河北省邢台市2016届高三上期末数学试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2015年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|6x+8 0，集合 B=x N|y= ，则 AB=（ ） A 3 B 1， 3 C 1， 2 D 1， 2， 3 2若 z=1 2i，则复数 |z 1|在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 若 ， 为第三象限的角，则 ）等于（ ） A B C D 4某学生在上学路上要经过 3 个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都 是 ，遇到红灯时停留的时间都是 1 分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是 2 分钟的概率为（ ） A B C D 5已知在 ， A=60， D 为 一点，且 ， = ，则 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为（ ）A 64 B 73 C 512 D 585 7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 8过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作斜率为 1 的直线，且 l 与此双曲线的两条渐近线的交点分别为 B， C，若 = ，则此双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 9若 函数 y=够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1，且区间 ， 上为增函数，则正整数 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 10（ x+7 的展开式中， 系数为 ，则 a 等于（ ） A 2 B C 2 D 11棱长为 a 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是 3 ，则 a 等于（ ） A 2 B C 2 D 12设函数 f（ x） = ，若曲线 y= 上存在点（ 得 f（ f（ =立，则实数 a 的取值范围为（ ） A 0， e+1 B 0， e2+e 1 C 0， e 1 D 0， e2+e+1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 g（ x） =+x）为偶函数，则 t= 第 3 页（共 22 页） 14已知点 P（ x， y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z=x2+取值范围是 15已知点 A 是抛物线 的一点， F 为其焦点，若以 F 为圆心，以 |半径的圆交准线于 B， C 两点，且 正三角形，当 面积是 时，则抛物线的方程为 16已知 a， b， c 是 三边 ，且 2a b 2c=0， 2a+ b 2c+1=0，则 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）（ 22、 23、 24 题任选一题作答，每题 10 分） 17已知等差数列 前 5 项的和为 55，且 a6+6 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 ，且数列 前 n 项和为 明： 18近日有媒体在全国范围开展 “2015 年国人年度感受 ”的调查，在某城市广场有记者随机访问 10 个步行的路人，其年龄的茎叶图如下： （ 1）求这些路人年龄的中位数与方差； （ 2）若从 40 岁以上的路人中，随机抽取 3 人，其中 50 岁以上的路人数为 X，求 X 的数学期望 19在四棱锥 P ， 0， 0， 平面 为 中点， （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 中点，求 平面 成角的正弦值 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 在 x 轴上， D 为短轴上一个端点，且 内切圆的半径为 ，离心率 e 是方程 25x+2=0 的一个根 （ 1）求椭圆 C 的方程； 第 4 页（共 22 页） （ 2）设过原点的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，过椭圆 C 的右焦点作直线 l 椭圆 ， N 两点，是否存在常数 ， 使得 |=|若存在，请求出 ；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） = 的最大值为 1 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）如果函数 m（ x）， n（ x）在公共定义域 D 上，满足 m（ x） n（ x），那么就称 n（ x）为 m（ x）的 “线上函数 ”，若 p（ x） = ， q（ x） = （ x 1），求证： q（ x）是 p（ x）的 “线上函数 ” 四、选择作答（ 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，作答时请写清题号， 10 分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的弦 延长线交于点 A （ 1）若 ， ， ，求 长； （ 2）若 = ， = ，求 的值 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立坐标系已知直线与椭圆的极坐标方程分别为 l： ， C： 2= （ 1）求直线与椭圆的直角坐标方程； （ 2）若 P 是椭圆 C 上的一个动点，求 P 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 24不等式 |2x 1| |x+1| 2 的解集为 x|a x b （ 1）求 a， b 的值； （ 2）已知 x y z，求证：存在实数 k 使 + 恒成立，并求出 第 5 页（共 22 页） 2015年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|6x+8 0，集合 B=x N|y= ，则 AB=（ ） A 3 B 1， 3 C 1， 2 D 