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第 1 页 共 34 页 高考 备考精品: 数学解题能力快速提升 一 不等式解题方法 一、从 与 的大小说起 【引例】 正实数中,对任意 a, b, m,都有 这就是 “分数的基本性质 ”:分数的分子和分母乘以同一个正数,其值不变 . 这,连小学生都知道 . 但, 我们的话题却要从这儿开始 . 【问题】 对以上 “性质 ”,如果将冒号后的文字改变一个字,将 “乘 ”改成 “加 ”,即变成这里的等号还能成立吗?请看下例 . 【例 1】 若 ba0, m0,则有 A. B. C. D. 【解答】 (淘汰法)令 a=1, b=2, m=3 淘汰 B, C, D,答案为 A. 【例 2】 (变例 1 为解答题)若 ba0, m0,试比较 和 的大小 . 【解 1】 (比较法 作差 变形 判定符号) 因为 【解 2】 (综合法 由因推果 由整式推出分式) a) 【说明】 a 放大为 b,则 缩小为 ,结果是分值缩小 . 将 缩成 ,目标是 “约 ”去 m. 【解 5】 (放缩法 从左到右) ( a0, m0,求证 【法 1】 (等式法 不等式变为方程) 设 得 即 x0,故有 . 【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式 . 即作差法的另种形式 . 【法 2】 (等式法 未知数论设作因子)设 则 所以 【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式 . 即作商法的另种形式 . 【法 3】 (函数法 视 m 为 x, ) 设有函数 函数 在 0, m上是减函数,故 是 0, m上的增函数 .(图右,其中 a=1, b=2) f( 0) 0)是 第 4 页 共 34 页 ( 0, +)上的减函数 . 【法 4】 (不等式法 把证不等式化为解不等式) 解不等式 即 x=m 为正数时,原不等式真 . 【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式 0,即 0 的解为 R,视参数为变量 . 解出的参数值域符合题设的取值范围即可 . 【法 5】 (极限法 把参数 m 作极端处理) &p; 当 m0 时, 当 m 时, 故有 【说明】 对于解答题来讲,这种解法的理由不充分,因为对于函数 f (m)= 的单调性并没讲清楚,没有交待 f(m)是 上的增函数 . 如果是确定性的选择题例 1,即 与 的大小关系是确定的,不需要讨论 m 的范围时,则这种极限法是很简便的 . 【小结】 真分数 的 放大性 :真分数的分子和分母加上同一个正数,其值变大 . 以这种 放大性 为基础,可推出许多重要的分式不等式,如 ( 1) |a+b|a|+|b| ( 2)数列 是增数列;而数 是减数列 . 【练习】 证 法程和解不等式法 . . 第 5 页 共 34 页 . 三、千方百法 会战高考不等式 【考题 1】 ( 2006 年赣卷第 5 题) 对于 R 上可导的任意函数 f( x),若满足( x 1) f( x) 0 ,则必有( ) A f( 0) f( 2) 2f( 1) 【分析】 从已知条件( f (x)0出发,可得如下 的不等式组 或 . 因此 f(x)有两种可能:其一, f (x)为常数;其二, f(x)在区间 上为减函数,在 上为增函数 . 【解答】 (综合法)依题意,当 x1 时, f( x) 0 ,函数 f( x)在 1, 上是增函数;当 数 f(x)=( )当 b0 时,若对任意 x R 都有 f(x)1,证明 a ; ( )当 b1 时,证明:对任意 x 0,1, |f(x)|1的充要条件是 a ; ( )当 00, b0, a . 【解 】 先证必要性: 对任意 x 0,1, |f (x)|1 -1f(x),据此可以推出 -1f (1),即 1, a 第 6 页 共 34 页 对任意 x 0,1, |f (x)|1 f (x)1,因为 b1,可以推出 1, 即 a , a ; a . 再证充分性:因为 b1, a任意 x 0,1,可以推出 b(x1. 即 ; 因为 b1, a ,对任意 x 0,1,可以推出 1,即 . -1f(x)1. 综上,当 b1 时,对任意 x 0,1, |f(x)|1的充要条件是 a . 【解 】因为 a0, 00, 0N 时,对任意 b0,都有 【分析】 本题的第( )、( )、( )小题之间成梯式结构,( )是( )和( )的基础 在( )上遇着困难,可承认( )的结论,并利用它迅速地解出( )第 7 页 共 34 页 和( )来 )难,而( )、( )容易 . 对于( ),已知为两个不等式,而求证一个不等式 已知不等式用综合法 下推 ,对求证不等式用分析法 上追 . 如: 欲使 只须 = 此时, 综合下推 的方向就清楚了 . 【解 】 当 n2时, , ,即 , 于是有 , , , , 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知,当 n3时有 , 【解 】 又 . 