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GENERALSITUATIONCOURSELINEARALGEBRACONFERENCEBOOKLINEARALGEBRAANDITSAPPLICATION,DAVIDCLAYABOUTTHECONFERENCEBOOK7CHAPTERSINTOTAL,WEWILLSKIPMOSTOFTHEAPPLICATIONSECTIONSANDSOMESECTIONSWHICHISNOTOFGREATIMPORTANCEMAINCHAPTER1ANINTRODUCTIONTOLINEAREQUATIONSINLINEARALGEBRAWELLFINISHTHISCHAPTERINABOUT46CLASSESINTHISCHAPTER,WELLINTRODUCELINEARALGEBRAINANATUREWAYTHROUGHLINEARSYSTEMSFORSIMPLICITYOFWRITINGANDLATERUSE,WELLINTRODUCESOMECONCEPTABOUTMATRIXASWELL11112232451XKXK12,WELLUSETHISEXAMPLETOSHOW1THESOLUTIONSINVECTORFORM2ELEMENTARYROWOPERATIONSTOMATRIX,INCLUDINGREPLACEMENT,INTERCHANGEANDSCALING3ROWEQUIVALENCEOFTWOMATRIX4ECHELONMATRIXORAMATRIXWHICHISINECHELONFORMMOREEXAMPLESOFECHELONMATRIXTHESTRICTDEFINITIONOFECHELONFROMATHELEADINGENTRYINAROWBECHELONMATRIXISAMATRIXSATISFIESTHEFOLLOWINGTWOPROPERTIESATHEFIRSTRROWSOFITISNONZEROROWTHELEFTROWS,IFTHEREAREANY,AREZEROROWBEACHLEADINGENTRYOFAROWISINACOLUMNTOTHERIGHTOFTHELEADINGENTRIESINTHEROWSABOVEIT5REDUCEDECHELONMATRIX6APIVOT,PIVOTPOSITION,PIVOTCOLUMN7THEMATRIXEQUATIONANDVECTOREQUATIONCONNECTEDTOLSSYSTEM,8THECONSISTENCYOFLINEARSYSTEM,VECTOREQUATIONANDMATRIXEQUATION,GENERALFORM121212NNNAXAXB1NXAX4THESOLUTIONOFINTERMSOFITSHOMOGENOUSEQUATIONANDONEOFITSAXSPECIALSOLUTIONTHEOREMTHELSSYSTEMHASTHESOLUTIONOFTHEFORMEXAMPLELEMMAAKXLYLAPROOF16ANEXAMPLEINAPPLICATIONOFLINEARSYSTEMEXAMPLEASIMPLIFIEDECONOMYMODELCONSISTINGOFONLYCOAL,ELECTRIC,ANDSTEELSECTORS,WHICHHAVEADISTRIBUTIONMATRIXASFOLLOWSO60OFCOALSOUTPUTGOESTOELECTRICITY,40OFGOES046125COELSTPURCHASEDBYCOLTTOELECTRICITYANDSTEELBUYS40OFCOALSPRODUCT,50OFELS,ANDUSE20OFITSELFSTHETOTALDOLLARVALUEOFTHEOUTPUTOFASECTORISCALLEDTHEEQUILIBRIUMPRICESOFTHESECTORINACOMPLEXECONOMICALSYSTEM,THEINCOMEOFASECTORSHOULDBALANCETHEEXPENSESOFTHATSECTORWEDENOTETHEPRICEOFCOALSECTORAS,ANDTHEOTHERSECTORTHEWAYSIMILARLY,WEHAVECPSO0466125CESESSPNOTEAMORECOMPLEXSYSTEM0532OLSTFOPURCHASEDBYCELSTOASSIGNMENTPAGE251,2,7,14,EXERCISEPAGE63,1,417LINEARINDEPENDENCE1THEDEFINITIONOFLINEARINDEPENDENCEAEXAMPLES,AND123010XX123010XXBDEFINITIONOFLINEARDEPENDENTANDLINEARLYINDEPENDENTCWHENASETISOFMORETHANONEVECTORS,ITSLINEARLYDEPENDENTIFANDONLYIFONEOFTHEVECTORCANBEEXPRESSEDASTHELINEARCOMBINATIONOFOTHERSTWOVECTORCASEDTHECOLUMNSOFAMATRIXAARELINEARLYINDEPENDENTIFANDONLYIFTHEAX0HASONLYTRIVIALSOLUTION2THEOREM,IF,ISLINEARLYDEPENDENT1,NMR1,MPROOFTHEECHELONFORMHAVEZEROROWEXERCISEPAGE711,3,111819LINEARTRANSFORMATIONANDITSMATRIX1DEFINITIONOFLINEARTRANSFORMATIONAMAP映射ISCALLEDATMNRLINEARTRANSFORMATIONIFEXAMPLEALET,ACONSTANTVECTORDEFINE0NRNQUESTION,ISTALINEARTRANSFORMATION02TNB,ITSACTUALLYSOMEWHEREA23BA23TRISSOMEMATRIXOFSIZE322DEFINITONOFMATRIXTRANSFORMATIONISOFSIZE,ANMNT3THEOREMLINEARTRANSFORMATIONISAMATRIXTRANSFORMATIONTMRTHEUNIQUEMATRIXISCALLEDTHEMATRIXOFTPROOFINFACTWEWILLPROVETHAT,WHERE,A1,MT4NOTETHATTOFINDAPREIMAGEOFALINEARTRANSFORM
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