上海市杨浦区2017届九年级上期中质量数学试题含答案解析

2016年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分 1将等式 2ax=成以 x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（ ） A B C D 2在 ，点 D， E 分别在边 ， ： 2，那么 下列条件中能够判断 C 的是（ ） A B C D 3如图， ， 点 D，交 点 E，如果 S 四边形 么下列等式成立的是（ ） A B ： 3 C ： 4 D ： 2 4已知点 C 是线段 中点，下列结论中，正确的是（ ） A B C D 5已知 ， ，下列说法正确的是（ ） A B C D 6在 ，若 A= D，则下列四个条件： = ； = ； B= F； E= F 中，一定能推得 似的共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题：本大共 12 小题，每题 3 分，共 36 分 7已知 ，则 的值为 8在比例尺为 1： 1000000 的地图上，如果点 A 与点 B 两点间的距离为 2 厘米，那么点 A、 B 分别表示的两地间相距 米 9已知线段 长为 4，点 P 为线段 的一点，如果线段 线段 线段 比例中项，那么线段 长为 10如图，在梯形 ，点 E、 F 分别在边 ，且 ： 1，则 11如图，点 G 为 重心，联结 S S 12已知两个相似三角形的周边长比为 2： 3，且其中较大三角形的面积是 36，那么其中较小三角形的面积是 13如图，如果 C= D， ， ， ，那么 14如图，在 ，点 D、 E 在边 ，点 F 在边 ，且 E= ， = ，则用 表示 = 15在 ， A 与 B 是锐角， ， ，那么 C= 度 16若 0 90，且 ，则 17已知 似，且 A= E，如果 6， 2， ， ，那么 18如图，已知 ， B=90， ， ， D 是边 一点， 点 E，将 折得到 A A直角三角形，则 为 三、解答题：本大题共 7 题，共 46 分 19（ 5 分）计算： 20（ 5 分）如图，在 ， C=90， ， （ 1）求 长； （ 2）求 值 21（ 5 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，使 满足 2（ ） =3 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论） 22（ 5 分）如图，在四边形 ， F 在边 ， 延长线交 延长线于点 E， 点 M，且 M证： 23（ 7 分）如图，在矩形 ，点 P 在边 ，联结 点 A 作 延长线于点 E，联结 边 点 F （ 1）求证： （ 2）若 ： 3，且 值 24（ 7 分）如图，在 ， 0，点 D 为边 中点，过点 A 作直线 垂线交 延长线于点 H，交 延长线于点 M （ 1）求证： B=C； （ 2）求证： B=M 25（ 12 分）如图，已知 ， ，点 P 是射线 的一个动点（不与点 B 重合），作 B 交射线 点 D （ 1）若 长； （ 2）当点 D 在边 ，且不与点 B 重合时，设 BP=x， BD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （ 3）若 等腰三角形，求 长 2016年上海市 杨浦区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分 1将等式 2ax=成以 x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（ ） A B C D 【考点】 等式的性质 【分析】 根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和 2ax=否相等即可 【解答】 解： A、 = ， 去分母得： 2bc= 2ax=同，故本选项错误； B、 = ， 去分母得： 2ax= 2ax=同，故本选项正确； C、 = ， 去分母得： 2bc= 2ax=同，故本选项错误； D、 = ， 去分母得： 2ax= 2ax=同，故本选项错误； 故选 B 【点评】 本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键 2（ 2016 秋 浦东新区期中）在 ，点 D， E 分别在边 ， ： 2，那么下列条件中能够判断 是（ ） A B C D 【考点】 平行线分线段成比例 【专题】 常规题型 【分析】 可先假设 平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论 【解答】 解：如图， 可假设 可得 = = ， = = ， 但若只有 = = ，并不能得出线段 故选 D 【点评】 本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用 3如图， ， 点 D，交 点 E，如果 S 四边形 么下列等式成立的是（ ） A B ： 3 C ： 4 D ： 2 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 【专题】 计算题 【分析】 由 已知得 S S 据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比 【解答】 解： S 四边形 S S （ ） 2= = ， ： 故选 A 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题 4已知点 C 是线段 中点，下列结论中，正确的是（ ） A B C D 【考点】 *平面向量；比较线段的长短 【专题】 数形结合 【分析】 根据题意画出图形，因为点 C 是线段 中点，所以根据线段中点的定义解答 【解答】 解： A、 = ，故本选项错误； B、 = ，故本选项正确； C、 + = ，故本选项错误； D、 + = ，故本选项错误 故选 B 【点评 】 本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则 5已知 ， ，下列说法正确的是（ ） A B C D 【考点】 同角三角函数的关系 【分析】 根据同角三角函数的关系：平方关系： 解答即可 【解答】 解： 直角顶点不确定， 确定， ， = ， 解得， ， 故选： D 【点评】 本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键 