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围，找出正整数解确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 2）（ x 4） 0， 解得： 2 x 4，即 A=（ 2， 4）， 由 B 中 y= ， x N，得到 3 x 0， x N， 解得： x 3， x N，即 B=0， 1， 2， 3， 则 AB=3， 故选： A 2若 z=1 2i，则复数 |z 1|在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可得出 【解答】 解： z=1 2i， 则复数 |z 1|= |1 2i 1|= 2= 2= + i， 在复平面上对应的点 在第二象限 故选： B 3若 ， 为第三象限的角，则 ）等于（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得 ）的值 【解答】 解： ， 为第三象限的角， = ， 第 6 页（共 22 页） 则 ） = （ ） = ， 故选为： D 4某学生在上学路上要经过 3 个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 1 分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是 2 分钟的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是 2 分钟共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案 【解答】 解：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2事件 A， 这名学生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 k=0， 1， 2）则由题意，得： P（ =（ ） 3= ， P（ = ， P（ = 由于事件 A 等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 ”， 事件 B 的概率为 P（ +P（ +P（ = 故选： A 5已知在 ， A=60， D 为 一点，且 ， = ，则 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可画出图形，设 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，并设 AD=m，这样根据便可得到 ，从而得到 m= ，这样在 由余弦定理便可建立关于 c 的方程，可解出 c= ，从而有 m= ，然后进行数量积的计算便可求出 的值 【解答】 解：如图，设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且设 AD=m； A=60， 由 得： ； ； 又 ， 在 由余弦定理得： 第 7 页（共 22 页） ； ， m= ； 故选： C 6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为（ ）A 64 B 73 C 512 D 585 【考点】 程序框图 【分析】 结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出 S，结束循环，得到所求 【解答】 解：经过第一次循环得到 S=0+13，不满足 S 50， x=2， 执行第二次循环得到 S=13+23，不满足 S 50， x=4， 执行第三次循环得到 S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行 “是 ”，输出 S=73 故选 B 7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 8 页（共 22 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是三棱锥， 底面是底边长为 2，高为 2 的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为 2 三棱锥的体积为： = = 故选 D 8过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作斜率为 1 的直线，且 l 与此双曲线的两条渐近线的交点分别为 B， C，若 = ，则此双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 B， C 表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出 b， c 与 a 的关系，即可求双曲线的离心率 【解答】 解：设右焦点为 F（ c， 0）， 过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F 作斜率为 1 的直线为： y= x+c， 渐近线的方程是： y= x， 由 得： B（ ， ）， 由 得， C（ ， ）， 所以 =（ c， ） =（ ， ）， 第 9 页（共 22 页） =（ ， ） =（ ， ）， 又 = ，即有 = ， 化简可得 b= a， 由 a2+b2=， a2= 所以 e= = 故选： A 9若函数 y=够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1，且区间 ， 上为增函数，则正整数 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 正弦函数 的图象 【分析】 利用三角函数的图象和性质即可解答 【解答】 解：函数 y=够在某个长度为 1 的区间上至少两次获得最大值 1， 三角函数的图象与性质可知：图象的周期的长度 + 个周期长度必须小于等于 1； 即： ； 解得： ， 由题意可知： 只能取： 8 或 9， 又 x ， 上为增函数 上为增函数 考查： =8 和 =9 当 =8 时，使得函数区间 ， 上为增函数 故选： C 10（ x+7 的展开式中， 系数为 ，则 a 等于（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 根据（ x 7 表示 7 个因式（ x 积，得出展开式中含 的系数由 2 个因式取 y，其余的 5 个因式中有 3 个取 x，有 2 个取 出方程求出 a 的值 第 10 页（共 22 页） 【解答】 解：（ x+7 的展开式中，：（ x 7 表示 7 