《电路》-第七章

动态电路的方程及其初始条件71一阶电路和二阶电路的阶跃响应77一阶电路的零输入响应72一阶电路和二阶电路的冲激响应78一阶电路的零状态响应73卷积积分79一阶电路的全响应74状态方程710二阶电路的零输入响应75二阶电路的零状态响应和全响应76动态电路时域分析中的几个问题711首页第7章一阶电路和二阶电路的时域分析2一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；重点3一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。1动态电路方程的建立及初始条件的确定；返回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1动态电路71动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。下页上页特点返回例0TI2/RUIS21RRUIS过渡期为零电阻电路下页上页USR1R2（T0）I返回I0,UCUSI0,UC0K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态K未动作前，电路处于稳定状态电容电路下页上页KUCUSRCIT0TUCUSRCI返回电容电路下页上页KUCUSRCIT0TUCUSRCI返回前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态USUCT0IRUS有一过渡期T1UL0,IUS/RI0,UL0K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路K未动作前，电路处于稳定状态电感电路下页上页KULUSRIT0LTULUSRI返回电感电路下页上页KULUSRIT0LTULUSRIUL0,IUS/RI0,UL0K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路K未动作前，电路处于稳定状态前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态T1US/RIT0ULSU有一过渡期返回下页上页TULUSRI工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。注意KTULUSRI返回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。TWP电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化P0T下页上页返回DDSCCTUUTURC应用KVL和电容的VCR得2动态电路的方程下页上页T0UCUSRCISCTUURITUCIDDC例RC电路返回SLTUURIDDSTUTILRI应用KVL和电感的VCR得TILUDDL下页上页T0ULUSRIRL电路返回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返回DDDDSCC2C2TUUTURCTULCSCTUUURIL二阶电路TUCIDDCTILULDD下页上页T0ULUSRICUCRLC电路应用KVL和元件的VCR得含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返回一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。0DD01TTEXATXA0DDDD01222TTEXATXATXA二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。0DDDDDD01111TTEXATXATXATXANNNNNN动态电路的分析方法根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；下页上页返回复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的通解任意激励SUXATXA01DD0DTDXTSUXA0下页上页直流时返回T0与T0的概念认为换路在T0时刻进行0换路前一瞬间0换路后一瞬间3电路的初始条件LIM000TFFTTLIM000TFFTT初始条件为T0时U，I及其各阶导数的值。下页上页注意0FT00FF0000FFT返回图示为电容放电电路，电容原先带有电压UO,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例解0DDCCUTURC00TURIC特征根方程01RCPRCP1通解OUKRCTPTCKEKETU代入初始条件得RCTOCEUTU在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。下页上页明确RCIUCT0返回D1TCICTUD1D100TICICD100TCICUT0时刻D10000ICUUCCIUCC电容的初始条件0下页上页当I为有限值时返回Q0Q0UC0UC0换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。QCUC电荷守恒下页上页结论返回D1TLULTID1D100TULULD10000ULIILL电感的初始条件T0时刻0D100TLULI下页上页当U为有限值时ILUL返回L0L0IL0IL0LLI磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。下页上页结论返回L0L0IL0IL0QC0QC0UC0UC0换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回电路初始值的确定2由换路定律UC0UC08VMA20108100CI1由0电路求UC0UC08V3由0等效电路求IC0IC00IC0例1求IC0电容开路下页上页10VIICUCS10K40K10VUC10K40K8V0等效电路10VIIC10K电容用电压源替代注意返回00LLUUIL0IL02AV8420LU例2T0时闭合开关K,求UL0先求A241100LI应用换路定律电感用电流源替代0LI解电感短路下页上页ILULL10VS14IL10V14由0等效电路求UL02AUL10V14注意返回求初始值的步骤1由换路前电路（稳定状态）求UC0和IL0；2由换路定律得UC0和IL0。3画0等效电路。4由0电路求所需各变量的0值。B电容（电感）用电压源（电流源）替代。