高等数学-多元函数微分学测试题

1、填空题1）。039LIMXXY162）设，则。2YUD221LNYYXDXD3）已知，则。220,0FXXY,XFY200,LIMLIMXXXFYFFYY4）函数在点处的剃度为。1UY,1,5）已知在点沿从点到点方向的方向导数2ZX0,2P0,21,23P是。36）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法ZXYL16122XYZL线方程为。121Z2、解下列各题1）已知，其中为可微函数，求。XYZZXY解方程两边微分得221XDZDYZZYX,ZZXYYZ2）设，其中均为二阶可微函数，求。,XZXFG,FG2ZXY解12122ZYYFXGFGYX21221XFFYXYY1222FGGXY3）设函数有连续的偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式,UY，将变化为下的表达式COS,SINXRRUXY,R解因为，所以SINCOSUUURYXX。XY4）已知，其中均为可微函数，求。,ZFXYZ,FDZX解利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得,XYYZDFDX消去可得DYYYXZYZFFFDYZDF5）设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数N2YZX1,3P在点处沿方向的方向导数。223UN解设2,YFXYZZ2,1XYZ，如图容易看出与正方向的夹角为钝角，其轴坐PPZPNZZ标为负，所以212,1,3NN，22213UXYZXYZ12236UXYZYX122ZXX316,6,6424PPPUUUXYZ33PL6）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。,ZXY2XYZXYZDZ解方程两边微分得2XDYZDXYZ217）设，求。ZEXY2Z解方程两边关于求导得1ZZZYZZEYXXEX2223211ZZZ3、在椭球面上找一点，使过该点的切平面与三0Y0X22,CBYAX坐标平面所围成的四面体的体积最小。解设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为00Z,022200ZCYBXA化成截距式方程1202002CZBYAXZCYBXA此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）0261ZYXV要求满足条件的最小值，只需求XYZABCV261Z22,CBYAX满足条件的最大值。,F0Y0X122,Z由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点122CZBAXYZ,ZY,XF得4130210222CZBYAXFBYXZAZYZYX3202XY由此得，所以3322CZ,BY,CZ,BY,AX33当时，有最小体积，最小体积为。,AX24、设221SIN0,0XYXYYF1）求；,FXY2）是否在原点连续在原点是否可微说明理由。,F,FXY解1）当时，20XY222112SINCOSXYFXYXY222IFXY当时，20XY200,1,LIMLIMSN0XXXFFFX200,LILIYYYFFFY2）考虑2220011LIMLI2SINCOSXXYYXFXYY当时，不存在，所以在原点不连续；200LILICOSXXYFXF同理可得在原点不连续。F又因为22200,0,1LIMLIMSINXYXXYYZFFXYY（有界量与无穷小的积2201LISINXYX还是无穷小），所以在原点可微。,FY5、已知为常数，且，求证,XZ23XEZ21XEYZ证明设，此问题变为求函数满足条件2,AEBYC,FABC的最大值，其中都大于或等于零。考虑函数3C,AB3FCC解