131 1a， 2 163的最小值为（ ） A 3 B 4 C 2 3 2 D 9211 已知双曲线以锐角 顶点 B、 C 为焦点，经过点 A，若 角的对边分别为 a、 b、 c，且 a=2， b=3，23a 此双曲线的离心率为（ ） A. 2 73B. 2 73C. 73 D. 73 12关于函数 2 x ，下列说法 错误 的是（ ） A 2x 是 B函数 y f x x有且只有 1 个零点 C存在正实数 k ，使得 f x 恒成立 D对任意两个正实数12,21若 12f x f x，则124 3二、填空题： 本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13 已知平面向量 a , b 满足 5a a b ，且 2a , 1b ,则向量 a 与 b 夹角的正切值为_. 14 点 内部的点是圆 1)1(),( 22 则 的概率 _. 15 在一组样本数据1 1 2 2 6 6( , ) , ( , ) , , ( , )x y x y x 所有样本点 ( , )1, 2, , 6)i L 都在曲线 2 13y 附近波动经计算 6111 ， 6113 ， 6 2121 ，则实数 b 的值为 16 已知曲线 x x 在点 1,1 处的切线与曲线 2 21y a x a x 相切，则 a= 三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17、 （本小题满分 12 分） 在 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已知 222,s i n ， 222,s 且 ； （ ） 求角 B 的大小 ; （） 设 222s i n s i n s i B C ,求 T 的取值范围 . 18（本小题满分 12 分） 已知某中学联盟举行了一次 “盟校质量调研考试 ”活动为了解本次 考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为 100 分，得分取正整数，抽取学生的分数均在 50,100 之内）作为样本（样本容量为 n）进行统计按照 50, 60) ， 60,70) ， 70,80) ， 80,90) ， 90,100 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在 50,60) ， 90,100 的数据） 4成绩 （ 分 ）频率组距 0100 . 040 0161009080706050O（ ）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、 y 的值； （ ）在选取的样本中，从成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名学生参加 “省级学科基础知识竞赛 ”，求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 90,100 内的概率 19（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱111 中， 211 901 D 为 中点， （）求证：平面 11 （）求三棱锥 体积 20 （本题满分 12 分） 已知1, 2 ： 22 1 ( 0 )xy 的左、右焦 点， 过椭圆右焦点 率为 k （ 0k ）的直线交于 两点，1周长为 8，且椭圆 C 与圆 223相切。 （ ）求椭圆 的方程； （ ）设 A 为椭圆的右顶点，直线 F, 分别交直线 4x 于点 ，线段 中点为 P ，记直线2k ，求证 为定值 A B C D 1 621（本小题满分 12 分） 设函数 2( ) 2 ( 4 ) l nf x a x a x x （ 1）若 ()f x 在 14x处的切线与直线 40 平 行，求 a 的值； （ 2）讨论函数 ()f x 的单调区间； （ 3）若函数 ()的图象与 x 轴交于 ,段 点的横坐标为0x， 求证：0( ) 0 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22.（本小题满分 10 分） 【选修 4何证明选讲】 如图， 圆 O 的直径， C、 F 是圆 O 上的两点， 过点 F 作圆 O 的切线 点 D. 连接 点 E. （ 1）求证： E； （ 2）若 ， ，求圆 O 的面积 . 23.（本小题满分 10 分） 【选修 4标系与参数方程】 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线 C 的方程为 22 ，点 )6,32( A. （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和点 A 的直角坐标； （ 2）设 B 为曲线 C 上一动点，以 对角线的矩形 一边平行于极轴， 求矩形 长的最小值及此时点 B 的直角坐标 . 24. （本题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】 已知函数 2)( 误 !未找到引用源。 （ 1）解不等式： 2)1()( 误 !未找到引用源。 （ 2）若 0a 错误 !未找到引用源。 ，求证： ( ) ( 2 ) ( )f a x f a a f x 72017 届福州外国语学校高三适应性考试（一） 数学（文）试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A C D A D A B D C 13、 3 14、4 23 15、 5716、 8 17、 解：（ 1） 2 2 22 2 2s i n 2 c o s c o s B s i n c o s2 s i n s i n 2 c o s c o s s i n c o sC b a c a c B c C a b C b C B Cc a b ,1 分 因为 C ,所以 s i n c o s 2 s i n c o s s i n c o A B C B, 2 分 所以 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n ( ) s i B C C B B C A ,4 分 因为 A ,所以 1因为 0 B ,所以 3B;6 分 （）222 1 3 1s i n s i n s i n ( 1 c o s 2 ) ( 1 c o s 2 )2 4 2T A B C A C 7 分 7 1 7 1 4 ( c o s 2 c o s 2 ) c o s 2 c o s 24 2 4 2 3A C A A 8 分 37 1 1 7 1 c o s 2 s i n 2 c o s 24 2 2 2 4 2 3A A A 9 分 因为 203A,所以 4023A,故 523 3 3A ,10 分 因此 11 c o s 232A ,所以 3924T 12 分 18. 