2017中考数学《一次方程组及应用》专题复习考点讲解

1 一次方程组及应用 考 点图解 技法透析 1一次方程组的解法的基本思想是“消元”，常用代入法和加减法消元，对较复杂的一次方程组依方程结构特点可用整体代入、整体叠加、换元、设辅助元等技巧 2例如方程组1 1 12 2 2a x b y ca x b y c（ 解的讨论按以下规律进行： (1)当1122时，方程组有唯一解； (2)当1 1 12 2 2a b ca b c时，方程组无解； (3)当1 1 12 2 2a b ca b c时，方程组有无数多组解 3方程组中某一个或两个方程含有绝对值符号，在解这类方程组时，要像解含有绝对值符号的一元一次方程那样，先设法去掉绝对值，一般要进行分类讨论，有时根据隐含条件去绝对值符号，再求解 4含字母系数的一次方程组，一般情况下，先用系数所含字母表示出方程组的解， 2 再根据方程组解的情况进行讨论 5一次方程组的应用的关键是通过审题理解题意 ，把握各种已知量、未知量的相互关系，从中找出相等关系，列出方程组对于题目中大量的数据可用列关系式；给出关系图；列表；分类等方法进行整理 名题精讲 考 点 1 一次方程组的解 例 1 设 a、 b 分别是等腰三角形的两条边的长， m 是这个三角形的周长，当 a、 b、m 满足方程组 2724a b 时， m 的值是 _或 _ 【切题技巧】 根据等腰三角形的边分为腰和底边两类，因此 a、 b 可能是两腰或一腰一底两种情况 (1)当 a， b 是两腰的长时，原方程组可化为 7222 ，解得 m=163；(2)当 a， 若 m=2a+b，原方程可化为 2 2 72 24a b a ，解得 12，不符合三角形的三边关系，应舍去；若 a 为底边长，则 m=a+2b，原方程组可化为 2 2 72 24a b a 解得 ，符合三角形 的三边关系，则 m=5 【规范解答】 163， 5 【借题发挥】 涉及到等腰三角形边长问题，要注意腰和底边的讨论，同时要结合三边关系检验，当方程组中有多个未知数时，要结合题意消元，从而把多元方程组转化为熟悉的一元一次方程 【同类拓展】 1实数 a、 b、 c 的值满足（ 3a 2b c 4)2 (a 2b 3c 6)2 0则9a 2b 7c _ 考 点 2 一次方程组的解法 例 2 (1) 2 3 1 2 33 8 1 1x y x y 3 (2)12 11 6 311 02 2 2 1 【切题技巧】 对于 (1)，其形式是连比形式表示的方程，可设其比值为 k；对于 (2)，设 11 ， 121，通过换元简化方程组 【规范解答】 【借题发挥】 在解形式上比较复杂的方程组时，要先观察方程组的结构特征，对于连比形式的可设其比值为一个辅助元，再用铺助元表示其它未知数；对于某一部分可以看成一个整体的用换元法，从而化繁为简；对于未知数 系数有一定联系的可以用整体叠加等方法 【同类拓展】 2已知非负实数 x， y， z 满足 1 2 32 3 4x y z ，设 W 3x 4y 5z，求 W 的最大值与最小值 考 点 3 含绝对值符号的方程组 4 例 3 方程组 126的解的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【切题技巧】 【规范解答】 A 【借题发挥】 方程组中含有绝对值符号，可以根据绝对值的意义进行讨论 ，有的题中可以简化讨论，如： 可以分 (1) 时 x + y ； (2) 时 x y 或 y x 有的题可以根据隐含条件去掉绝对值，如 1 2 4 ，隐含有 2y 40 这一条件 【同类拓展】 3已知 x x y 10 ， y x y 12，求 x y 的值 考 点 4 含字母系数的一次方程组 例 4 k， b 为何值时，方程组 21( 2 1 ) 2 3k x y bk x y (1)有唯一一组解； (2)无解； (3)有无穷多组解 【切题技巧】 通过消元，将方程组解的情况的讨论转化为一元方程解的情况的讨论 【规范解答】 【借题发挥】 对于一次方程组的解的讨论常用消元法转化为形如 b 的形式， (1)当 a 0 时有唯一个解， (2)当 a 0 且 b 0 时无解， (3)当 a 0 且 b 0 时有无数个解；也可利用以下规律：形如1 1 12 2 2a x b y ca x b y c， 5 (1)若1122，则方程组有唯一一组解； (2)若 1 1 12 2 2a b ca b c，则方程组有无数组解； (3)若1 1 12 2 2a b ca b c，则方程组无解； 【同类拓展】 4当 k、 m 的取值符合条件 _时，方程组( 2 1) 4y kx my k x 至少有一组解 例 5 已知关于 x， y 的方程组 2 3 537y m ，当 20m 10 时有整数解，则 x2_ 【切题技巧】 先用含字母 m 的式子表示出方程组的解为3 752 35 又 x， y 为整数，故 m 为 5的倍数，又 20 m 10，则 m 15，所以 23，则 7 【规范解答】 7 【借题发挥】 含字母系数方程组一般先用字母表示出方程组的解，再根据题意求出符合条件的特殊值，有时结合数的整数性求值； 【同类拓展】 5 m 为正整数，已知二元一次方程组 2 103 2 0mx 有整数解，且 x，y 均为整数，求 _ 考 点 5 一次方程组的应用 例 6 一辆客车，一辆货车 和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行速在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t _ 【切题技巧】 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 a、 b、 c（千米分），并设货车经 x 分钟追上客车，由题意得 6 1 0 ( ) ,1 5 ( ) 2 ,( ) .a b Sa c Sx b c S 由，得 30(b c) S，所以， x 30，故 t 30 10 5 15（分） 【规范解答】 15 例 7 能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后， 任 3 个相邻数的和都等于 297 如果能，请举一例，如果不能，请简述理由 【切题技巧】 假设存在符合题意 7 个整数，则根据题意列出方程组， 再解方程组看有没有符合题意的整数解 【规范解答】 【借题发挥】 当实际问题有多个对象时，一般就要设多个未知数，以便于找到更简单的等量关系，有时要设辅助未知数，利用整体思想来解决较复杂问题 【同类拓展】 6一个自行车轮胎，若把它安装在前 轮，则自行车行驶 5000报废；若把它安装在后轮