个因式（ x 积， 故有 2 个因式取 y，其余的 5 个因式中有 3 个取 x，有 2 个取 可得出含 的系数； 所以 的系数为 （ a） 2 （ 1） 3 = 210 ，即 a= ， 故选： D 11棱长为 a 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图 中三角形（正四面体的截面）的面积是 3 ，则 a 等于（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 球内接多面体 【分析】 将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的 面积 【解答】 解：如图球的截面图就是正四面体中的 已知正四面体棱长为 a 所以 a， 所以 = a 截面面积是： ， a=2 故选： C 12设函数 f（ x） = ，若曲线 y= 上存在点（ 得 f（ f（ =立，则实数 a 的取值范围为（ ） A 0， e+1 B 0， e2+e 1 C 0， e 1 D 0， e2+e+1 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值 第 11 页（共 22 页） 【分析】 利 用函数 f（ x）的单调性可以证明 f（ =函数 f（ x） =x，化为 a=x令 h（ x） =x，利用导数研究其单调性即可得出 【解答】 解： 1 1， 当 时， y= 取得最大值 y= + =e， 当 1 时， y= 取得最小值 y= + = 1， 即函数 y= 的取值范围为 1， e， 若 y= 上存在点（ 得 f（ f（ =立， 则 1， e且 f（ = 若下面证明 f（ = 假设 f（ =c f（ f（ =f（ c） f（ =c 满足 f（ f（ = 同理假设 f（ =c 不满足 f（ f（ = 综上可得： f（ = 1， e 函数 f（ x） = ，的定义域为（ 0， +）， 等价为 =x，在（ 0， e上有解 即平方得 x+a= 则 a=x， 设 h（ x） =x，则 h（ x） =2x 1 = = ， 由 h（ x） 0 得 1 x e，此时函数单调递增， 由 h（ x） 0 得 0 x 1，此时函数单调递减， 即当 x=1 时，函数取得极小值，即 h（ 1） =1 1=0， 当 x=e 时， h（ e） =e=e 1， 则 0 h（ x） e 1 则 0 a e 1 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 g（ x） =+x）为偶函数，则 t= 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： g（ x） =+x）为偶函数， g（ x） =g（ x）， 即 x） =+x）， 即 x） = +x）， 则 x） +x） =0， 第 12 页（共 22 页） 即 x）（ +x） =t =， 即 t= ， 故答案为： 14已知点 P（ x， y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则 z=x2+取值 范围是 ， 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，根据 z x2+几何意义求出 z 的范围即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， z=x2+几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方， 显然 A 到原点的距离最大，此时 z=5， 设原点到直线 x+2y 2=0 的距离是 d， 则 d= = ， 故 z 的取值范围是： ， 5 15已知点 A 是抛物线 的一点， F 为其焦点，若以 F 为圆心，以 |半径的圆交准线于 B， C 两点，且 正三角形，当 面积是 时，则抛物线的方程为 6x 【考点】 抛物线的简单性质 第 13 页（共 22 页） 【分析】 由题意得 | p，利用 面积是 ，由抛物线的定义可得 p p= ，求出 p，可得抛物线的方程 【解答】 解：由题意得 | p， 面积是 ， 由抛物线的定义可得 p p= ， p=8， 抛物线的方程为 6x 故答案为： 6x 16已知 a， b， c 是 三边，且 2a b 2c=0， 2a+ b 2c+1=0，则 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 将已知两式子相加可解得： c= ，相减可得 a= = 1 0，显然 c a，解得： b 2+ ，或 b 0（舍去），再由 c b= b= 0（ b 2+ ），可得最大边为 c，由余弦定理可得：（ ） 2=（ ） 2+2 b 简可解得 值 【解答】 解： 2a b 2c=0， 2a+ b 2c+1=0， +可解得： c= ， 可解得： a= = 1 0， 显然 c a，解得： |b | 2，即： b 2+ ，或 b 0（舍去）， 再比较 c 与 b 的大小 c b= b= = 0（ b 2+ ） c b， 最大边为 c 由余弦定理可得 c2=a2+2ab 第 14 页（共 22 页） 即：（ ） 2=（ ） 2+2 b 化简可得： ， 解得： ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）（ 22、 23、 24 题任选一题作答， 每题 10 分） 17已知等差数列 前 5 项的和为 55，且 a6+6 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 ，且数列 前 n 项和为 明： 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）由等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列 通项公式； （ 2）由 = = = （ ），利用裂项求和法能求出数列 前 n 项和，再由不等式的性质即可得证 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， 由前 5 项的和为 55，且 a6+6， 可得 ， 解得 ， d=2， 则数列 通项公式 +（ n 1） 2=2n+5； （ 2）证明： = = = （ ）， 可得数列 前 n 项和： （ 1 + + + + ） = （ 1+ ） = （ ） ， 即有原不等式成立 18近日有媒体在全国范围开展 “2015 年国人年度感受 ”的调查，在某城市广场有记者随机访问 10 个步行的路人，其年龄的茎叶图如下： 第 15 页（共 22 页） （ 