故有 =0. 【解 】 (放大为了化简) 令 , 则有 , 故取 N=1024,可使当 nN 时,都有 【说明】 本小题是条件不等式的证明,已知 2 个不等式,求证 1 个不等式 综合第 8 页 共 34 页 放缩三法联合证明综合大题时,优先考虑分析法 要的东西如何从已知的不等式中得到 . 【练习】 对考题 3,已知条件不变,对设问作 如下改写 ( )设 ,利用数学归纳法证不等式 ( )利用上述结果,证明不等式 二 函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值,是从配方法开始的 . 设 a0, f(x)=bx+c= 初三学生已知,二次函数 f(x),在 a0 时,有最小值 ; 索二次函数 y = bx+c 的单调区间 【解答】 任取 有减区间 和增区间. 显然,二次函数的最值点为 ,函数有最小值 . 【评说】 从这里看到,二次函数的最点,就是两个 异性 单调区间的交接点 . 【练 1】 试研究一次函数 没有最点,从而没有最值 . 【解】 任取 ,则有 ( 1) 时, ,函数在 R 上为增函数 . 时, ; 时, . 第 10 页 共 34 页 ( 2) 时, ,函数在 R 上为减函数 . 时, ; 时, . 所以,一次函数在 R 上没有最点,从而一次函数 无最值(既无最大值,也无最小值) . 【说明】 一次函数定义 在 R 上,定义域内找不到这样的 点 ,使得该点两边邻域是异性的两个单调区间 点是单调区间的 变性 的 转折点 . 二、从 到 高中生将 最点 变形为 ,并由此得到一个一次函数 . 精明的学生发现,这个一次函数 与对应的二次函数 有某种 关系 ,甚至有学生在偷偷 地利用这种 关系 . 这种 关系 到了高三才彻底解决:函数 正是函数 的导函数,即 . 函数求 最根 的问题,正好是 的导函数 的 求根 问题 . 导函数 的根,就是 的驻点 次函数的驻点就是二次函数的最点 . 问题变得这么明朗:求 的最点,就是求 的根 最根 ,真的与 根 字 巧合了 . 【例 2】 设 ,在同一坐标系中,分别作得 和 的图象(如右) . 试说明 的正负性与 单调性的对应关系 . 【解析】 与 相交于 . 第 11 页 共 34 页 ( 1) 时, , 递减; ( 2) 时, , 递增; ( 3) 时, , 得到最小值 . 故对应关系为:( 1) 负区与 的减区对应; ( 2) 正区与 的增区对应; ( 3) 零点与 的最值对应 . 【练 2】 已知二次函数 的导函数 图象如右图的直线,则有 ( 1) =( ),增区间为( ),减区间为( ); 第 12 页 共 34 页 ( 2) 的最( )值为( ); ( 3)若 ,求 的解析式 . 【解答】 从右 图上看到 ( 1) 的根为 ,故有 =1; ( 2) 时, 0,故 的增区间为 ; 时, 0,函数递增; ( 2) 时, 0,函数递增 . 故 在 有极大值 ,在 上有极小值 . 故 , 是 的 2 个极点,前者为极大点,后者为极小点 . 又 时, ,故函数 既无最大值,也无最小值 最点 . 【说明】 这是三次函数有 2 个驻点,且都为极点的例子 3) . 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间 . ( 1) ( 2) 【解析】 ( 1) ,函数 无驻点,无极点,无最点 . 是 上的增函数 . ( 2) , 有 2 个重合的驻点 . ( 1)当 时, ,函数递增, ( 2)当 时, ,函数也递增 . 第 14 页 共 34 页 因此,驻点 不能分出两个 相异 的单调 区间,故 不是 的极点, 无极点,当然也无最点 . 是 R 上的增函数 . 【说明】 函数 相重合的两驻点 不成为极点,可理解为它们消去了 中间 的一个 相异 的单调区间后,将两边的 同性 的单调区进行了链接而成为一个单调区间 . 经过以上的讨论得知,定义在 R 上的三次函数,不管它有无驻点或极点,它是不会有最点的。 四、极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点 什么条件下极点成为最点呢? 驻点是极点的必要不充分条件,那么极点是最点的什么条件呢? 我们研究,极点何时成为最点 . 【例 4】 已知 的导函数 ,试探究 的极点和最点 . 【解析】 . 有 3 个相异的根: 它们都是 的极点 . 易知原函数 ( R) 易知 为 的减区间, 为 的增区间, 为 的减区间,为 的增区间 . 的 4 个单调区间依次成 减 增 减 增 的顺序,使得首、尾两个区间的单调性相异,从而使得 在 两次探底 中得到最(小)点 . 比较三个极值的大小: 得 的最小值为 ,对应两个最小点 和 1. 【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点: 辉三角形本来就是二项式展开式的算图 . 