大学数学竞赛-导数、微分及其应用

第二讲导数、微分及其应用一、导数、偏导数和微分的定义对于一元函数YFX0LIMHFXFDYF对于多元函数,ZFX0,LIXHFXYFXFYH对于函数微分XXFDY2222ZXYYZ注注意左、右导数的定义和记号。二、导数、偏导数和微分的计算1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；2）隐函数、参数方程的导数3）高阶导数特别要注意莱布尼茨公式的运用。0NKNKUVCUV例1求函数在处的阶导数。ARCSINYX0解，所以有222,1X（1）XYY利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得N121221221NNNNNXYCCXYCY当时，022030NNNY2NY由此可得222040NY2222210310131NYNYN例2求的阶导数。2FX解IXIF1211NNNNNIIXF1112NNNIXII设SICO,SICORIRX其中，则有XAXT,12XARCNXARCNIINFNNNOT1SI1OT1S211212注计算时注意一阶微分不变性的应用。4）方向导数与梯度三、导数、偏导数及微分的应用1）达布定理设在上可导，若则对介于FX,ABFAFB的一切值，必有，使得。,FAFBC,C证明在上可导，则在上一定有最大值和最小值。X,FX1、如果异号，无妨设，FF0,FAFB由于，由极00LIM,LIMHHAFBFF限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有XFXFAX，这就说明不可能是在上的最大值，FXFB,FAB,B所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马,FFX,A定理可得。0F2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函AFBC,FFB数，则有异号，由FXFCX,FAFCFBFC前面的证明可得，存在有，即。,B0FF2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理XRXNFXFXFXFN0020000其中，这里在与之间的某个值。101NNNFR03）一元函数的单调性及极值、最值4）一元函数的凹凸性在区间上凹和，若，则FXI12,XI12,R12；12FF在区间上凸和，若，则FXI12,XI12,12；12FF性质1、如果在区间上是凹的，则和XI12,NXI，若，一定有2,NR12N；1212NNFXXFFXFX2、如果在区间上是凸的，则和，若I,NI12,NR，一定有1N1212NNFXXFFXFX证明因为121121NN其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。211N例3证明若，则有2,0NA1212NNAA证明考虑函数，因为LN0FXX2,0FX所以时，是凹函数。因此对于由性质有0XFX1,NA122LNLNLNAA1N122NA5）多元函数几何应用6）多元函数的极值拉格朗日乘数法。例4设在上连续，在上可导，。又在FX,AB,AB0FAFBGX上连续，证明至少存在一点使得。,AB证明因为在上连续，所以在上存在原函数，即有GX,GX,GX。G考虑函数，则有，由罗尔中值定,GXFEFAB0FAB理可得至少存在一点使得GGEFGEF因此至少存在一点使得。,AB例5设函数在上连续，在上可导，FX,A（1）如果，证明至少存在一点，使得LIMXF,A。0F（2）如果，且对一切有，证明至少存在一点1FAXAAXFE，使得。,FE证明（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有X,A。下面设不是常数，此种情形下存在使得0FFX,CA，无妨设，取，因为FAFCFAFC2F，所以存在，当时有LIMXFF0XX22FCAFAFCFFAFF因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，FXFFX,X由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得,A0F2因为，由夹逼准则得LIM0AXXEAXFELI0LIMXXF考虑函数，则有在上连续，在上可导，AFFEF,A,A并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得LIXA。0AAFEFE例6设函数在区间上可微，是FX0,112,N个正数，且，证明存在使得N121N20NX211NFXFF证明利用介值定理，存在使得2,0,NCC1212,FCFC，无妨我们设，312312,NNFCF0,N对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定X,ICI理可得，至少存在在之间使得1I101I11110,1IIIIIIIFCFFXCNCFX因此我们有12102110NNNCCCFXFFX例7设在上可导，证明,FFXF。0FX证明1）设在内的最大值为，则有FX10,20FX0000012FFFFFFX这就得到在上有，特别是；1,2FXF2）设在上有，设设在内的FX,K0FFX12,K最大值为，则有1F11111022KKFXFFXFFXF这就得到在上有，,0F由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有0,FX,0。FX例8设在上有二阶导数，证明存在，使得,AB,AB324BABAFXDFF证明设，将在点处展成三阶泰勒公式AFFTFX232262ABFBABXXX当时，A23102262ABFFABABF（1）2312ABFFABABFTDF当时，X232226FFABBABABAFF22322ABBAFFFTDFTDF得1312124BAFFABFTDFBA因为在可导，且在之间，由达布定FX12,12FF12,FF理可得，存在使得，此时即有12,AB12FFF324BABAFXDFF例9设在上二阶可导，证明对于，存在使得F,X,AB2FXFAFBFBA证明构造函数，则有，利用罗221FTTXFTFAB0FAXB尔中值定理，存在有，再利用一次罗1,X12尔中值定，存在使得，又因为2A0F221001,FTFTXXFTFTFAFABB22FTXAXFFXAFBX由此可得0FABBFAFF2FXBXFA即有FXFFXFBB例10设函数在连续，在内可微，且F0,10,1。证明（1）存在使得；01,2FFF,12F（2）存在使得。0,FF证明（1）考虑函数，因为，由FXFX10,102FF零点定理，存在使得；1,2F（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，XGXFE0,0G存在使得，即有0,1FEF。例11设在上无穷次可微，并且满足存在，使得FX,0M，；且，KFM,1,2K1,1,22NF求证在上。,0FX四、练习题1）求函数的阶导数。214YXN2