6在 ，若 A= D，则下列四个条件： = ； = ； B= F； E= F 中，一定能推得 似的共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 根据三角形相似的判定方法： 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出 A、 B 的正误； 两角法：有两组 角对应相等的两个三角形相似可以判断出 C、 D 的正误，即可选出答案 【解答】 解： 由 A= D、 = 可以判定 似，故正确； 由 A= D、 = 可以判定 似，故正确； 由 A= D、 B= F 可以判定 似，故正确； E 和 F 不是两个三 角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误； 故选： C 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（ 1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（ 2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（ 3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（ 4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 二、填空题：本大共 12 小题，每题 3 分，共 36 分 7已知 ，则 的值为 【考点】 比例的性质 【分析】 设 x=7a，则 y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解 【解答】 解： ， 设 x=7a，则 y=4a， 则 = = = 故答案是： 【点评】 本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键 8在比例尺为 1： 1000000 的地图上，如果点 A 与点 B 两点间的距离为 2 厘米，那么点 A、 B 分别表示的两地间相距 20000 米 【考点】 比例线段 【分析】 设两地间的实际距离是 x 厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出 x 的值，再进行换算即可得出答案 【解答】 解：设两地间的实 际距离是 x 厘米， 比例尺为 1： 1000000，量得两地间的距离为 2 厘米， ， 解得： x=2000000， 2000000 厘米 =20 千米， 两地间的实际距离是 20000 米 故答案为： 20000 【点评】 此题考查了比例尺的性质解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位 9已知线段 长为 4，点 P 为线段 的一点，如果线段 线段 线段 比例中项，那么线段 长为 【考点】 比例线段 【分析】 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比 【解答】 解：根据题意知，点 P 是线段 黄金分割点，则 ， 又 ， B 由 ，解得 ； 故答案是： ； 【点评】 本题考查了比例线段解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值 10如图，在梯形 ，点 E、 F 分别在边 ，且 ： 1，则 4 【考点】 平行线分线段成比例；梯形 【分析】 由 = = ，由此即可解决问题 【解答】 解： = = ， ， 故答案为 4 【点评】 此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度适中，解题的关键是注意比例变形与数形结合思想的应用 11如图，点 G 为 重心，联结 S S 【考点】 三角形的重心 【分析】 三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得 面积与 面积相等；根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2： 1，可得 面积等于 积的三分之一 【解答】 解： 点 G 为 重心， 面积与 面积相等，且 面积等于 积的 ， 面积等于 积的 ，即 S S ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2： 1 12（ 2013黄浦区一模）已知两个相似 三角形的周边长比为 2： 3，且其中较大三角形的面积是 36，那么其中较小三角形的面积是 16 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可 【解答】 解：两个相似三角形周长的比为 2： 3， 则相似比是 2： 3， 因而面积的比是 4： 9， 设小三角形的面积是 4a， 则大三角形的面积是 9a， 则 9a=36， 解得 a=4， 因而较小的三角形的面积是 16 故答案为： 16 【点评】 本题考查对相似三角形性质的理解：（ 1）相似三角形周长的比等于相似比；（ 2）相似三角形 面积的比等于相似比的平方 13如图，如果 C= D， ， ， ，那么 12 【考点】 相似三角形的判定与性质 【专题】 探究型 【分析】 先根据 得出 由 C= D 即可得出 可得出 = ，再由 ， ， 即可得出 长 【解答】 解： C= D， = ， ， ， ， = ，解得 2 故答案为： 12 【点评】 本题考 查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出 由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键 14如图，在 ，点 D、 E 在边 ，点 F 在边 ，且 E= ， = ，则用 表示 = 【考点】 *平面向量；平行线的性质 【分析】 由 E= ，可求得 与 ，然后由三角形法则，求得 ，继而求得 ，又由 据相似三角形的对应边成比例，求得答案 【解答】 解： E= =3 =3 ， =2 =2 ， = + =2 + ， = = ， D： ： 3， = = 故答案为： 【点评】 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键 15（ 2016 秋 浦东新区期中）在 ， A 与 B 是锐角， ， ，那么 C= 