外文翻译原文和译文-简单紧凑的大步长线性压电步进电机

外文文献翻译译稿1科学仪器评论80，0851042009简单紧凑的大步长线性压电步进电机QIWANG1ANDQINGYOULU1,2,A1合肥微物质科学国家实验室，中国科学技术大学，安徽合肥230026，中华人民共和国2强磁场实验室，中国科学院，安徽合肥230031，中华人民共和国的中国2009611接收；2009716通过；2009814网络出版我们提出一篇关于新型压电步进电机的文章，这种步进电机具有高密度，刚性，简单，和任意方向可操作性的特点。虽然测试在室温下进行，但是由于宽松的操作条件和大步长，该电机也能在低温下工作。电机由一个压电扫描器管来运行，它的轴向几乎被切成两半，通过轴的弹簧部分夹持一个空心轴内部两端。双驱动电压仅使压力管的两部分在一个方向上变形，且能反向移动轴承以恢复原状，反之亦然。美国物理研究所工业部101063/13197381一简介扫描探针显微镜（SPM）在一些有重要类型的原子甚至是亚原子研究的纳米技术领域是一个功能强大的工具。显微镜的一个关键组成部分，就是它那个能在纳米范围内粗略接近被测物的末端或者样品的定位器，这多半需要一个压电步进电机。111压电电动机在其他领域也有重要应用，例如显微镜在现代光学12，细胞或者DNA控制中的定位13。到现在为止，在尺蠖3,1419、甲虫类生物57,10,2022、剪切压电步进电机2,8,9,11,23,24，惯性滑块4,2528等文献中找到了各种各样的压电电动机。然而，他们都有着严重的缺点。对于前三种而言，每一种都需要三个或者更多的电压驱动才能被操作，这使得电机的结构和控制都变得太过复杂。在小领域（极端环境条件）或者微信号测量等方面，他们的可靠性和应用程度成为了一个很大的问题。惯性滑块虽然简单，但是特性不够硬（容易产生振动，从而降低了原子图像的品质），并且无法产生足够的推动力。在这片文章中，我们阐述了一个不具有以上限制的压电电动机。电机由一个压电扫描器管（PST）来运行，它的轴向几乎被切成两半，通过轴上的弹簧部分夹持一个空心管（HS）内部两端。双驱动电压仅使压力管的两部分在一个方向上变形，且能反向移动轴承以恢复原状，反之亦然。其紧凑，简单，刚度，和大步长的特性使其在小空间（极端条件下）和低温应用中非常有用。A作者的联系方式如下。电话865513600247。电子邮箱QXLUSTCEDUCN。二设计原理图1为我们设计的原理图。图2为实物图。两个15MM厚的蓝色环粘（采用了来自环氧树脂技术的环氧树脂）在了79MM内径、102MM外径的压电扫描管（压电扫描管物理模型13024，长30MM，外径10MM，壁厚05MM，有200V的最大工作电压）的整个外环边缘处。在压电扫描管的外径蓝色环上切两个相对的切口，长度从一段的蓝色环到另一端的蓝色环，总长大概占到整个压电扫描管的92的长度。为被切到的蓝色环是粘在基环上的，另外一个蓝色环被切成了两半，它被称作半夹持环（夹持一个可转动的空心管）。没对没有被切割的相邻电极用导线连在了一起，形成两个半圆柱形电极，任意一个称为电极1（E1），为了方便，把另一个称为电极2（E2）。由E1和E2控制的压电扫描管的两部分分别简称为P1，P2。电机可移动部分是一个钛合金空心管，它被插入到压电扫描管的内部，如图1（A）所示。我们还研究过圆形和方形的空心管，如图1（B）所示。对于圆形空心管而言（长45MM，内径58MM，外径78MM，穿过蓝色环到达压电扫描管的边缘并形成一个005MM的间隙），导线从与他垂直的平面的一段管过轴到另一端。两个切割线不会穿过整个空心管，会在每端留下08MM的未切割部分。空心管切除部分的那对空隙朝同一方向打开，并且和压电扫描管上分布的缝隙是同一方向。一个弹性很强的弹簧被牢固的固定在空心管的一端，推动空心管的打开，分别对夹持的半环施加N1和N2的推力，同时空心管另一端一个较弱的压缩弹簧让空心管给基换施加一个总的压力NBR。N1，N2和NBR在上述较强和较弱的压缩弹簧上能大致平衡。因此，只要两者的摩擦系数相等，那么施加在空心管的最大静摩擦力会因为这三个压力的大致相等而抵消（方向可能与下面讨论的相反）。图1（A）我们的压电电机的结构（B）两种空心管的研究这种在压电扫描管和空心管两段互相夹持的结构有一个很大的好处，就是这种结构很稳定（耐振动噪声），能在任意方向上安装。同时也应注意到，这种夹持结构是灵活的（大范围的力），这表明较大的温度变化不会引起夹持力显著的变化，且这三个最大静摩擦力任然可以保持平衡。为了能控制电机，图3（A）所示的两个驱动电压D1和D2分别适用于压电扫描管的电极E1和E2（内部电极电压定为200V），这能试相对的半圆形螺线管P1和P2变形，如下图所示。在第一个1/6周期（T1）内，P1和P2初始化状态。在T2内，P1保持不变，P2收缩。这会导致P2和空心管的自由端的电压下降，而不是基环和空心环指间电压的下滑，因为P2到空心管的最大静摩擦力小于FR2小于P1到空心管与基环到空心管的最大静摩擦力之和，FR1FRBR（假设这些摩擦力远远小于P1和P2的阻力FBL1和FBL2）。下一时间段，T3，P1和P2保持在之前的状态。这种纯粹的“等待”是为下一步的同步做好准备，这不是必须的，可以去掉来节省时间。在T4时间内，P1收缩，P2保持不变。