2012届高考数学第一轮解斜三角形专项复习教案

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/132012届高考数学第一轮解斜三角形专项复习教案54解斜三角形知识梳理1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即A2B2C22BCCOSA；B2C2A22CACOSB；C2A2B22ABCOSC在余弦定理中，令C90，这时COSC0，所以C2A2B2由此可知余弦定理是勾股定理的推广由可得COSA；COSB；COSC利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/13特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”点击双基1（2002年上海）在ABC中，若2COSBSINASINC，则ABC的形状一定是A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形解析由2COSBSINASINC得AC，AB答案C2下列条件中，ABC是锐角三角形的是ASINACOSAB0CTANATANBTANC0DB3，C3，B30解析由SINACOSA得2SINACOSA0，A为钝角由0，得0，COS，0B为钝角由TANATANBTANC0，得TAN（AB）（1TANATANB）TANC0TANATANBTANC0，A、B、C都为锐角由，得精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/13SINC，C或答案C3（2004年全国，理11）ABC中，A、B、C分别为A、B、C的对边，如果A、B、C成等差数列，B30，ABC的面积为，那么B等于AB1CD2解析A、B、C成等差数列，2BAC平方得A2C24B22AC又ABC的面积为，且B30，故由SABCACSINBACSIN30AC，得AC6A2C24B212由余弦定理，得COSB，解得B242又B为边长，B1答案B4已知（ABC）（BCA）3BC，则A_解析由已知得（BC）2A23BC，B2C2A2BCA答案5在锐角ABC中，边长A1，B2，则边长C的取值范围是_解析若C是最大边，则COSC00，C又CBA1，1C精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/13答案（1，）典例剖析【例1】ABC的三个内角A、B、C的对边分别是A、B、C，如果A2B（BC），求证A2B剖析研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边证明用正弦定理，A2RSINA，B2RSINB，C2RSINC，代入A2B（BC）中，得SIN2ASINB（SINBSINC）SIN2ASIN2BSINBSINCSINBSIN（AB）（COS2BCOS2A）SINBSIN（AB）SIN（AB）SIN（AB）SINBSIN（AB），因为A、B、C为三角形的三内角，所以SIN（AB）0所以SIN（AB）SINB所以只能有ABB，即A2B评述利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决解利用余弦定理，由A2B（BC），得COSA，COS2B2COS2B12（）211所以COSACOS2B因为A、B是ABC的内角，所以A2B（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/13解由题设A2B（BC），得，作出ABC，延长CA到D，使ADABC，连结BD式表示的即是，所以BCDABC所以1D又ABAD，可知2D，所以12因为BAC2D2221，所以A2B评述近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换这是命题者的初衷【例2】（2004年全国，17）已知锐角ABC中，SIN（AB），SIN（AB）（1）求证TANA2TANB；（2）设AB3，求AB边上的高剖析有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）（1）证明SIN（AB），SIN（AB），2TANA2TANB（2）解AB，SIN（AB）TAN（AB），即将TANA2TANB代入上式整理得2TAN2B4TANB10，解得TANB（负值舍去）得精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/13TANB，TANA2TANB2设AB边上的高为CD，则ABADDB由AB3得CD2，所以AB边上的高为2评述本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力【例3】（2004年春季北京）在ABC中，A、B、C分别是A、B、C的对边长，已知A、B、C成等比数列，且A2C2ACBC，求A的大小及的值剖析因给出的是A、B、C之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理由B2AC可变形为A，再用正弦定理可求的值解法一A、B、C成等比数列，B2AC又A2C2ACBC，B2C2A2BC在ABC中，由余弦定理得COSA，A60在ABC中，由正弦定理得SINB，B2AC，A60，SIN60解法二在ABC中，由面积公式得BCSINAACSINBB2AC，A60，BCSINAB2SINBSINA评述解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理闯关训练精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/13夯实基础1（2004年浙江，8）在ABC中，“A30”是“SINA”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析在ABC中，A300SINA1SINA；SINA30A150A30答案B2如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A75B60C50D45解析作CE平面ABD于E，则CDE是太阳光线与地面所成的角，即CDE40，延长DE交直线AB于F，连结CF，则CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为要使SABD最大，只需DF最大在CFD中，DFCF为定值，当50时，DF最大答案C3在ABC中，角A、B、C所对的边分别是A、B、C，若三角形的面积S（A2B2C2），则C的度数是_精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/13解析由S（A2B2C2）得ABSINC2ABCOSCTANC1C答案454在ABC中，若C60，则_解析（）C60，A2B2C22ABCOSCABA2B2ABC2代入（）式得1答案15在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是AB20，A45，C80BA30，C28，B60CA14，B16，A45DA12，C15，A120解析由A14，B16，A45及正弦定理，得，所以SINB因而B有两值答案C培养能力6在ABC中，角A、B、C所对的边分别为A、B、C，依次成等比数列，求Y的取值范围解B2AC，COSB（）0B，YSINBCOSBSIN（B）B，SIN（B）1故1Y精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创9/137已知ABC中，2（SIN2ASIN2C）（AB）SINB，外接圆半径为（1）求C；（2）求ABC面积的最大值解（1）由2（SIN2ASIN2C）（AB）SINB得2（）（AB）又R，A2C2ABB2A2B2C2ABCOSC又0C180，C60（2）SABSINCAB2SINASINB2SINASIN（120A）2SINA（SIN120COSACOS120SINA）3SINACOSASIN2ASIN2ASIN2ACOS2ASIN（2A30）当2A120，即A60时，SMAX8在ABC中，BCA，顶点A在平行于BC且与BC相距为A的直线上滑动，求的取值范围解令ABKX，ACX（K0，X0），则总有SINB，SINC（图略），且由正弦定理得SINBSINA，所以A2KX2SINBSINCKX2SINA，由余弦定理，可得COSA（KSINA），所以KSINA2COSA所以K2K10，所以K精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创10/13所以的取值范围为，探究创新9某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10KM，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短并求其最短距离（不要求作近似计算）解在AOB中，设OAA，OBB因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以AOB135则|AB|2A2B22ABCOS135A2B2AB2ABAB（2）AB，当且仅当AB时，“”成立又O到AB的距离为10，设OAB，则OBA45所以A，B，AB，当且仅当2230时，“”成立所以|AB|2400（1）2，当且仅当AB，2230时，“”成立精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创11/13所以当AB10时，|AB|最短，其最短距离为20（1），即当AB分别在OA、OB上离O点10KM处，能使|AB|最短，最短距离为20（1）思悟小结1在ABC中，ABC，SINCOS，COSSIN，TANCOT2A、B、C成等差数列的充分必要条件是B603在非直角三角形中，TANATANBTANCTANATANBTANC4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径化边为角；化角为边并常用正弦（余弦）定理实施边角转化5用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长6用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补教师下载中心教学点睛1一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创12/132要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练拓展题例【例1】已知A、B、C是ABC的三个内角，YCOTA（1）若任意交换两个角的位置，Y的值是否变化试证明你的结论（2）求Y的最小值解（1）YCOTACOTACOTACOTACOTBCOTC，任意交换两个角的位置，Y的值不变化（2）COS（BC）1，YCOTA2TAN（COT3TAN）故当ABC时，YMIN评述本题的第（1）问是一道结论开放型题，Y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处第（2）问实际上是一道常见题在ABC中，求证COTACOTBCOTC【例2】在ABC中，S