大学数学竞赛-极限和连续

第一讲极限和连续一、极限的定义数列定义、函数定义。（略）N,X例1证明。210LIMXNED证明取，我们有（1）22201ARCTN1XENDEE2211ARCTRTARCTNRTAXED因为，所以由夹逼准则可得。LIMRTNRT0N21LIM0XNED120LILIARCT2NNDX对任取的，当充分小时，由（1）可得可以成立，013XEND又因为，所以存在，当有21120LIM,LIMXNNEDDX0NN21120,33XNX此时有2221112000XXXNENENENDDDDX由此可得。210LIMXN二、极限的计算方法1）代入法（利用函数的连续性）；00LIMXFFX2）单调有界准则和夹逼准则；3）两个重要极限；0SIN1L1,LIXXXE4）极限的四则运算法则；5）有界量与无穷小的积还是无穷小；6）等价无穷小的替换时，0XSINTA1XXE；1LN1ARCTN,1CO2XX7）复合函数求极限法则条件，则有000LIM,LIXUFFU；000LIMXUXFFFF8）洛必达法则；9）利用泰勒公式求极限；10）利用定积分的定义计算极限；11）利用级数的一些结果计算极限；12）海涅归结原则（利用它可以把一些数列问题化为函数极限问题）；定理11、函数极限的充要条件是对任何数列，若，0LIMXFANX0LIMNX则有；LINNF2、函数极限的充要条件是对任何数列，若，则有LIXFNXLINX。LINNFA13）施托尔茨（STOLZ）定理（数列极限的洛必达法则）；定理2设数列单调增加且，如果存在或为，则有NBLIMNB1LINAB。1LILINNA证明设，则对任给的，存在正整数，当时恒有1LIMNAAB0NN11NNAAB由于数列单调增加，所以有NB111NNNABAAB111NNNBA由此可得1111NNNNNNNNAABAABAB又因为11111NNNNNNNNNNBBB111NNNNAAABA由于，所以存在，当时有，并且有LIMNB1111NN，所以当时有1NN1N1112NNNNNAAABABB由此即得。的情形类似证明。1LIMLINN1LIMN例2证明极限的平均值定理1、设存在或为，则有；LINA12LILIMNNNAA2、设，且存在或为，则有0,1,212LIMLINNNA证明利用施托尔茨定理证明1、12112112LIMLILIMNNNNNAAA2、因为，所以12LLN12AANE。12LLIMLIMNLILILNNAANNAE例3设，证明数列收敛于。,LINNXYB1211NXYXYZAB证明由极限与无穷小的关系，存在数列且有，,LI0,LIMNN使得，,NNNXAY12111212NNNNXYXYZABBA1N由例1可得，由可得122LIM0,LIM0NNNLIM0N数列有界，即存在有；由可得M1,N，再由例1得，由于LI0N12LI0NN12121NNM所以有1211LIM0NN再利用极限与无穷的关系得。LINZAB例4设数列有界，对任给的总有，证明存在。NA23,NNALIMNA证明由于及有界，由单调有界准则，数列收敛，再由2N221,及有界可得数列是收敛的。3NAN3MA又因为分别是的子列，分别是的子列，62,NN321N213,NNA所以，21LIMLIN即有存在。A例5设，数列，证明极限。11NALIM1NA证明考虑函数，可得。当时，2FXX2FXX，即函数是单调递减的，所以当时有0FXF1102XFF又因为时有，由即可得1X011,2NNAA，N,310,1,22NNAA由单调有界准则存在，无妨设，则有LIMNLIN2110AA例6设，求极限。011,2NNXXXABLIMNX解由可得12NN11NN1121022NNNNXXXBA1210NNNX121012KNNNKBAA所以有。1202LIMKNKXABABE例7设是正数，它们的和为1。定义数列11,C2221,NNNNNNABBACAB证明当时，三个数列的极限都存在，并求出极限。,A证明因为，所以我们有21111,NNNCCC（1）,2NB由此可得数列都是有界数列，设的最大值与最小值,NAC,NNABC分别为，则数列也是有界数列，又因为,NMM,M21NNNNBCMACMB21NNNNNCABMBCMCMM21NNNNBCCABB所以有，由单调有界准则存在。11,NNMLI,LINNM由于2NABCNNNACBABC222NM同理可得，因此有211,NNNCMMCM241NN再根据可得。10LI0LILINNN因为,NNNNNMAMBMCM由夹逼准则可得，利用（1）可得LILILILILIC3NNNNN例8证明数列收敛，并求7,7,77其极限。解设此数列为，则有，容易看出，如果极限NA2NNA0NA存在设，则有LIMN42214014032由于有一个实根在3和4之间，所以有。3210A2A考虑函数，70,7FXX111647497FXX利用拉格朗日中值定理2221FFFFX其中在之间，由此我们有,X2221107266NNNNAFA133由夹逼准则得。221LIMLILIMNNNA三、连续函数及其性质1）闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理；零点定理；介值定理。2）一致收敛与一致连续定义1对于函数列和常数，如果对任给的,1,2NFXABNA，存在，当时，对于任意的恒有0NXABNFA则称在上一致收敛于。NFX,AB定义2对于函数，如果对任给的，存在，对于任意,FXAB0的，当时恒有1,X1212FXF则称在上一致连续。FX,AB例9设在上连续，且，对于任给的恒有FE,XYRFXYY证明。XFE证明由于或，如果则有001FF0F0F，这与已知矛盾，所以。11F1对于任意正有理数为正整数有,MN111NNNEFFFE个MFFEN若是负有理数，则NR110NRNNNFFRFRFREF如果是无理数，则存在有理数列使得XNLINXLIMLIMLINRRXNFFRFEE例10设在闭区间上连续，。证明对于任给的正整数，X0,101FN总存在使得。,NNNFF证明对于任给的正整数，因为，所以01FF12100KNFFFFFFFFNNN如果存在，则取即可；0KFFN如果，则一定存在1,12,FFKN0,0,12,1IIJJFFFFIJNN无妨设，函数在上连续，且，IJ1GXFFX,IJN0IJG由零点定理可得，存在有，即,0,NIJ0NG1NNFF例11计算极限。1336LIMTAN2XXE解设，则1T原式52226630013TANSECTAN11LILIM3TTTTTET。221TSECLIM6366TTT四、练习题1）设是正整数，计算。P1LIPPNN2）设，证1111,0,1,22NNNXYXAYBAXY明