这会导致P1和空心管的自由端电压下降（与T2时间的动作原因一样）。到现在为止，P1和P2都已经在基于基础环，没有移动空心管的情况下从扩张的状态变到收缩的状态。T5是另外一个等待时间，它也是可以去掉的。在最后一个1/6周期（T6）内，P1和P2同时扩张。这次仅在基础环和空心环之间的电压发生了下滑，因为FRBRNBR以使空心管运动，这就意味着LBLC这个条件应该满足。因为如果LC0，空心管不能运动，那么运动范围最终由0NBRFORTHEHSTOWALK,THISMEANSTHATLBLCSHOULDBESATISEDSINCETHEHSCANNOTMOVEIFLC0,THERANGEOFMOTIONISNALLYDETERMINEDBY0LCLBINOURDESIGN,LCLB30MMTHELENGTHOFTHEPST,WEEXPECTTHATMAXIMUMDISPLACEMENTOFTHESQUAREHSISLESSTHAN15MMTHISISSUEOFLIMITATIONONTHERANGEOFMOTIONCANNEVERTHELESSBESOLVEDIFTHECLAMPINGSPRINGSAREATTACHEDTOTHESAPPHIRERINGSNOTTOTHEHSIIIPERFORMANCETESTWEHAVETESTEDTHEROOMTEMPERATUREPERFORMANCEOFTHEMOTORINTWOEXTREMECASESOFMOVINGDIRECTIONSUPWARDANDDOWNWARDBYMEASURINGITSSTEPSIZEANDSPEEDASFUNCTIONSOFTHEFREQUENCYFIGS5AAND6AFORCIRCULARANDSQUAREHS,RESPECTIVELYANDOPERATINGVOLTAGEFIGS5BAND6BFORCIRCULARANDSQUAREHS,RESPECTIVELYTHEPRESSINGFORCESWERESETTON1N2NBR022NFORCIRCULARHSWHICHAREMUCHSMALLERTHANTHEBLOCKINGFORCESFBL1FBL22NOFTHEDRIVINGPIEZOP1ANDP2THEMAXIMUMSTEPSIZEIS129MWITHTHEMEASUREMENTCONDITIONSBEINGCIRCULARHS,DOWNWARDSTEPPINGWITH03HZDRIVINGFREQUENCYWHENTHEMOVINGDIRECTIONISCHANGEDTOUPWARD,THESTEPSIZEBECOMES117MDUETOGRAVITYINCASEOFSQUAREHS,THEDOWNWARDANDUPWARDSTEPSIZESARE89AND82M,RESPECTIVELY,WHICHISMOREUNIFORMBECAUSEOFITSKNIFEEDGECONTACTSWITHTHESAPPHIRERINGSALLTHESESTEPSIZESARERATHERLARGECOMPAREDWITHOTHERTYPESOFPIEZOELECTRICMOTORS9,11,23WITHTHESIMILARSIZETHESPEEDOFMOTIONISOFCOURSECLOSELYRELATEDTOTHEDRIVINGFREQUENCYTHEMAXIMUMDRIVINGFREQUENCYWESETWAS50HZ,ATWHICHTHESPEEDSFORTHECIRCULARUPWARDVERSUSDOWNWARDANDSQUAREUPWARDVERSUSDOWNWARDHSWERE2227VERSUS2462AND1944VERSUS1998MM/MINWHENTHEDRIVINGFREQUENCYINCREASESORIFTHEMAGNITUDEOFTHEOPERATINGVOLTAGEDROPS,THESTEPSIZEDIMINISHESASSEENINFIGS5AND6ALTHOUGHWEGETLARGERSTEPSIZEFROMCIRCULARHS,WESTILLPREFERTHESQUAREHSOWINGTOITSADVANTAGESLISTEDEARLIERFORINSTANCE,THETRAVELRANGEUSINGTHESQUAREHSIS9MMASDESIGNEDCOMPAREDWITH33MMFORTHECIRCULARHSWORSETHANTHEDESIGNED66MMTRAVELRANGETHEPERFORMANCECURVESOFTHESQUAREHSMOTORSEENINFIG6AREALSOSMOOTHERANDMORECONSISTENTTHANTHOSEFIG5OFTHECIRCULARHSMOTORFIG5THESTEPSIZELEFTVERTICALAXISNDSPEEDRIGHTVERTICALAXISOFTHEMOTORUSINGTHECIRCULARHSASFUNCTIONSOFAFREQUENCYMAXIMUMOPERATINGVOLTAGE200VANDBMAXIMUMOPERATINGVOLTAGEFREQUENCY20HZALTHOUGHTESTEDINROOMTEMPERATURE,THEMOTORHASHIGHPOTENTIALTOWORKINLIQUIDHELIUMTEMPERATUREFORTWOREASONS1ITSLARGESTEPSIZECANAFFORDTOPAYFORTHETHERMALCONTRACTIONSTILLWITHREMARKABLESTEPSIZEREMAININGTOPRODUCEAMOVE2ITSSPRINGCLAMPINGSTRUCTUREVALIDATESTHEREQUIREDFRICTIONRELATIONSHIP,|FR1|FR2|FRBR|,INAVERYWIDETEMPERATURERANGESINCEACHANGEFROMROOMTEMPERATURETOLIQUIDHELIUMONLYSHRINKSTHECOMPRESSIONSPRINGS5MMLONG,SPRINGCONSTANTISABOUT286N/MBYMICRONSWHICHDONOTCONSIDERABLYAFFECTTHEPRESSINGFORCESBETWEENTHEHSANDTHESAPPHIRERINGSTHESQUAREHSMAYSUFFERWEARANDTEARISSUESASITSFOUREDGESCOULDBESCRATCHEDBYTHESAPPHIRERINGSTOTESTITSDURABILITY,WEOPERATEDTHEMOTORREPEATEDLYWITH200VAND50HZDRIVINGVOLTAGESFORMORETHANONETHOUSANDTIMESWITHADISPLACEMENTABOUT3MMANDTHEMOTORSTILLWORKEDWELLTHEWEARWASNOTSEVEREOFCOURSE,THEHSCANBECOATEDWITHWEARRESISTANTMATERIALSFORBETTERPROTECTIONIFNECESSARYFIG6THESTEPSIZELEFTVERTICALAXISNDSPEEDRIGHTVERTICALAXISOFTHEMOTORUSINGTHECIRCULARHSASFUNCTIONSOFAFREQUENCYMAXIMUMOPERATINGVOLTAGE200VANDBMAXIMUMOPERATINGVOLTAGEFREQUENCY20HZIVCONCLUSIONWEHAVEPRESENTEDAPOWERFULLINEARPIEZOELECTRICMOTORTHATOWNSSEVERALIMPORTANTFEATURESNOTSIMULTANEOUSLYOWNEDBYOTHERPIEZOMOTORS,INCLUDINGLARGESTEPSIZE,SMALLSIZE,VERYRIGID,SIMPLEINSTRUCTUREANDOPERATION,VERYLARGETEMPERATURERANGE,EASYTOMAKEANDLOOSEMACHININGTOLERANCE,ETCITSDURABILITYHASALSOBEENTESTED,WHICHISRATHERGOODALLTHESEAREHIGHLYDESIREDINTHECONSTRUCTIONOFAMODERNSPMACKNOWLEDGMENTSTHISWORKWASSUPPORTEDBYTHENATIONALNATURALSCIENCEFOUNDATIONOFCHINAUNDERGRANTNO10627403,THEPROJECTOFCHINESENATIONALHIGHMAGNETICELDFACILITIES,ANDSCIENCEFOUNDATIONOFTHECHINESEACADEMYOFSCIENCESUNDERGRANTNOYZ200846REFERENCEDOCUMENTATION1BJALBERS,MLIEBMANN,TCSCHWENDEMANN,MZBAYKARA,MHEYDE,MSALMERON,EIALTMAN,ANDUDSCHWARZ,REVSCIINSTRUM79,03370420082CHRWITTNEVEN,RDOMBROWSKI,SHPAN,ANDRWIESENDANGER,REVSCIINSTRUM68,380619973RAWOLKOW,REVSCIINSTRUM63,404919924YHOU,JWANG,ANDQLU,REVSCIINSTRUM79,11370720085THCHANG,CHYANG,MJYANG,ANDJBDOTTELLIS,REVSCIINSTRUM72,298920016JHFERRIS,JGKUSHMERICK,JAJOHNSON,MGYOSHIKAWAYOUNGQUIST,RBKESSINGER,HFKINGSBURY,ANDPSWEISSE,REVSCIINSTRUM69,269119987NPERTAYA,KFBRAUN,ANDKHRIEDER,REVSCIINSTRUM75,260820048THANAGURI,JPHYSCONFSER51,51420069SHPAN,EWHUDSON,ANDJCDAVIS,REVSCIINSTRUM70,1459199910LASILVA,REVSCIINSTRUM68,1300199711AKGUPTAANDKWNG,REVSCIINSTRUM72,3552200112JLEE,JCHAE,CKKIM,HKIM,SOH,ANDYKUK,REVSCIINSTRUM76,093701200513JKUSCH,AMEYER,MPSNYDER,ANDYBARRAL,GENESDEV16,1627200214BURLEIGHINSTRUMENTS,INC,USPATENTNO3,902,084197515PETENZERANDRBENMRAD,IEEE/ASMETRANSMECHATRON9,427200416JFRANK,GHKOOPMANN,WCHEN,ANDGALESIEUTRE,PROCSPIE3668,717199917JNIANDZZHU,IEEE/ASMETRANSMECHATRON5,441200018KDUONGANDEGARCIA,PROCSPIE2443,782199519JEMIESNERANDJPTETER,PROCSPIE2190,520199420BKOC,SCAGATAY,ANDKUCHINO,IEEETRANSULTRASONFERROELECTRFREQCONTROL49,495200221MBEXELLANDSJOHANSSON,SENSACTUATORS,A75,118199922JFROHN,JFWOLF,KBESOCKE,ANDMTESKE,REVSCIINSTRUM60,1200198923MHARAFA,OJALDRAIHEM,ANDAMBAZ,IEEEPROCEEDINGSOFTHEFIFTHINTERNATIONALSYMPOSIUMONMECHATRONICSANDITSAPPLICATIONS,2008UNPUBLISHED,PP1524SHPAN,INTERNATIONALPATENTPUBLICATIONNOWO93/19494199325RYOSHIDA,YOKAMOTO,ANDHOKADA,JJPNSOCPRECISIONENG68,536200226WZESCH,RBUCHI,ACODOUREY,ANDRSIEGWART,PROCSPIE2593,80199527DSPAIK,KHYOO,CYKANG,BHCHO,SNAM,ANDSJYOON,JELECTROCERAM22,346200928LHOWALD,HRUDIN,ANDHJGIJNTHERODT,REVSCIINSTRUM63,39091992外文文献翻译译稿2步进电机的振荡、不稳定以及控制摘要本文介绍了一种分析永磁步进电机不稳定性的新颖方法。结果表明，该种电机有两种类型的不稳定现象中频振荡和高频不稳定性。非线性分叉理论是用来说明局部不稳定和中频振荡运动之间的关系。一种新型的分析介绍了被确定为高频不稳定性的同步损耗现象。在相间分界线和吸引子的概念被用于导出数量来评估高频不稳定性。通过使用这个数量就可以很容易地估计高频供应的稳定性。此外，还介绍了稳定性理论。广义的方法给出了基于反馈理论的稳定问题的分析。结果表明，中频稳定度和高频稳定度可以提高状态反馈。关键词步进电机，不稳定，非线性，状态反馈。1介绍步进电机是将数字脉冲输入转换为模拟角度输出的电磁增量运动装置。其内在的步进能力允许没有反馈的精确位置控制。也就是说，他们可以在开环模式下跟踪任何步阶位置，因此执行位置控制是不需要任何反馈的。步进电机提供比直流电机每单位更高的峰值扭矩此外，它们是无电刷电机，因此需要较少的维护。所有这些特性使得步进电机在许多位置和速度控制系统的选择中非常具有吸引力，例如如在计算机硬盘驱动器和打印机，代理表，机器人中的应用等尽管步进电机有许多突出的特性，他们仍遭受振荡或不稳定现象。这种现象严重地限制其开环的动态性能和需要高速运作的适用领域。这种振荡通常在步进率低于1000脉冲/秒的时候发生，并已被确认为中频不稳定或局部不稳定1，或者动态不稳定2。此外，步进电机还有另一种不稳定现象，也就是在步进率较高时，即使负荷扭矩小于其牵出扭矩，电动机也常常不同步。该文中将这种现象确定为高频不稳定性，因为它以比在中频振荡现象中发生的频率更高的频率出现。高频不稳定性不像中频不稳定性那样被广泛接受，而且还没有一个方法来评估它。中频振荡已经被广泛地认识了很长一段时间，但是，一个完整的了解还没有牢固确立。这可以归因于支配振荡现象的非线性是相当困难处理的。大多数研究人员在线性模型基础上分析它1。尽管在许多情况下，这种处理方法是有效的或有益的，但为了更好地描述这一复杂的现象，在非线性理论基础上的处理方法也是需要的。例如，基于线性模型只能看到电动机在某些供应频率下转向局部不稳定，并不能使被观测的振荡现象更多深入。事实上，除非有人利用非线性理论，否则振荡不能评估。因此，在非线性动力学上利用被发展的数学理论处理振荡或不稳定是很重要的。值得指出的是，TAFT和GAUTHIER3，还有TAFT和HARNED4使用的诸如在振荡和不稳定现象的分析中的极限环和分界线之类的数学概念，并取得了关于所谓非同步现象的一些非常有启发性的见解。尽管如此，在这项研究中仍然缺乏一个全面的数学分析。本文一种新的数学分被开发了用于分析步进电机的振动和不稳定性。本文的第一部分讨论了步进电机的稳定性分析。结果表明，中频振荡可定性为一种非线性系统的分叉现象（霍普夫分叉）。