有限元与数值方法【PPT课件】

2 给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，要求得六个角点的位移。或者是要求三角形角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？ 采用瑞雷里兹法求近似式解 3 1 v1 v2 u2 v3 u3 ,2( , , ) , ( , , )0 U V D d p u d s Su x y z N x y z B d p N d s 为 三 角 形 为 三 个 顶 点令 代 入 ,其 中 ， 是 三 个 顶 点 的 六 个 位 移 组 成 的 向 量2. 平面问题的三角形单元 ： （ 1）三节点三角形单元 3 单元分析（构造） 1(i) 2(j) 3(k) 对节点 1： 1 1 2 1 3 11 1 2 1 3 1u x yv x y 对节点 2： 2 1 2 2 3 22 1 2 2 3 2u x yv x y 对节点 3： 3 1 2 3 3 33 1 2 3 3 3u x yv x y 3节点三角形单元： 1 2 31 2 3u x yv x y 221 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6.u x y x x y yv x y x x y y 单元内任一点位移： 线性插值 平面 u1 u2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3111u x yu x yu x y 11 1 1 12 2 2 23 3 3 3111x y ux y ux y u 形函数（插值函数） 11 2 3 23, , , ,vv x y N x y N x y N x y 同理： 11 1 1 12 2 2 23 3 3 311 2 3 231, 1 1 11, , ,x y uu x y x y x y x y ux y x y N x y N x y 所以 u1 2 3 u3 v1 v2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 31,21,21,2N x y a b x c x y a b x c x y a b x c 11( , , )j j j ji i ik k k kx y y xa b c i j kx y y x 其中： 1(i) 2(j) 3(k) 33221111121以上系数可由 3三角形单元形函数的具体形式为： 三节点三角形平面单元的形函数 6 三角形的面积坐标 30 0 11102201 1 11 1 10 1 12 2 20 1 1i j j j j j jk k k k k j P k x x y yx x y yx y x y x yx x y y x y x yx x y y x y x y j k P A i 以上推导利用了行列式的线性变化性质 三角形的面积坐标用直角坐标表示为： 同理，三角形的面积用直角坐标表示为： 11121x i j k P A i 三角形的面积坐标 定义：三角形的面积坐标为 / ; / ; /i i j j k A L A A L A A 面积坐标的特点： ( 1 , 0 , 0 ) ; ( 0 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 0 , 1 )i j k（ 1）三个角点的面积坐标分别为 （ 1）面积坐标不相互独立： 1i j L 8 i j k P A i 用面积坐标表示的形函数 三角形的面积坐标与直角坐标的关系： 11/1211( ) ( ) ( )2i i j k k j j k k A x y x y y y x x x 1, ( 1 , 2 , 3 )2i i i iN x y a b x c y 与前述三角形形函数 对比知 三角形的面积坐标就是形函数，即 ( 1 , 2 , 3 ) i10 (1) 1, 0i j j x y (2) 31,1x y 3121 2 331211 2 321 2 330, 0 00, 0 00000 0 0Nu x y N x y N N 位移： 1 i j k 1 i j k 1 1 思考：物理意义是什么？ 11 求导，可得到单元内任一点的应变和位移关系： 0000x y x )()()(21)()()(21 对位移函数 12 1 2 31 2 31 2 3000000 0 0 B 00 单元应变矩阵 0 0 010 0 02j j i j j m b c b c b c 进一步表示为： 定义单元应变矩阵： 则单元内应变可表示为： 常应变 13 应力： B S 单元应力矩阵 称为单元应力矩阵 14 单元应变能和外力势能的矩阵表达 1()21 2x x y y x y x h d x d yh d x d y d xd d xd 2121应变能 i j m x y h D )( B将 代入，得到 15 由于 和 到积分号外，上式可写成 12 U B D B h d x d y 引入单元刚度矩阵 k： A T h d x d 注意到其中 单元刚度阵 k的一般式是 k B D B d v 单元应变能和外力势能的矩阵表达 单元应变能写成 21 16 单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力 、 表面力和集中力 。 自重属于体积力范畴 。表面力指作用在单元表面的分布载荷 ， 如风力 、 压力 ， 以及相邻单元互相作用的内力等 单元应变能和外力势能的矩阵表达 （ 1）单元上体积力具有的势能 A （ 2）单元表面力的势能 l 17 单元应变能和外力势能的矩阵表达 （ 3）单元上集中力具有的势能 （ 4）外力总势能 V l TT d x 18 由单元的应变能 , 可得单元的总势能 21 以节点位移为未知量，对总势能取极值问题，得到单元的平衡方程 0 能量原理和单元平衡方程 19 基本问题：给定一个三角形单元和作用在角点上的六个力，求六个角点的位移。或者是要求三角形三个角点发生指定的位移，在三角形三个角点如何加力？ 