对杨辉三角形熟悉的考生,比如他熟悉到了它的第 6 行: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 第 25 页 共 34 页 那么他可以心算不动笔,对本题做到一望而答 . 杨辉三角形在 3 年内考了 5 个(相关的)题目,这正是高考改革强调 多想少算 、 逻辑思维与直觉思维并重 的结果 . 这 5 个考题都与二项式展开式的系数相关,说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透 . 四 函数周期性的求解 1、正弦函数的周期 三角函数,以正弦函数 y = x 为代表,是典型的周期函数 . 幂函数 y = 周期性,指数函数 y = 周期性,对数函数 y =周期, 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = bx+c、三次函数 y = cx+d 无周期性 . 周期性是三角函数独有的特性 . ( 1) 正弦函数 y=x 的最小正周期 在单位圆中,设任意角 的正弦线为有向线 段 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周,正弦线 即时位置 和变化方向重现一次 . 同时还看到,当 P 的旋转量不到一周时,正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现 . 因此,正弦函数 y=最小正周期 2. ( 2) y=x)的最小正周期 设 0, y =x)的最小正周期设为 L . 按定义 y = ( x+L) = x+ L) = 令 x = x 则有 x + L) = x 因为 小正周期是 2,所以有 例如 最小正周期为 第 26 页 共 34 页 最小正周期为 ( 3) 正弦函数 y=x+) 的周期性 对正弦函数 自变量作 一次替代 后,成形式 y = x+) . 它的最小正周期与 y = 最小正周期相同,都是 . 如 的最小周期与 y = 3x)相同,都是 . 于是,余弦函数 的最小正周期与 最小正周期相同,都是 2. 2、复合函数的周期性 将正弦函数 y = x 进行周期变换 x x, x 后者周期变为 而在以下的各种变换中,如 ( 1)初相变换 si n( x+); ( 2)振幅变换 x +) x+); ( 3)纵移变换 x +) x+) +m; 后者周期都不变,亦即 x +) +m 与 x)的周期相同,都是 . 而对复合函数 f ( 周期性,由具体问题确定 . ( 1) 复合函数 f( 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性: ( 1) 2 ( 2) 第 27 页 共 34 页 ( 2) 的定义域为 22,值域为 0, 1,作图可知, 它是最小正周期为 2的周期函数 . 【解答】 ( 1) 2定义域为 R,值域为 ,作图可知,它是最小正周期为 2的周期函数 . 【说明】 从基本函数的定义域,值域和单调性出发,通过作图,还可确定, x, , 是最小正周期 2的周期函数 . ( 2) y= x 的周期性 对于 y = (, L=2肯定是它的周期,但它是否还有更小的周期呢? 我们可以通过作图判断,分别列表作图如下 . 图上看到, y = 有比 2更小的周期,故最小正周期为 2. ( 3) y= x 的周期性 对于 y = (, L=2肯定是它的周期,但它的最小正周期是否为 2? 可以通过作图判定,分别列表作图如下 . 第 28 页 共 34 页 图上看到, y = 最小正周期为 ,不是 2. ( 4) x 和 x 的周期性 y = 最小正周期为 ,还可通过另外一种复合方式得到 . 因为 周期是 ,故 周期也是 . 周期,由 2变为 . 就是因为符号法 负负得正 所致 . 因此,正弦函数 幂符合函数 m=2n 时, x 的最小正周期为 ; m = 2n1时, 最小正周期是 2. ( 5) 幂复合函数举例 【例 1】 求 y =|最小正周期 . 第 29 页 共 34 页 【解答】 最小正周期为 . 【例 2】 求的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 2. 【例 3】 求 的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 . 【说明】 正弦函数 幂复合函数. 当 q 为奇数时,周期为 2; q 为偶数时,周期为 . 3、周期函数的和函数 两个周期函数,如 x 和 它们最小正周期相同,都是 2. 那么它们的和函数, 即 x 的最小正周期如何? 和函数的周期与原有函数的周期保持不变 . 这个结论符合一般情况 . 对于另一种情况,当相加的两个函数的最小正周期不相同,情况将会如何? ( 1) 函数 x 的周期性 x 的最小正周期为 2, 最小正周期是 ,它们之间谁依赖谁,或依赖一个第三者? 列表如下 . 第 30 页 共 34 页 表上看到函数 最小正周期是 2. ( 2) 函数 周期性 依据上表,作 图像如右 . 从图上看到,函数的最小正周期为 2. 