A换路后的电路（取0时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页小结返回IL0IL0ISUC0UC0RISUL0RIS求IC0,UL000RRIIISSC例3解由0电路得下页上页由0电路得ST0ULILCUCLRISICRIS0电路ULICRISRIS返回V2412200CCUUA124/4800LLII例4求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解下页上页由0电路得ILULLS248V32CIL248V32UC返回例4求K闭合瞬间各支路电流和电感电压A83/24480CIA208120IV24122480LU下页上页由0电路得返回12A24V48V32IICUL72一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1RC电路的零输入响应已知UC0U00CRUUTUCICDDURRI零输入响应下页上页IST0URCUCR返回000DDUUUTURCCCCRCP1特征根特征方程RCP10TRCEA1PTCEAU则下页上页代入初始值UC0UC0U0AU0IST0URCUCR返回000TEIERURUIRCTRCTC00TEUURCTCRCTRCTCERURCECUTUCI001DD下页上页或返回IST0URCUCRTU0UC0I0TI0令RC,称为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关下页上页表明返回00TEUURCTCRCTERUI0时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短RC大过渡过程时间长小过渡过程时间短电压初值一定R大（C一定）IU/R放电电流小放电时间长U0TUC0小大C大（R一定）WCU2/2储能大0,110TEUURCPTC物理含义下页上页返回A电容电压衰减到原来电压368所需的时间。工程上认为,经过35,过渡过程结束。U00368U00135U0005U00007U0T0235TCEUU0U0U0E1U0E2U0E3U0E5下页上页注意返回T2T1T1时刻曲线的斜率等于211C1C0C01DD11TTTUTUEUTUTTTU0TUC0T1T2次切距的长度下页上页TCEUU0返回B时间常数的几何意义能量关系TRIWRD02电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕设UC0U0电容放出能量2021CU电阻吸收（消耗）能量TRERURCTD2002021CUTERURCTD20200220|2RCTERCRU下页上页UCRC返回例1图示电路中的电容原充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有UC45FI1T0等效电路00CTEUUT下页上页I3S3UC265FI2I1S2045V240RCU返回UC45FI10V2420TEUTC分流得A64201TCEUIA4322012TEIIA2312013TEII下页上页I3S3UC265FI2I1返回下页上页例2求图示电路K闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有F42112CCCCCU0U020V返回U1（0）4VUSC15FIC220FU2（0）24V250K下页上页UK4FI20V250K020TEUTS11040523RCA80102503TEUIV2016D805141000111TTTTETEDICUUV204D8020124D1000222TTTTETEICUU返回2RL电路的零输入响应特征方程LPR0LRP特征根代入初始值AIL0I00100IRRUIISLL00DDLLTRITILPTAETIL000LTEIEITITLRPTT0下页上页ILST0USLULRR1ILULR返回RLTLLERITILTU/0DD0/0TEITIRLTLTI0IL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下页上页表明RI0ULT0ILULR返回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关下页上页令称为一阶RL电路时间常数L/R时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大WLIL2/2起始能量大R小PRI2放电过程消耗能量小放电慢，大大过渡过程时间长小过渡过程时间短物理含义电流初值IL0一定返回00/0TEIEITITRLTL能量关系TRIWRD02电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设IL0I0电感放出能量2021LI电阻吸收（消耗）能量TREIRLTD2/002021LITERIRLTD/20200220|2/RCTERLRI下页上页ILULR返回例1T0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压U12。S166RL解A26366/3242400LLII66/423R下页上页IUL66HT0ILST024V6H3446UL212返回0V12A2TETILUEITLLTLDDV424242412TLEIU下页上页IUL66HT0ILST024V6H3446UL212返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。TEYTY0IL0IL0UC0UC0RC电路RL电路下页上页小结返回一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下页上页小结RCL/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路返回动态元件初始能量为零，由T0电路中外加激励作用所产生的响应。SCCDDUUTURC方程73一阶电路的零状态响应解答形式为CCCUUU1RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页IST0USURCUCRUC00非齐次线性常微分方程返回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCTAEUC变化规律由电路参数和结构决定的通解0DDCCUTURCSCUU通解（自由分量，暂态分量）CU特解（强制分量）CUSCCDDUUTURC的特解下页上页返回全解UC0AUS0AUS由初始条件UC00定积分常数ARCTAEUUUTUSCCC下页上页01SSSCTEUEUUURCTRCT从以上式子可以得出RCTERUTUCISCDD返回USUCUC“USTIRUS0TUC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明返回响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系2S21CU电容储存能量电源提供能量2SS0SDCUQUTIU2S21CU电阻消耗能量TRRUTRIRCTEDD20S02电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RCUS返回01SCTEUURCT例T0时,开关S闭合，已知UC00，求1电容电压和电流,2UC80V时的充电时间T。