采用瑞雷里兹法求近似解，引入近似的许可位移： 3 1 v1 v2 u2 v3 u3 1 2 3 1 1 2 2 3 31 2 3000,0 0 0,T Nu x yd u v u v u v Nv x y 应变： 0000x y x 三角形单元总结 20 2 2 3 3 e 1 1 2 2 3 311221=20 , T T e e T Te e e e ee x y x y x y x y x y x D d p u d s D d B d B d F K F F F F F u u u u u D B d 或其 中 三角形单元总结 代入最小势能原理： 1 1 1 1 2 1 31 1 1 1 2 1 2 2 2 31 3 1 3 2 3 3 K D B B B d K K K K 22 j i D B d 刚度阵对称性： 21 （ 2） 6节点三角形平面单元 平面问题 3节点三角形单元中 ， 位移模式是坐标 x、 这种位移模式反映单元常应变 、 常应力特性 ， 单元应变矩阵 、 应力矩阵 、 刚度矩阵均为常数矩阵 ， 因此计算简单 。 如果网格不够细密 ， 这种单元难以反映应力梯度的迅速变化 。 提高计算精度的有效途径是采用高阶单元 。 1 x y y2 y3 多项式选择的帕斯卡三角形 6节点三角形单元，位移模式取完全二次式共 6项 22 k = ST in of E is it it be of 23 6节点三角形平面单元 221 2 3 4 5 6227 8 9 1 0 1 12 4 59 1 1 1 23 8 5 1 0 6 1 11222( ) ( 22) ( 2 )61a a x a y a x a x y a yv a aa a x a ya a x a ya a a a x ax a y a x a x y a 节 点 三 角 形 单 元 共 有 个 自 由 度 ， 其 位单移 模 式 为元 应 变 为显然，单元应变可在单元内部线性变化，因此称该单元为“线性应变三角形” （ 6节点三角形平面应力单元在 3节点三角形平面单元的基础上，增加各边中点作为节点 i j m i j m 24 22111 1 1 1 1 122222 2 2 2 2 222333 3 3 3 3 322444 4 4 4 4 422555 5 5 5 5 522666 6 6 6 6 6111111u x y x x y yu x y x x y yu x y x x y yu x y x x y yu x y x x y yu x y x x y y 661 2 1 2661 2 1 20,00,0x y N N u x y N N v v 同理： 12 2 2 21 2 3 4 5 6, 1 , , , , , 1 , , , , , , , , ,u x y x y x x y y x y x x y y N N N N u 122111 1 1 1 1 1222 2 2 2 2 222333 3 3 3 3 322444 4 4 4 4 422555 5 5 5 5 522666 6 6 6 6 6111111ux y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y 1 2 3 4 5 6, , , , , ,v x y N N N N N N v 2 1 2 122,eu x x y25 1 2 31 2 3 4 5 61 2 31 2 3 4 5 6000000 0 0 I N I N I N I N I N B B B B 00 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵： 1 1 1 2 1 62 1 2 2 2 61 2 1 26 1 6 2 6 6 D B K 22 j i D B d 26 28 有限元与数值方法 第八 1讲 弹性平面问题四边形单元 授课教师：刘书田 84706149； 室：研教楼 102 时间： 2011年 4月 21日： 18： 00 19： 40 29 线性矩形（ 面单元 在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，将单元的位移模式定义为： 321 765 )1)(1(41 i )1)(1(41)1)(1(41 m )1)(1(41可得到， 形态函数为， 30 is A is a in of x, u y, v x x x y y y x y x y x y 31 上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 反映了单元的刚体位移和常应变 单元在公共边界上位移连续 在矩形单元的边界上，坐标 x和 此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定 与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下 单元类型 优点 缺点 三结点三角形单元 适应复杂形状， 单元大小过渡方便 计算精度低 四结点矩形单元 单元内的应力、应变是线性变化的，计算精度较高 不能适应曲线边界和非正交的直线边界 双线性矩形（ 面单元 32 单元缺陷 双线性矩形单元 (能表示纯弯曲 纯弯曲中，材料的真实应变应为 , , 022y x 而 边和底边仍是直的，单元位移和应变为 ,02, 0 ,22l e lx y x 即使在纯弯载荷下，单元也产生附加的剪切变形。因此单元对于弯曲变形来说过刚 33 单元缺陷 即 生剪应变”，从而吸收了一定的应变能 寄生剪切将产生“剪切自锁”，特别是当单元纵横比较大时明显。 不建议采用细长的 12/ 2 , / 2Tb b b e l e l e lU d U M D 如果 ， 则产生的转角比为 b e 21112 1 2 3 4 x y 2 a b 若纵横比增加，则单元弯曲变形将趋于零 34 改进的矩形单元 引入内部自由度和附加的二次位移模式，构造非协调元 形单元有剪切自锁现象（源于缺少位移二次项，不能准确模拟纯弯曲） 元中对 形单元进行改进、消除剪切自锁现象的基本思想： 35 改进的双线性单元（ 补救“剪切自锁”的一个办法是在矩形单元中引入常曲率变形模式，构造 4221214223411111 u ( ) a ( ) v ( ) a ( ) a 其中， xy, 以上位移模式可精确模拟纯弯曲 四个内部自由度（不通过节点与其他单元相联系） 这种位移模式是非协调的 非协调单元 x y 2a 2b 36 非协调元 6 非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内部自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或叠合 这样的单元比 顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好； 其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解） 在特定的载荷下，单元边界间将有