75 度 【考点】 特殊角的三角函数值 【专题】 探究型 【分析】 先根据， A 与 B 是锐角， ， 求出 A 及 B 的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可 【解答】 解： A 与 B 是锐角， ， ， A=45， B=60， C=180 A B=180 45 60=75 故答案为： 75 【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 16若 0 90，且 ，则 【考点】 同角三角函数的关系 【分析】 根据正弦与余弦之间的关系求出 据 计算即可 【解答】 解： ， = ， = ， 故答案为： 【点评】 本题考查的是同角三角函数的关系，掌握 是解题的关键 17已知 似，且 A= E，如果 6， 2， ， ，那么 24或 18 【考点】 相似三角形的性质 【专题】 分类 讨论 【分析】 根据 似，且 A= E，分两种情况讨论： 别根据对应边成比例，求得 长 【解答】 解： 似，且 A= E， 当 ， = ， 即 = ， 解得 4； 当 ， = ， 即 = ， 解得 8 故答案为： 24 或 18 【点评】 本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 18（ 2015滨湖区一模）如图，已知 ， B=90， ， ， D 是边 一点， 点 E， 将 折得到 A A直角三角形，则 为 或 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 先根据勾股定理得到 ，再根据平行线分线段成比例得到 B： ： 5，设AD=x，则 E= x， x， AB=2x 4，在 A，根据勾股定理得到 AC，再根据 A直角三角形，根据勾股定理得到关于 x 的方程，解方程即可求解 【解答】 解：在 ， B=90， ， ， ， E： B： ： 5， 设 AD=x，则 E= x， x， AB=2x 4， 在 A， AC= ， A直角三角形， 当 A落在边 时， =90， = AB=3 ， ； 点 A 在线段 延长线上（ ） 2+（ 5 x） 2=（ x） 2， 解得 （不合题意舍去）， 故 为 或 故答案为： 或 【点评】 此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的 三、解答题：本大题共 7 题，共 46 分 19（ 5 分）计算： 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解 【解答】 解：原式 = = =7+4 【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 20（ 5 分）如图，在 ， C=90， ， （ 1）求 长； （ 2）求 值 【考点】 解直角三角形 【分析】 （ 1）根据 值求出 据勾股定理求出 可； （ 2）把 值代入 求出即可 【解答】 解：（ 1） 在 ， C=90， = ， ， ， 由勾股定理得： = =2 ； （ 2） = = 【点评】 本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据 锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中 21（ 5 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，使 满足 2（ ） =3 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论） 【考点】 *平面向量 【分析】 根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为 1，即可求得答案 【解答】 解： 2（ ） =3 ， 2 2 =3 ， 2 = 2 ， 解得： = + 【点评】 此题考查了向量的运算以及画法此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键 22（ 5 分 ）如图，在四边形 ， F 在边 ， 延长线交 延长线于点 E， 点 M，且 M证： 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 首先利用 出 而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可 【解答】 证明： = ， M = ， = ， 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出 解题关键 23（ 7 分）如图，在矩形 ，点 P 在边 ，联结 点 A 作 延长线于点 E，联结 边 点 F （ 1）求证： （ 2）若 ： 3，且 值 【考点】 相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】 （ 1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明 （ 2）延长 于点 M设 a， a，则 a， a，想办法求出 = ，由此即可解决问题 【解答】 （ 1）证明： 四边形 矩形， 0， 0， （ 2）解：如图，延长 于点 M ： 3，且 可以假设 a， a，则 a， a， = ， = ， a， = ， = ， a， a， = = = 【点评】 本题考查矩形的性质相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等 知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 24（ 7 分）如图，在 ， 0，点 D 为边 中点 ，过点 A 作直线 垂线交 延长线于点 H，交 延长线于点 M （ 1）求证： B=C； （ 2）求证： B=M 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）欲证明 B=C，只要证明 可 （ 2）由 S H= M，推出 H=M，再证明 到= ，推出 C=H，由此即可证明 【解答】 证明：（ 1） 0， B， A= 0， = ， B=C （ 2） S H= M， H=M， D， 0， = ， C=H， B=M 【点评】 本 题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等