1）求这些路人年龄的中位数与方差； （ 2）若从 40 岁以上的路人中，随机抽取 3 人，其中 50 岁以上的路人数为 X，求 X 的数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图 【分析】 （ 1）把茎叶图中的数据 按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均数即是中位数；再求出这组数据的平均数与方差； （ 2） 40 岁以上有 7 人，其中 40 50 岁有 4 人， 50 岁以上有 3 人， X=0， 1， 2， 3，计算对应的概率，即可求 X 的数学期望 【解答】 解：（ 1）根据茎叶图中的数据，把这 10 个数据按照从小到大的顺序排列， 排在中间的两个数是 43 和 45，则这组数据的中位数是 =44； 平均数是 = （ 22+34+34+42+43+45+45+51+52+52） =42， 方差是 （ 22 42） 2+（ 34 42） 2 2+（ 42 42） 2+（ 43 42） 2+（ 45 42） 2 2+（ 51 42） 2+（ 52 42） 2 2= （ 2） 40 岁以上的路人有 7 人，其中 40 50 岁有 4 人， 50 岁以上有 3 人， X=0， 1， 2， 3 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = +2 +3 = 19在四棱锥 P ， 0， 0， 平面 为 中点， （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 中点，求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 M，连接 由 0， M，得 此能证明 平面 第 16 页（共 22 页） （ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂线为 z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 平面 成角的正弦值 【解答】 证明：（ 1）取 中点 M，连接 面 面 平面 在 ， 0， M， 0， 而 0， 面 面 平面 又 C=M， 平面 平面 面 平面 解：以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 0， 0， E 为 中点， ， F 为 中点， A（ 4， 0， 0）， C（ 0， 0， 0）， P（ 4， 0， 4）， F（ 2， 0， 2）， D（ 0， 4 ， 0）， E（ 2， 2 ， 2）， =（ 2， 0， 2）， =（ 4， 0， 0）， =（ 2， 2 ， 2）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y= ，得 =（ 0， ， 3）， 设 平面 成角为 ， 则 = = 平面 成角的正弦值为 第 17 页（共 22 页） 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 在 x 轴上， D 为短轴上一个端点，且 内切圆的半径为 ，离心率 e 是方程 25x+2=0 的一个根 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过原点的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，过椭圆 C 的右焦点作直线 l 椭圆 ， N 两点，是否存在常数 ，使得 |=|若存在，请求出 ；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0），运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到 a， b， c，进而得到椭圆方程； （ 2）设出直线 l 的方程为 x=，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得 |再由计算即可得到所求常数 【解答】 解：（ 1）设椭圆的方程为 + =1（ a b 0）， 由题意可得 e= = ， b2= （ a+b+c）， 解方程可得 a=2， b= ， c=1， 即有椭圆的方程为 + =1； （ 2）设 l 的方程为 x=， M（ N（ 由 得（ 3） 9=0， 即有 y1+ ， ， | 第 18 页（共 22 页） = = ， 设 A（ B（ 由 x=入椭圆方程可得 消去 x，并整理得 ， | | ， 即有 = =4 故存在常数 =4，使得 |=4| 21已知函数 f（ x） = 的最大值为 1 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）如果函数 m（ x）， n（ x）在公共定义域 D 上，满足 m（ x） n（ x），那么就称 n（ x）为 m（ x）的 “线上函数 ”，若 p（ x） = ， q（ x） = （ x 1），求证： q（ x）是 p（ x）的 “线上函数 ” 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1） f（ x） = 的最大值为 1，则函数 f（ x）在（ 0， +）不单调，故有极值点，继而到函数的最大值，求出 a 即可， （ 2）分别根据导数和函数的 最值的关系，求出 p（ x）和 q（ x）最值，即可证明 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， x 0， f（ x） ， 函数 f（ x） = 的最大值为 1 f（ x） =0，解得 x=a，此时 a 1 f（ x） f（ a） = =1， 解 得 a=1 （ 2）由（ 1）可知 q（ x） = = ， 第 19 页（共 22 页） q（ x） = 0 在（ 1， +）恒成立， q（ x）在（ 1， +）为减函数， q（ x） q（ 1） = ， p（ x） = ， x 1， p（ x） =21 0 在（ 1， +）恒成立， p（ x）在（ 1， +）为增函数， p（ x） p（ 1） = ， p（ x） q（ x）， q（ x）是 p（ x）的 “线上函数 ” 四、选择作答（请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，作答时请写清题号， 10 分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的弦 延长线交于点 A （ 1）若 ， ， ，求 长； （ 2）若 = ， = ，求 的值 【考点