解： （ ）由题意可知，样本容量 8 500 . 0 1 6 1 0n ， 2 分 2 0 . 0 0 45 0 1 0y ， 4 分 0 . 1 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 1 0 0 . 0 1 6 0 . 0 4 0 0 . 0 3 0x 6 分 （ ）由题意可知，分数在 80,90 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为1 2 3 4 5, , , ,a a a a a，分数在 90,100内的学生有 2 人，记这 2 人分别为12,取 2 名学生的所有情况有 21 种，分别为 : 1 2 1 3 1 4 1 5 1 1 1 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a a a a a a a b a b a a a a a a a b a b 3 4 3 5 3 1 3 2 4 5 4 1 4 2 5 1 5 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b. 8 分 8其中 2 名同学的分数恰有一人在 90,100 内的情况有 10 种， 10 分 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 90,100 内的概率 10 12 分 19. 解： （ ）取 点为 O ，连结 1 因为 ，所以 1 又 111 ， 所以 面 因为 面 以 3 分 由已知，1，又 ， 所以1因为 1， 所以 面11 面 所以平面 面11 6 分 （ ）三棱锥 体积 =三棱锥 1 的体积 由（ ）知，平面 面11面 面 11 , 1 , 1面 11所以 面1 ,即 面1 , 点 1B 到 距离 , 31 9 分 121 A B D 11 分 所以3 3313111 B C V 12 分 20. 解： （ ）由题意得 221 8 , 4 8 , 4 3E F F a a b 焦 点 的 周 长 为 且3 分 所求椭圆 C 的方程为 134 22 4 分 （ ）设过点 2 1,0l 方程为： )1( 设点 ),( 11 点 ),( 22 5 分 将直线 l 方程 )1( 入椭圆 134:22 整理得： 01248)34( 2222 6 分 A B C D 19因为点2以直线 l 和椭圆都相交， 0 恒成立， 且34 8 2221 34 1242221 7 分 直线 方程为： )2(21 1 直线 方程为： )2(22 2 令 4x ，得点1124,2，2224,2， 所以点 P 的坐标124, 22 8 分 直线2 1 212022 1 ( )4 1 3 2 2x y 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 3 ( ) 4113 2 ( ) 4 3 2 ( ) 4y x x y y y k x x k x x kx x x x x x x x 10 分 将34 124,34 8 22212221 入上式得： 22224 1 2 82 3 4114 3 4 34 1 2 83 244 3 4 3k kk kk k 所以 为定值 1 . 12 分 21. 解： （ 1）由题知 )( 定义域为 ),0( ，且x )4(4)(2 又 )(图象 在414 行， 4)41( f，即 41)4(16144 6a 3 分 （ 2）x 1)(14(1)4(4)(2 ， 由 0x ，知4 0 当 0a 时，对任意 0)(,0 )( ),0( 上单调递增。 当 0a 时，令 0)( 解得 1， 10当 10 时， 0)( 当 1时， 0)( 此时， )(单调递增区间为 )1,0(a，递减区间为 ).,1( a 7 分 （ 3）不妨设 )0,(),0,( 21 且120 ，由（ 2）知 0a ，则 要证 0)( 立，只需证：0 1x a即1212xx a 21 1 1 1( ) 2 4 l n 0f x a x a x x ， 22 2 2 2( ) 2 4 l n 0f x a x a x x ， 两式相减得： 221 1 1 2 2 22 ( 4 ) l n 2 ( 4 ) l n 0a x a x x a x a x x ， 即 221 2 1 2 1 2 1 2( 2 2 ) 4 ( ) l n l n 0a x x x x x x x x ， 221 1 2 21 1 2 2221 4 l n 4 l nx x x xa x x x x ，故只需证 221 2 1 1 2 21 1 2 2222 4 l n 4 l nx x x x x xx x x x ， 即证明 221 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) 4 l n l n 4 2 4 2x x x x x x x x x x ， 即证明12121222l n l n ，变形为11212222， 设12xt x (0 1)t ，令 22( ) tg t t t ，则214() ( 1)gt 22( 1)( 1) ， 显然当 0t 时， 0)( 当且仅当 1t 时， )(=0， )( ),0( 上 是增函数 又 0)1( g ， 当 )1,0(t 时， ( ) 0总成立，命题得证 12 分 2