自然数集扩充后的基数理论

1/6自然数集扩充后的基数理论摘要自然数集扩充后,其基数理论起了相应变化,定义与法则都需作调整以适应数学教学与应用的需要1994年11月国家技术监督局发布的中华人民共和国国家标准,物理科学和技术中使用的数学符号中,将自然数集记为N0,1,2,3,而将原自然数集称为非零自然数集N或N1,2,3,自然数集扩充后,文1中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之起变化,这给数学教学与数学应用产生一定影响为此,我们将自然数的基数理论讨论如下1对自然数的来源的认识2/6由于自然数的概念是建立在基数理论1之上的,基数是由集合对等而来最初人类对物品的计数,是将物品与人的手指脚趾数形成映射关系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“没有”,“没有”即可认为是空集,其计数应当是零这就是说,零与非零自然数是人类认识同步的客观现象,而并非是6世纪才有零的概念也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一事实上,国外许多文献和专家早就主张将零作为第一个自然数2自然数的新概念自然数扩充后,包含了空集的基数,要去掉原有自然数定义中“非空”的限制条件,即定义1有限集合的基数叫做自然数根据对等的概念,可以建立N与N的一一映射关系FN0,1,2,3,N1,2,3,4,由此可见,N与N有相同的基数,即|N|N|3自然数的四则运算3/6自然数加法、乘法运算义定只要去掉原有定义中的“非空”二字即可,亦即定义2设有有限集合A和B,且ABA,B分离若记ABC,集合A,B,C的基数分别是A,B和C,那么C叫做A与B的和,记作ABCA和B叫做加数求两个数的和的运算叫做加法定义3设有MM1个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,AM,它们的基数都是N又设AUMI1AI,A的基数记作A,即有ANNNM个,这个A就叫做N乘以M的积,记作ANM,或A,或A称为被乘数,M称为乘数求两个数积的运算叫做乘法对于数0,1,补充义定N和0的积是0,N和1的积是N,即0,14/6在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即定义4设有有限集合A和B,BA,若记ABC,且A,B,C的基数分别记作A,B,C,那么C叫做A,B的差,记作ABCA叫做被减数,B叫做减数求两个数差的运算叫做减法除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可定义5设A,BB0是两个自然数,如果存在一个自然数C,使得BCA,那么C叫做A除以B所得的商,记作ABC,或ABC5/6A称为被除数,B称为除数求两个数商的运算叫做除法4自然数的有关性质1自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即定义6如果两个有限集合A,B的基数分别为A,B,那么1当AA,AB时,AB2当BB,AB时,A0时,ACBC,当C0时,ACBC对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整如数学归纳法证明的步骤应是1验证N0时,命题成立2假设NK1时成立,则NK时命题成立自然数的其他理论2,本文不再赘述