解1这是一个RC电路零状态响应问题，有0V11001200SCTEEUUTTS1051050035RCA20200STTEERUI2设经过T1秒，UC80VTETS045811008012001M下页上页50010F100VSUCI返回2RL电路的零状态响应SLLUIRTILDD1SLTLRERUI已知IL00，电路方程为LLLIIITILRUS0RUISLA00TLRAERUS下页上页ILST0USURLULR返回1SLTLRERUITLREUTILUSLLDDULUST0下页上页ILST0USURLULR返回例1T0时,开关S打开，求T0后IL、UL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有200300/20080EQRS010200/2/EQRLT0下页上页A1101100SLTTEERUTIV2000100SLTTEEUTU返回ILSUL2HR8010A200300ILUL2H10AREQILUL2HUSREQV2000SU74一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。SDDUUTURCCC以RC电路为例，电路微分方程1全响应全响应下页上页IST0USURCUCR解答为UCTUCUC“特解UCUS通解TCAEURC返回UC0U0UC0AUSU0AU0US由初始值定A下页上页00TEUUUAEUUTSSTSC强制分量稳态解自由分量暂态解返回2全响应的两种分解方式UC“USU0暂态解UCUS稳态解U0UC全解TUC0全响应强制分量稳态解自由分量暂态解着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回全响应零状态响应零输入响应010TEUEUUTTSC着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应ST0USCRUC0U0ST0USCRUC0U0ST0USCRUC00返回010TEUEUUTTSC零状态响应零输入响应TUC0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回例1T0时,开关K打开，求T0后的IL。解这是RL电路全响应问题，有S20/112/60/RLA64/2400LLIIA620TLETI零输入响应A1122420TLETI零状态响应A42126202020TTTLEEETI全响应下页上页ILST024V06H4UL8返回或求出稳态分量A212/24LI全响应A220TLAETI代入初值有62AA4例2T0时,开关K闭合，求T0后的IC、UC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有1,V10FCUC下页上页稳态分量V11110CU返回10V1A1UC1U1V101150TCETUA550TCCETUTIDDV51211150TCCEUITU下页上页S2111RC全响应V1150TCAETU返回10V1A1UC1U13三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程TEATFTF令T0ATFF0000TFFACBFTFADD其解答一般形式为下页上页特解返回TEFFTFTF00时间常数初始值稳态解三要素FF0分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0等效电路求解用T的稳态电路求解下页上页直流激励时0FFTFTEFFFTF0A注意返回V200CCUUV667011/2CUS2332EQCR033166706670266705050TEEUTTC例1已知T0时合开关，求换路后的UCT解TUC2V06670TCEUUUTU0CCC下页上页1A213FUC返回例2T0时,开关闭合，求T0后的IL、I1、I2解三要素为S5/15/5/60/RLA25/1000LLIIA65/205/10LI下页上页IL20V05H5510VI2I1TLLLLEIIITI0三要素公式04662655TEETITTLV10545055TTLLEETILTUDDA225/1051TLEUTIA245/2052TLEUTI返回三要素为S5/15/5/60/RLA25/1000LLIIA65/205/10LI04662655TEETITTLA22202551TTEETIA24424552TTEETIA0110201001IA2110102002IA25/101IA45/202I下页上页0等效电路返回20V2A5510VI2I1例3已知T0时开关由12，求换路后的UCT解三要素为V12624111IIIUCV800CCUU下页上页44I12I1U10/1011IURIUEQ2A4101FUC4I12I18V12返回TEUUUTU0CCCCV201212812CTTEETU下页上页S11010EQCR例4已知T0时开关闭合，求换路后的电流IT。1H025F52S10VI解三要素为V1000CCUU0CUS502502EQ1CR返回V1002CCCCTTEEUUUTU000LLIIA25/10LIS205/1/2EQRLA1205TTLLLLEEIIITIA512225TTCLEETUTITI下页上页1H025F52S10VI返回已知电感无初始储能T0时合S1,T02S时合S2，求两次换路后的电感电流IT。002SA52/10502/1/A261202IRLI2612220205EIA7435202TETI下页上页I10VS1T0S2T02S32返回TEI5220|P1|下页上页0电容电压返回21120CTTCPPEEPPLUTUCIDDT0IC0,TIC0IC0TTM时IC最大TMIC2112120CTTPPEPEPPPUU下页上页TU0UC0电容和电感电流返回U0UCTM2TMULIC2121120TTLPPEPEPPPUTILUDD2112120CTTPPEPEPPPUU00，TTMI减小,ULTMUC减小，I减小下页上页RLCRLCTU0UCTM2TMULIC0返回22CLRLCLRLRP12222,1JP谐振角频率衰减系数,令120LCLR220固有振荡角频率UC的解答形式212121TJTJTTPTPCEAEAEEAEAU经常写为SINTAEUTC下页上页共轭复根返回0COSSIN00SIN000AADTDUUAUUCC由初始条件ARCTGUA，SIN00下页上页SINTAEUTC0SIN00UA，的关系SIN00TEUUTC返回SIN00TEUUTC弦函数。为包线依指数衰减的正是振幅以00UUCT0时UCU0UC0T，2NT220U0UCTEU00TEU00下页上页返回T220U0UCICTELUTUCITCCSIN0DDSIN00TEUTILUTLDDUL0T，2NIC0T0，2N，为UC极值点，IC的极值点为UL零点。下页上页返回能量转换关系00电路的微分方程B求通解C求特解D全响应强制分量自由分量定常数由初值00DTDFFE上页返回上页77一阶电路和二阶电路的阶跃响应1单位阶跃函数定义0100TTTTT01单位阶跃函数的延迟10000TTTTTTTTT0T001下页上页返回T0合闸ITIST在电路中模拟开关的动作T0合闸UTET单位阶跃函数的作用下页上页SUSUTSTUUT返回ISTIKTISUT起始一个函数TFT0SIN00TTTTT0延迟一个函数下页上页TFT0T0SINTTSIN0TTT返回用单位阶跃函数表示复杂的信号例10TTTTFTTFT101T0TFT0T0TT04312TTTTF例21T1FT0243下页上页返回11TTTTTF例41T1FT011TTTT11TTTT431TTTTTF例31T1FT0243下页上页返回1TTU例5T102已知电压UT的波形如图，试画出下列电压的波形。124TTU113TT