高考备考精品：数学解题能力快速提升

第 1 页 共 34 页 高考 备考精品： 数学解题能力快速提升 一 不等式解题方法 一、从 与 的大小说起 【引例】 正实数中，对任意 a， b， m，都有 这就是 “分数的基本性质 ”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变 . 这，连小学生都知道 . 但， 我们的话题却要从这儿开始 . 【问题】 对以上 “性质 ”，如果将冒号后的文字改变一个字，将 “乘 ”改成 “加 ”，即变成这里的等号还能成立吗？请看下例 . 【例 1】 若 ba0， m0，则有 A. B. C. D. 【解答】 （淘汰法）令 a=1， b=2， m=3 淘汰 B， C， D，答案为 A. 【例 2】 （变例 1 为解答题）若 ba0， m0，试比较 和 的大小 . 【解 1】 （比较法 作差 变形 判定符号） 因为 【解 2】 （综合法 由因推果 由整式推出分式） a） 【说明】 a 放大为 b，则 缩小为 ，结果是分值缩小 . 将 缩成 ，目标是 “约 ”去 m. 【解 5】 （放缩法 从左到右） （ a0， m0，求证 【法 1】 （等式法 不等式变为方程） 设 得 即 x0，故有 . 【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式 . 即作差法的另种形式 . 【法 2】 （等式法 未知数论设作因子）设 则 所以 【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式 . 即作商法的另种形式 . 【法 3】 （函数法 视 m 为 x， ） 设有函数 函数 在 0， m上是减函数，故 是 0， m上的增函数 .（图右，其中 a=1， b=2） f（ 0） 0）是 第 4 页 共 34 页 （ 0， +）上的减函数 . 【法 4】 （不等式法 把证不等式化为解不等式） 解不等式 即 x=m 为正数时，原不等式真 . 【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式 0，即 0 的解为 R，视参数为变量 . 解出的参数值域符合题设的取值范围即可 . 【法 5】 （极限法 把参数 m 作极端处理） &p; 当 m0 时， 当 m 时， 故有 【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数 f (m)= 的单调性并没讲清楚，没有交待 f(m)是 上的增函数 . 如果是确定性的选择题例 1，即 与 的大小关系是确定的，不需要讨论 m 的范围时，则这种极限法是很简便的 . 【小结】 真分数 的 放大性 ：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大 . 以这种 放大性 为基础，可推出许多重要的分式不等式，如 （ 1） |a+b|a|+|b| （ 2）数列 是增数列；而数 是减数列 . 【练习】 证 法程和解不等式法 . . 第 5 页 共 34 页 . 三、千方百法 会战高考不等式 【考题 1】 （ 2006 年赣卷第 5 题） 对于 R 上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x 1） f（ x） 0 ，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 【分析】 从已知条件（ f (x)0出发，可得如下 的不等式组 或 . 因此 f(x)有两种可能：其一， f (x)为常数；其二， f(x)在区间 上为减函数，在 上为增函数 . 【解答】 （综合法）依题意，当 x1 时， f（ x） 0 ，函数 f（ x）在 1， 上是增函数；当 数 f(x)=（ ）当 b0 时，若对任意 x R 都有 f(x)1，证明 a ； （ ）当 b1 时，证明：对任意 x 0,1， |f(x)|1的充要条件是 a ； （ ）当 00， b0， a . 【解 】 先证必要性： 对任意 x 0,1， |f (x)|1 -1f(x)，据此可以推出 -1f (1)，即 1， a 第 6 页 共 34 页 对任意 x 0,1， |f (x)|1 f (x)1，因为 b1，可以推出 1， 即 a ， a ； a . 再证充分性：因为 b1， a任意 x 0,1，可以推出 b(x1. 即 ； 因为 b1， a ，对任意 x 0,1，可以推出 1，即 . -1f(x)1. 综上，当 b1 时，对任意 x 0,1， |f(x)|1的充要条件是 a . 【解 】因为 a0， 00， 0N 时，对任意 b0，都有 【分析】 本题的第（ ）、（ ）、（ ）小题之间成梯式结构，（ ）是（ ）和（ ）的基础 在（ ）上遇着困难，可承认（ ）的结论，并利用它迅速地解出（ ）第 7 页 共 34 页 和（ ）来 ）难，而（ ）、（ ）容易 . 对于（ ），已知为两个不等式，而求证一个不等式 已知不等式用综合法 下推 ，对求证不等式用分析法 上追 . 如： 欲使 只须 = 此时， 综合下推 的方向就清楚了 . 【解 】 当 n2时， ， ，即 ， 于是有 ， ， ， ， 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当 n3时有 ， 【解 】 又 . 故有 =0. 