本文的贡献之一是将中频振荡与霍普夫分叉联系起来，从而霍普夫理论从理论上证明了振荡的存在性。高频不稳定性也被详细讨论了，并介绍了一种新型的量来评估高频稳定。这个量是很容易计算的，而且可以作为一种标准来预测高频不稳定性的发生。在一个真实电动机上的实验结果显示了该分析工具的有效性。本文的第二部分通过反馈讨论了步进电机的稳定性控制。一些设计者已表明，通过调节供应频率5，中频不稳定性可以得到改善。特别是PICKUP和RUSSELL6，7都在频率调制的方法上提出了详细的分析。在他们的分析中，雅可比级数用于解决常微分方程和一组数值有待解决的非线性代数方程组。此外，他们的分析负责的是双相电动机，因此，他们的结论不能直接适用于我们需要考虑三相电动机的情况。在这里，我们提供一个没有必要处理任何复杂数学的更简洁的稳定步进电机的分析。在这种分析中，使用的是DQ模型的步进电机。由于双相电动机和三相电动机具有相同的DQ模型，因此，这种分析对双相电动机和三相电动机都有效。迄今为止，人们仅仅认识到用调制方法来抑制中频振荡。本文结果表明，该方法不仅对改善中频稳定性有效，而且对改善高频稳定性也有效。2动态模型的步进电机本文件中所考虑的步进电机由一个双相或三相绕组的跳动定子和永磁转子组成。一个极对三相电动机的简化原理如图1所示。步进电机通常是由被脉冲序列控制产生矩形波电压的电压源型逆变器供给的。这种电动机用本质上和同步电动机相同的原则进行作业。步进电机主要作业方式之一是保持提供电压的恒定以及脉冲频率在非常广泛的范围上变化。在这样的操作条件下，振动和不稳定的问题通常会出现。图1三相电动机的图解模型用QD框架参考转换建立了一个三相步进电机的数学模型。下面给出了三相绕组电压方程VARIALDIA/DTMDIB/DTMDIC/DTDPMA/DT,VBRIBLDIB/DTMDIA/DTMDIC/DTDPMB/DT,VCRICLDIC/DTMDIA/DTMDIB/DTDPMC/DT,1其中R和L分别是相绕组的电阻和感应线圈，并且M是相绕组之间的互感线圈。PMA,PMBANDPMC是应归于永磁体的相的磁通，且可以假定为转子位置的正弦函数如下PMA1SINN,PMB1SINN2/3,PMC1SINN2/3,2其中N是转子齿数。本文中强调的非线性由上述方程所代表，即磁通是转子位置的非线性函数。使用Q,D转换，将参考框架由固定相轴变换成随转子移动的轴（参见图2）。矩阵从A,B,C框架转换成Q,D框架变换被给出了8图2，A,B,C和D,Q参考框架3例如，给出了Q,D参考里的电压4在A,B,C参考中，只有两个变量是独立的（IAIBIC0），因此，上面提到的由三个变量转化为两个变量是允许的。在电压方程（1）中应用上述转换，在Q,D框架中获得转换后的电压方程为VQRIQL1DIQ/DTNL1IDN1,VDRIDL1DID/DTNL1IQ,5其中L1LM，且是电动机的速度。有证据表明,电动机的扭矩有以下公式T3/2N1IQ6转子电动机的方程为JD/DT3/2N1IQBFTL,7如果BF是粘性摩擦系数，和TL代表负荷扭矩（在本文中假定为恒定）。为了构成完整的电动机的状态方程，我们需要另一种代表转子位置的状态变量。为此，通常使用满足下列方程的所谓的负荷角8D/DT0,8其中0是电动机的稳态转速。方程（5），（7），和（8）构成电动机的状态空间模型，其输入变量是电压VQ和VD如前所述，步进电机由逆变器供给，其输出电压不是正弦电波而是方波。然而，由于相比正弦情况下非正弦电压不能很大程度地改变振荡特性和不稳定性（如将在第3部分显示的，振荡是由于电动机的非线性），为了本文的目的我们可以假设供给电压是正弦波。根据这一假设，我们可以得到如下的VQ和VDVQVMCOSN,VDVMSINN,9其中VM是正弦波的最大值。上述方程，我们已经将输入电压由时间函数转变为状态函数，并且以这种方式我们可以用自控系统描绘出电动机的动态，如下所示。这将有助于简化数学分析。根据方程（5），（7），和（8），电动机的状态空间模型可以如下写成矩阵式FX,UAXFNXBU,10其中XIQIDT,U1TLT定义为输入，且1N0是供应频率。输入矩阵B被定义为矩阵A是F的线性部分，如下FNX代表了F的线性部分，如下输入端U独立于时间，因此，方程（10）是独立的。在FX,U中有三个参数，它们是供应频率1，电源电压幅度VM和负荷扭矩TL。这些参数影响步进电机的运行情况。在实践中，通常用这样一种方式来驱动步进电机，即用因指令脉冲而变化的供应频率1来控制电动机的速度，而电源电压保持不变。因此，我们应研究参数1的影响。3分叉和中频振荡，设0，得出方程（10）的平衡且是它的相角，ARCTAN1L1/R16方程（12）和（13）显示存在着多重均衡，这意味着这些平衡永远不能全局稳定。人们可以看到，如方程（12）和（13）所示有两组平衡。第一组由方程（12）对应电动机的实际运行情况来代表。第二组由方程（13）总是不稳定且不涉及到实际运作情况来代表。在下面，我们将集中精力在由方程（12）代表的平衡上。