由 最小正周期中的大者决定,因为前者是后 者的 2 倍 然是个 振动 函数 ,但振幅已经不是常数了 . ( 3) 函数 最小正周期为 2, x 的最小正周期是 3. 们之间的和 x 的最小正周期也由 较大的 决定吗?即 和函数 的周期为 3吗? 不妨按周期定义进行检验 . 设 则 3= 因此 3不是 x 的最小正周期 . 通过作图、直观看到, x 的最小正周期为 6,即 x 最小正周期的最小倍数 . 4、周期函数在高考中 第 31 页 共 34 页 三角函数是高考命题的重要板块之一,小题考,大题也考,比分约占高考总分的七分之一,与立体几何相当 . 与立几不同的是,它还与函数、方程、不等式、数 列、向量等内容综合 . 正弦函数是三角函数的代表,而周期性又是正弦函数的特性 . 关系到正弦函数的试题,有 2 种形式 . ( 1)直接考,求正弦函数的最小正周期 . ( 2)间接考,考周期在正弦函数性质中的应用 . 求单调区间,求最值,简单方程的通解等 . ( 1) 求正弦函数的周期 【例 1】 函数 y =|的最小正周期为 ( A) ( B) ( C) 2 ( D) 4 【解答】 最小正周期是 最小正周期的一半,即 2. 答案为( C) 【说明】 图象法判定最简便 , |x|的图象是将 x 的图象在 x 轴下方部分折到 x 轴上方去 . 倍角法定判定最麻烦 【解答】 ( 1) y = 2 1 的最小正周期由 定 ( 2) 求正弦函数的周期 【例 2】 ( 1) y =2 的最小正周期为 . ( 2) y =| 最小正周期为 . 【解答】 ( 1) y = 2 1 的最小正周期由 定,故答案为 . ( 2) 故答案为 . 【说明】 都可看作 幂函数的复合函数 . ( 3) 函数周期性应用于求值 【例题】 f (x)是 R 上的偶函数,且是最小正周期为 的周期函数 . 【解答】 【说明】 周期性应用于区域转化 . 将 无解析式 的区域函数转化到 有解析式 的区间上求值 . 若 时 f (x) = 试求 的值 . ( 4) 函数周期性应用于求单调区间 【例题】 x R,求函数 y = 单调增区间 . 【 解答】 函数的最小正周期为 . 令 得 第 32 页 共 34 页 因为函数周期为 ,故函数的单调增区间为 . 【说明】 先求包含零点的增区间,再用最小正周期求单调增区间的集合 . 周期函数在高考中 ( 5) 周期性应用于求函数零点 【例题】 已知函数 . 【解答】 令 得 故交点横坐标的值的集合为 . 【说明】 先求绝对值最小的解,再利用最小正周期求 通解 . 5、高考史上的周期大难题 高考史上第一次 周期大难题 出现在恢复高考后的第 3 年,即 1980 年 的理科数学卷上 . 本题排在该卷的第六大题上 . 在有十个大题的试卷上,这是个中间位置,然而,从当年的得分情况来看,本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目 . 这点为命题人事先未能预料 . 后来分析,该题的难点有三 . ( 1)函数抽象,导致周期中含有参数;( 2)求参数范围,与解不等式综合;( 3)求最小正整数解,连命题人自拟的 标答 都含糊不清 . 20 多年来数学界质疑不断 . 【考题】 设三角函数 ,其中 k0. ( 1)写出 f (x)极大值 M、极小值 m 与最小正周期 ; ( 2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数 f (x)至少有一个值是 M 与一个值是 m. 【解答】 ( 1) M=1, m = . ( 2) f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是 M 与一个值是 m . 而任意两个整数间的距离都 1因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m,必须且只须使 f (x)的周期 1即: k=32 就是这样的最小正整数 . 6、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数,一般都是简单和具体的函数 . 关于最小正周期的求法,也是一些感性的结果;没有系统和完整 最小 正周期 的系统研究 . 然而,随着 抽象函数 的不断升温,对周期函数周期的考点要求越来越高 . 第 33 页 共 34 页 2006 年福建理数卷出现的 周期大错题 正是这种盲目拔高的必然结果 . 【例题】 f( x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f( 2) =0,则方程 f( x) =0 在区间( 0, 6)内解的个数的最小值是 说明】 这是 2005 年福建卷(理)第 12 题,命题组提供的答案是 D,即答案为 5. 答案 来?以下,就是 D的一种解法 . 【解答】 f (x)周期为 3,由 f (2)=0,得 f (5) = f

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