【解 】 （放大为了化简） 令 ， 则有 ， 故取 N=1024，可使当 nN 时，都有 【说明】 本小题是条件不等式的证明，已知 2 个不等式，求证 1 个不等式 综合第 8 页 共 34 页 放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法 要的东西如何从已知的不等式中得到 . 【练习】 对考题 3，已知条件不变，对设问作 如下改写 （ ）设 ，利用数学归纳法证不等式 （ ）利用上述结果，证明不等式 二 函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的 . 设 a0， f(x)=bx+c= 初三学生已知，二次函数 f(x)，在 a0 时，有最小值 ； 索二次函数 y = bx+c 的单调区间 【解答】 任取 有减区间 和增区间. 显然，二次函数的最值点为 ，函数有最小值 . 【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个 异性 单调区间的交接点 . 【练 1】 试研究一次函数 没有最点，从而没有最值 . 【解】 任取 ，则有 （ 1） 时， ，函数在 R 上为增函数 . 时， ; 时， . 第 10 页 共 34 页 （ 2） 时， ，函数在 R 上为减函数 . 时， ; 时， . 所以，一次函数在 R 上没有最点，从而一次函数 无最值（既无最大值，也无最小值） . 【说明】 一次函数定义 在 R 上，定义域内找不到这样的 点 ，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间 点是单调区间的 变性 的 转折点 . 二、从 到 高中生将 最点 变形为 ，并由此得到一个一次函数 . 精明的学生发现，这个一次函数 与对应的二次函数 有某种 关系 ，甚至有学生在偷偷 地利用这种 关系 . 这种 关系 到了高三才彻底解决：函数 正是函数 的导函数，即 . 函数求 最根 的问题，正好是 的导函数 的 求根 问题 . 导函数 的根，就是 的驻点 次函数的驻点就是二次函数的最点 . 问题变得这么明朗：求 的最点，就是求 的根 最根 ，真的与 根 字 巧合了 . 【例 2】 设 ，在同一坐标系中，分别作得 和 的图象（如右） . 试说明 的正负性与 单调性的对应关系 . 【解析】 与 相交于 . 第 11 页 共 34 页 （ 1） 时， , 递减； （ 2） 时， , 递增； （ 3） 时， , 得到最小值 . 故对应关系为：（ 1） 负区与 的减区对应； （ 2） 正区与 的增区对应； （ 3） 零点与 的最值对应 . 【练 2】 已知二次函数 的导函数 图象如右图的直线，则有 （ 1） =（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）； 第 12 页 共 34 页 （ 2） 的最（ ）值为（ ）； （ 3）若 ，求 的解析式 . 【解答】 从右 图上看到 （ 1） 的根为 ，故有 =1； （ 2） 时， 0，故 的增区间为 ； 时， 0，函数递增； （ 2） 时， 0，函数递增 . 故 在 有极大值 ，在 上有极小值 . 故 ， 是 的 2 个极点，前者为极大点，后者为极小点 . 又 时， ，故函数 既无最大值，也无最小值 最点 . 【说明】 这是三次函数有 2 个驻点，且都为极点的例子 3） . 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间 . （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） ,函数 无驻点，无极点，无最点 . 是 上的增函数 . （ 2） , 有 2 个重合的驻点 . （ 1）当 时， ，函数递增， （ 2）当 时， ，函数也递增 . 第 14 页 共 34 页 因此，驻点 不能分出两个 相异 的单调 区间，故 不是 的极点， 无极点，当然也无最点 . 是 R 上的增函数 . 【说明】 函数 相重合的两驻点 不成为极点，可理解为它们消去了 中间 的一个 相异 的单调区间后，将两边的 同性 的单调区进行了链接而成为一个单调区间 . 经过以上的讨论得知，定义在 R 上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。 四、极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点 什么条件下极点成为最点呢？ 驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？ 我们研究，极点何时成为最点 . 【例 4】 已知 的导函数 ，试探究 的极点和最点 . 【解析】 . 有 3 个相异的根： 它们都是 的极点 . 易知原函数 （ R） 易知 为 的减区间， 为 的增区间， 为 的减区间，为 的增区间 . 的 4 个单调区间依次成 减 增 减 增 的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得 在 两次探底 中得到最（小）点 . 比较三个极值的大小： 得 的最小值为 ，对应两个最小点 和 1. 【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点： 辉三角形本来就是二项式展开式的算图 . 