外文文献翻译原文2OSCILLATION,INSTABILITYANDCONTROLOFSTEPPERMOTORSABSTRACTANOVELAPPROACHTOANALYZINGINSTABILITYINPERMANENTMAGNETSTEPPERMOTORSISPRESENTEDITISSHOWNTHATTHEREARETWOKINDSOFUNSTABLEPHENOMENAINTHISKINDOFMOTORMIDFREQUENCYOSCILLATIONANDHIGHFREQUENCYINSTABILITYNONLINEARBIFURCATIONTHEORYISUSEDTOILLUSTRATETHERELATIONSHIPBETWEENLOCALINSTABILITYANDMIDFREQUENCYOSCILLATORYMOTIONANOVELANALYSISISPRESENTEDTOANALYZETHELOSSOFSYNCHRONISMPHENOMENON,WHICHISIDENTIFIEDASHIGHFREQUENCYINSTABILITYTHECONCEPTSOFSEPARATRICESANDATTRACTORSINPHASESPACEAREUSEDTODERIVEAQUANTITYTOEVALUATETHEHIGHFREQUENCYINSTABILITYBYUSINGTHISQUANTITYONECANEASILYESTIMATETHESTABILITYFORHIGHSUPPLYFREQUENCIESFURTHERMORE,ASTABILIZATIONMETHODISPRESENTEDAGENERALIZEDAPPROACHTOANALYZETHESTABILIZATIONPROBLEMBASEDONFEEDBACKTHEORYISGIVENITISSHOWNTHATTHEMIDFREQUENCYSTABILITYANDTHEHIGHFREQUENCYSTABILITYCANBEIMPROVEDBYSTATEFEEDBACKKEYWORDSSTEPPERMOTORS,INSTABILITY,NONLINEARITY,STATEFEEDBACK1INTRODUCTIONSTEPPERMOTORSAREELECTROMAGNETICINCREMENTALMOTIONDEVICESWHICHCONVERTDIGITALPULSEINPUTSTOANALOGANGLEOUTPUTSTHEIRINHERENTSTEPPINGABILITYALLOWSFORACCURATEPOSITIONCONTROLWITHOUTFEEDBACKTHATIS,THEYCANTRACKANYSTEPPOSITIONINOPENLOOPMODE,CONSEQUENTLYNOFEEDBACKISNEEDEDTOIMPLEMENTPOSITIONCONTROLSTEPPERMOTORSDELIVERHIGHERPEAKTORQUEPERUNITWEIGHTTHANDCMOTORSINADDITION,THEYAREBRUSHLESSMACHINESANDTHEREFOREREQUIRELESSMAINTENANCEALLOFTHESEPROPERTIESHAVEMADESTEPPERMOTORSAVERYATTRACTIVESELECTIONINMANYPOSITIONANDSPEEDCONTROLSYSTEMS,SUCHASINCOMPUTERHARDDISKDRIVERSANDPRINTERS,XYTABLES,ROBOTMANIPULATORS,ETCALTHOUGHSTEPPERMOTORSHAVEMANYSALIENTPROPERTIES,THEYSUFFERFROMANOSCILLATIONORUNSTABLEPHENOMENONTHISPHENOMENONSEVERELYRESTRICTSTHEIROPENLOOPDYNAMICPERFORMANCEANDAPPLICABLEAREAWHEREHIGHSPEEDOPERATIONISNEEDEDTHEOSCILLATIONUSUALLYOCCURSATSTEPPINGRATESLOWERTHAN1000PULSE/S,ANDHASBEENRECOGNIZEDASAMIDFREQUENCYINSTABILITYORLOCALINSTABILITY1,ORADYNAMICINSTABILITY2INADDITION,THEREISANOTHERKINDOFUNSTABLEPHENOMENONINSTEPPERMOTORS,THATIS,THEMOTORSUSUALLYLOSESYNCHRONISMATHIGHERSTEPPINGRATES,EVENTHOUGHLOADTORQUEISLESSTHANTHEIRPULLOUTTORQUETHISPHENOMENONISIDENTIFIEDASHIGHFREQUENCYINSTABILITYINTHISPAPER,BECAUSEITAPPEARSATMUCHHIGHERFREQUENCIESTHANTHEFREQUENCIESATWHICHTHEMIDFREQUENCYOSCILLATIONOCCURSTHEHIGHFREQUENCYINSTABILITYHASNOTBEENRECOGNIZEDASWIDELYASMIDFREQUENCYINSTABILITY,ANDTHEREISNOTYETAMETHODTOEVALUATEITMIDFREQUENCYOSCILLATIONHASBEENRECOGNIZEDWIDELYFORAVERYLONGTIME,HOWEVER,ACOMPLETEUNDERSTANDINGOFITHASNOTBEENWELLESTABLISHEDTHISCANBEATTRIBUTEDTOTHENONLINEARITYTHATDOMINATESTHEOSCILLATIONPHENOMENONANDISQUITEDIFFICULTTODEALWITH384LCAOANDHMSCHWARTZMOSTRESEARCHERSHAVEANALYZEDITBASEDONALINEARIZEDMODEL1ALTHOUGHINMANYCASES,THISKINDOFTREATMENTSISVALIDORUSEFUL,ATREATMENTBASEDONNONLINEARTHEORYISNEEDEDINORDERTOGIVEABETTERDESCRIPTIONONTHISCOMPLEXPHENOMENONFOREXAMPLE,BASEDONALINEARIZEDMODELONECANONLYSEETHATTHEMOTORSTURNTOBELOCALLYUNSTABLEATSOMESUPPLYFREQUENCIES,WHICHDOESNOTGIVEMUCHINSIGHTINTOTHEOBSERVEDOSCILLATORYPHENOMENONINFACT,THEOSCILLATIONCANNOTBEASSESSEDUNLESSONEUSESNONLINEARTHEORYTHEREFORE,ITISSIGNIFICANTTOUSEDEVELOPEDMATHEMATICALTHEORYONNONLINEARDYNAMICSTOHANDLETHEOSCILLATIONORINSTABILITYITISWORTHNOTINGTHATTAFTANDGAUTHIER3,ANDTAFTANDHARNED4USEDMATHEMATICALCONCEPTSSUCHASLIMITCYCLESANDSEPARATRICESINTHEANALYSISOFOSCILLATORYANDUNSTABLEPHENOMENA,ANDOBTAINEDSOMEVERYINSTRUCTIVEINSIGHTSINTOTHESOCALLEDLOSSOFSYNCHRONOUSPHENOMENONNEVERTHELESS,THEREISSTILLALACKOFACOMPREHENSIVEMATHEMATICALANALYSISINTHISKINDOFSTUDIESINTHISPAPERANOVELMATHEMATICALANALYSISISDEVELOPEDTOANALYZETHEOSCILLATIONSANDINSTABILITYINSTEPPERMOTORSTHEFIRSTPARTOFTHISPAPERDISCUSSESTHESTABILITYANALYSISOFSTEPPERMOTORSITISSHOWNTHATTHEMIDFREQUENCYOSCILLATIONCANBECHARACTERIZEDASABIFURCATIONPHENOMENONHOPFBIFURCATIONOFNONLINEARSYSTEMSONEOFCONTRIBUTIONSOFTHISPAPERISTORELATETHEMIDFREQUENCYOSCILLATIONTOHOPFBIFURCATION,THEREBY,THEEXISTENCEOFTHEOSCILLATIONISPROVEDTHEORETICALLYBYHOPFTHEORYHIGHFREQUENCYINSTABILITYISALSODISCUSSEDINDETAIL,ANDANOVELQUANTITYISINTRODUCEDTOEVALUATEHIGHFREQUENCYSTABILITYTHISQUANTITYISVERYEASYTOCALCULATE,ANDCANBEUSEDASACRITERIATOPREDICTTHEONSETOFTHEHIGHFREQUENCYINSTABILITYEXPERIMENTALRESULTSONAREALMOTORSHOWTHEEFFICIENCYOFTHISANALYTICALTOOLTHESECONDPARTOFTHISPAPERDISCUSSESSTABILIZINGCONTROLOFSTEPPERMOTORSTHROUGHFEEDBACKSEVERALAUTHORSHAVESHOWNTHATBYMODULATINGTHESUPPLYFREQUENCY5,THEMIDFREQUENCYINSTABILITYCANBEIMPROVEDINPARTICULAR,PICKUPANDRUSSELL6,7HAVEPRESENTEDADETAILEDANALYSISONTHEFREQUENCYMODULATIONMETHODINTHEIRANALYSIS,JACOBISERIESWASUSEDTOSOLVEAORDINARYDIFFERENTIALEQUATION,ANDASETOFNONLINEARALGEBRAICEQUATIONSHADTOBESOLVEDNUMERICALLYINADDITION,THEIRANALYSISISUNDERTAKENFORATWOPHASEMOTOR,ANDTHEREFORE,THEIRCONCLUSIONSCANNOTAPPLIEDDIRECTLYTOOURSITUATION,WHEREATHREEPHASEMOTORWILLBECONSIDEREDHERE,WEGIVEAMOREELEGANTANALYSISFORSTABILIZINGSTEPPERMOTORS,WHERENOCOMPLEXMATHEMATICALMANIPULATIONISNEEDEDINTHISANALYSIS,ADQMODELOFSTEPPERMOTORSISUSEDBECAUSETWOPHASEMOTORSANDTHREEPHASEMOTORSHAVETHESAMEQDMODELANDTHEREFORE,THEANALYSISISVALIDFORBOTHTWOPHASEANDTHREEPHASEMOTORSUPTODATE,ITISONLYRECOGNIZEDTHATTHEMODULATIONMETHODISNEEDEDTOSUPPRESSTHEMIDFREQUENCYOSCILLATIONINTHISPAPER,ITISSHOWNTHATTHISMETHODISNOTONLYVALIDTOIMPROVEMIDFREQUENCYSTABILITY,BUTALSOEFFECTIVETOIMPROVEHIGHFREQUENCYSTABILITY2DYNAMICMODELOFSTEPPERMOTORSTHESTEPPERMOTORCONSIDEREDINTHISPAPERCONSISTSOFASALIENTSTATORWITHTWOPHASEORTHREEPHASEWINDINGS,ANDAPERMANENTMAGNETROTORASIMPLIFIEDSCHEMATICOFATHREEPHASEMOTORWITHONEPOLEPAIRISSHOWNINFIGURE1THESTEPPERMOTORISUSUALLYFEDBYAVOLTAGESOURCEINVERTER,WHICHISCONTROLLEDBYASEQUENCEOFPULSESANDPRODUCESSQUAREWAVEVOLTAGESTHISMOTOROPERATESESSENTIALLYONTHESAMEPRINCIPLEASTHATOFSYNCHRONOUSMOTORSONEOFMAJOROPERATINGMANNERFORSTEPPERMOTORSISTHATSUPPLYINGVOLTAGEISKEPTCONSTANTANDFREQUENCYOFPULSESISCHANGEDATAVERYWIDERANGEUNDERTHISOPERATINGCONDITION,OSCILLATIONANDINSTABILITYPROBLEMSUSUALLYARISEFIGURE1SCHEMATICMODELOFATHREEPHASESTEPPERMOTORAMATHEMATICALMODELFORATHREEPHASESTEPPERMOTORISESTABLISHEDUSINGQDFRAMEREFERENCETRANSFORMATIONTHEVOLTAGEEQUATIONSFORTHREEPHASEWINDINGSAREGIVENBYVARIALDIA/DTMDIB/DTMDIC/DTDPMA/DT,VBRIBLDIB/DTMDIA/DTMDIC/DTDPMB/DT,VCRICLDIC/DTMDIA/DTMDIB/DTDPMC/DT,1WHERERANDLARETHERESISTANCEANDINDUCTANCEOFTHEPHASEWINDINGS,ANDMISTHEMUTUALINDUCTANCEBETWEENTHEPHASEWINDINGS_PMA,_PMBAND_PMCARETHEFLUXLINKAGESOFTHEPHASESDUETOTHEPERMANENTMAGNET,ANDCANBEASSUMEDTOBESINUSOIDFUNCTIONSOFROTORPOSITION_ASFOLLOWPMA1SINN,PMB1SINN2/3,PMC1SINN2/3,2WHERENISNUMBEROFROTORTEETHTHENONLINEARITYEMPHASIZEDINTHISPAPERISREPRESENTEDBYTHEABOVEEQUATIONS,THATIS,THEFLUXLINKAGESARENONLINEARFUNCTIONSOFTHEROTORPOSITIONBYUSINGTHEQDTRANSFORMATION,THEFRAMEOFREFERENCEISCHANGEDFROMTHEFIXEDPHASEAXESTOTHEAXESMOVINGWITHTHEROTORREFERTOFIGURE2TRANSFORMATIONMATRIXFROMTHEABCFRAMETOTHEQDFRAMEISGIVENBY8FIGURE2A,B,CANDD,QREFERENCEFRAME3FOREXAMPLE,VOLTAGESINTHEQDREFERENCEAREGIVENBY4INTHEABCREFERENCE,ONLYTWOVARIABLESAREINDEPENDENTIACIB