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第 6 行： 1， 6， 15， 20， 15， 6， 1 第 25 页 共 34 页 那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答 . 杨辉三角形在 3 年内考了 5 个（相关的）题目，这正是高考改革强调 多想少算 、 逻辑思维与直觉思维并重 的结果 . 这 5 个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透 . 四 函数周期性的求解 1、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = x 为代表，是典型的周期函数 . 幂函数 y = 周期性，指数函数 y = 周期性，对数函数 y =周期， 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = bx+c、三次函数 y = cx+d 无周期性 . 周期性是三角函数独有的特性 . （ 1） 正弦函数 y=x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角 的正弦线为有向线 段 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 即时位置 和变化方向重现一次 . 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现 . 因此，正弦函数 y=最小正周期 2. （ 2） y=x）的最小正周期 设 0， y =x）的最小正周期设为 L . 按定义 y = （ x+L） = x+ L） = 令 x = x 则有 x + L） = x 因为 小正周期是 2，所以有 例如 最小正周期为 第 26 页 共 34 页 最小正周期为 （ 3） 正弦函数 y=x+） 的周期性 对正弦函数 自变量作 一次替代 后，成形式 y = x+） . 它的最小正周期与 y = 最小正周期相同，都是 . 如 的最小周期与 y = 3x）相同，都是 . 于是，余弦函数 的最小正周期与 最小正周期相同，都是 2. 2、复合函数的周期性 将正弦函数 y = x 进行周期变换 x x， x 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 （ 1）初相变换 si n（ x+）； （ 2）振幅变换 x +） x+）； （ 3）纵移变换 x +） x+） +m； 后者周期都不变，亦即 x +） +m 与 x）的周期相同，都是 . 而对复合函数 f （ 周期性，由具体问题确定 . （ 1） 复合函数 f（ 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （ 1） 2 （ 2） 第 27 页 共 34 页 （ 2） 的定义域为 22，值域为 0， 1，作图可知， 它是最小正周期为 2的周期函数 . 【解答】 （ 1） 2定义域为 R，值域为 ，作图可知，它是最小正周期为 2的周期函数 . 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定， x， ， 是最小正周期 2的周期函数 . （ 2） y= x 的周期性 对于 y = (， L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下 . 图上看到， y = 有比 2更小的周期，故最小正周期为 2. （ 3） y= x 的周期性 对于 y = (， L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为 2？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下 . 第 28 页 共 34 页 图上看到， y = 最小正周期为 ，不是 2. （ 4） x 和 x 的周期性 y = 最小正周期为 ，还可通过另外一种复合方式得到 . 因为 周期是 ，故 周期也是 . 周期，由 2变为 . 就是因为符号法 负负得正 所致 . 因此，正弦函数 幂符合函数 m=2n 时， x 的最小正周期为 ； m = 2n1时， 最小正周期是 2. （ 5） 幂复合函数举例 【例 1】 求 y =|最小正周期 . 第 29 页 共 34 页 【解答】 最小正周期为 . 【例 2】 求的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 2. 【例 3】 求 的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 . 【说明】 正弦函数 幂复合函数. 当 q 为奇数时，周期为 2； q 为偶数时，周期为 . 3、周期函数的和函数 两个周期函数，如 x 和 它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数， 即 x 的最小正周期如何？ 和函数的周期与原有函数的周期保持不变 . 这个结论符合一般情况 . 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？ （ 1） 函数 x 的周期性 x 的最小正周期为 2， 最小正周期是 ，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下 . 第 30 页 共 34 页 表上看到函数 最小正周期是 2. （ 2） 函数 周期性 依据上表，作 图像如右 . 从图上看到，函数的最小正周期为 2. 由 最小正周期中的大者决定，因为前者是后 者的 2 倍 然是个 振动 函数 ，但振幅已经不是常数了 . （ 3） 函数 最小正周期为 2， x 的最小正周期是 3. 们之间的和 x 的最小正周期也由 较大的 决定吗？即 和函数 的周期为 3吗？ 不妨按周期定义进行检验 . 设 则 3= 因此 3不是 x 的最小正周期 . 通过作图、直观看到， x 的最小正周期为 6，即 x 最小正周期的最小倍数 . 4、周期函数在高考中 第 31 页 共 34 页 三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当 . 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数 列、向量等内容综合 . 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性 . 关系到正弦函数的试题，有 2 种形式 . （ 1）直接考，求正弦函数的最小正周期 . （ 2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用 . 求单调区间，求最值，简单方程的通解等 . （ 1） 求正弦函数的周期 【例 1】 函数 y =|的最小正周期为 （ A） （ B） （ C） 2 （ D） 4 【解答】 最小正周期是 最小正周期的一半，即 2. 答案为（ C） 【说明】 图象法判定最简便 ， |x|的图象是将 x 的图象在 x 轴下方部分折到 x 轴上方去 . 倍角法定判定最麻烦 【解答】 （ 1） y = 2 1 的最小正周期由 定 （ 2） 求正弦函数的周期 【例 2】 （ 1） y =2 的最小正周期为 . （ 2） y =| 最小正周期为 . 【解答】 （ 1） y = 2 1 的最小正周期由 定，故答案为 . （ 2） 故答案为 . 【说明】 都可看作 幂函数的复合函数 . （ 3） 函数周期性应用于求值 【例题】 f (x)是 R 上的偶函数，且是最小正周期为 的周期函数 . 【解答】 【说明】 周期性应用于区域转化 . 将 无解析式 的区域函数转化到 有解析式 的区间上求值 . 若 时 f (x) = 试求 的值 . （ 4） 函数周期性应用于求单调区间 【例题】 x R，求函数 y = 单调增区间 . 【 解答】 函数的最小正周期为 . 令 得 第 32 页 共 34 页 因为函数周期为 ，故函数的单调增区间为 . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合 . 周期函数在高考中 （ 5） 周期性应用于求函数零点 【例题】 已知函数 . 【解答】 令 得 故交点横坐标的值的集合为 . 【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求 通解 . 5、高考史上的周期大难题 高考史上第一次 周期大难题 出现在恢复高考后的第 3 年，即 1980 年 的理科数学卷上 . 本题排在该卷的第六大题上 . 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目 . 这点为命题人事先未能预料 . 后来分析，该题的难点有三 . （ 1）函数抽象，导致周期中含有参数；（ 2）求参数范围，与解不等式综合；（ 3）求最小正整数解，连命题人自拟的 标答 都含糊不清 . 20 多年来数学界质疑不断 . 【考题】 设三角函数 ，其中 k0. （ 1）写出 f (x)极大值 M、极小值 m 与最小正周期 ; （ 2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是 M 与一个值是 m. 【解答】 （ 1） M=1， m = . （ 2） f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是 M 与一个值是 m . 而任意两个整数间的距离都 1因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m，必须且只须使 f (x)的周期 1即： k=32 就是这样的最小正整数 . 6、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数 . 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整 最小 正周期 的系统研究 . 然而，随着 抽象函数 的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高 . 第 33 页 共 34 页 2006 年福建理数卷出现的 周期大错题 正是这种盲目拔高的必然结果 . 【例题】 f（ x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f（ 2） =0，则方程 f（ x） =0 在区间（ 0， 6）内解的个数的最小值是 说明】 这是 2005 年福建卷（理）第 12 题，命题组提供的答案是 D，即答案为 5. 答案 来？以下，就是 D的一种解法 . 【解答】 f (x)周期为 3，由 f (2)=0，得 f (5) = f