“用二分法求方程的近似解”的案例分析

“用二分法求方程的近似解”的案例分析随着新课程的深入，对新课程的研究也一逐步在加深，由我组织了几位老师共同探讨了“用二分法求方程的近似解”的教学，进行三次教学实践，记述如下一、案例要研究的问题在对课程标准和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究苏教版内容组织的主要形式是“问题情境学生活动意义建构数学理论数学运用回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式课程标准倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”我们的具体实施过程如下（1）第一次设计对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，请两位教师分别在两个平行班级开设公开课两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题（2）第一次反思同行对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见（3）第二次设计本人根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案（4）第二次反思同行对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见（5）第三次设计我再次改进完善教学设计，形成第三轮教案按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复，形成螺旋式上升三、教学片段片段1提出问题第一次设计1能否求解方程LGX3X2能否求出这个方程的近似解3你了解一元二次方程AX2BXC0根的哪些知识第二次设计1能否求解下列方程1LGX3X；2X22X10；3X33X102能否求出上述方程的近似解（精确到01）第三次设计实录师今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题解方程请学生们思考下面的问题能否求解下列方程（1）X22X10；（2）LGX3X；（3）X33X10（三个方程逐个出示）课堂反响对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解师既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢（精确到01）课堂反响对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是24，25还是26对于方程（3）学生还是束手无策师实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解片段2探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法（板书不解方程，求方程X22X10的一个正的近似解（精确到01）课堂反响问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利于是建议学生来相互交流自己研究的进展生我画出了FXX22X1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内师为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内生（思考片刻）因为F20，F30，所以在区间（2，3）内必有一根师同学把方程的根与函数图象与X轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢课堂反响学生们建议要进一步缩小区间“如何缩小呢”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿一番认真探索之后，有学生想表达他的观点生先找区间的中点，把区间一分为二师为什么生因为根必定在区间（2，25）或（25，3）内而由于F20，F250，所以根必在区间（2，25）内师同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办YXO122231图3YXO122231图2课堂反响受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推当根所在区间为（2375，24375）时，由于在精确度01的情形下，2375和24375的近似值即为24至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）师同学们能否简述上述求方程近似解的过程生第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间根据FAFB0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解师归纳总结得很好同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称生对分法师取得很好，很直观习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解（随即，教师在黑板上板书课题用二分法求方程的近似解）片段3变式探究（第三次教学实录）师能否用二分法求方程LGX3X的近似解（精确到01）课堂反响有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试但是高涨的热情马上又被困难扼制了为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨生1我先画了YLGX和Y3X的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，25）还是（25，3）内师有没有同学能帮他解决这个困难生2可先把方程转化为LGXX30，再设FXLGXX3，由F250，F30，可判断根在区间（25，3）内师很好，这个方程的形式为GXHX，而第二位同学则把它转化为GXHX0，并设FXGXHX，从而使问题得以有效解决解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求解过程，即根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）02F3F250275F2750（25，275）F2502625F26250（25，2625）F25025625F256250因为25625，2625精确到01的近似值都为26，所以原方程的近似解为X126片段4总结归纳（第三次教学实录）2322532225253223752532237524753图4师解决了求两种形式方程的近似解的问题，下面请同学们再来完整地归纳用二分法求方程近似解的基本步骤课堂反响一番讨论之后，学生们较一致地认为应分三个步骤，第一个步骤为利用图象法找出解所在的区间即若方程形式为FX0，则画出YFX图象后，观察图象与X轴的交点所在的区间；若方程形式为GXHX，则画出YGX与YHX的图象，观察它们的交点所在的区间，即为根所在的区间师图象法用得很好，但请同学们考虑一下，要得出根所在的区间，是否一定要画图课堂反响结合前面问题的研究，有学生发现第二个函数FXLGXX3，F3LG30，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如F120，则，AFBF,0BAX若0，则；若0，则；2BAF2,0BX22若0，则；再依次类推步骤三根据精确度得出近似解当X0（M，N），在给定精确度下，若M、N的近似值相同均为P，则方程的近似解即为P片段5拓展探究（第三次教学实录）师同学们，你们认为用二分法求方程的近似解最大的困难是什么生最大的困难是第一步，即如何确定根所在的区间师那好，我们就以方程X33X10为例，再来探讨如何确定根所在的区间课堂反响有了前面研究的基础，学生们很快提出了两种方法，即画出YX3和Y3X1的图象，再观察它们交点所在的范围或研究函数F（X）X33X1，由F（1）30，F（2）10，得出根在区间（1，2）内师有没有同学通过作出函数F（X）X33X1的图象来判断根所在的区间课堂反响学生们面面相觑，问及原因，是因为不会作图师难道这个函数图象真的不能作大家回忆一下，作一个函数图象最基本的方法是什么生列表、描点、连线师对，那么我们今天就利用这个方法并借助电脑来实施这一过程教师当场示范如何利用EXCEL来作图先对X限定在（0，4）上取值，取步长为01，得到四十个自变量的值，再计算出相应的Y值，点击工具栏中的图5“图表”，随即生成图形（见图5）课堂反响学生们在惊讶的同时，观察图形马上得出了根所属的区间师学生们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用EXCEL作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器实际上，如果我们将步长取得足够小，从EXCEL表的列B中，我们可以直接得出近似解，当然，这种方法的背后是电脑要进行大量的计算四、案例所触及的几个焦点问题1关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼MPOLANYI提出“我们所知道的多于我们言传的”据此，他提出人类大脑中的知识分为两类明确知识EXPLICITKNOWLEDGE和黙会知识TACITKNOWLEDGE前者可以言传，后者却不能言传，不能系统表达明确知识存在于书本之中，它可编码逻辑性、可传递共享性、可反思批判性它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而黙会知识存在于个人经验之中个体性，镶嵌于实践活动之中情境性，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而黙会知识则是其水下部分张奠宙先生曾经说过“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的黙会知识教学中，基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握，教学的成效也易于达成；而基于黙会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握，教学的成效往往也是隐性和难以达成的在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式在几次案例研究的过程中，我们觉得课程标准增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标，苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法的思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中进行渗透并达成，因此，最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展从第三次教学的实录片断中，可以看到，本节课以问题解决为基本策略将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的提出超越方程，设置问题情境简单方程入手，寻找一般规律简化操作流程，创造全新方法明线问题解决破研究方程的一般解，即公式解立研究方程的近似解，即确定解所在的区间破采用观察图象求解的方法立采用代数计算的方法暗线方法建构、技术运用、算法渗透先破后立破进行大量重复计算立得到二分法图6过程中，采用了先破后立的方式，使黙会知识镶嵌于教学流程的背后构成了一条暗线（见下图6）在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的例如，第二个环节“简单方程入手，寻找一般规律”，在第一次教学过程中，用几何画板作出了函数图象，由于几何画板作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解，这就为后续的教学带来了干扰在后二次的教学中，要求学生用纸笔作图，使学生能打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的2新教材为什么要在高一讲“二分法”“二分法”有什么优点和缺点本节课的引发我们思考的第二个焦点问题是新教材为什么要在高一函数中增加“二分法”首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体局部”、“定性定量”、“精确近似”、“计算技术”、“技法算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时（两端点的近似值相同），运算终止“二分法”的优点在于思想方法简单，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快（得到符合条件的近似解的速度快），误差比较小，是同类算法中效率最高的其缺点在于无法用其求出方程偶次重根的近似解因此，类似于图7的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点3“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想本节课的引发我们思考的第三个焦点问题是在“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想的精髓在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标，其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的例如，OXY图7算法流程填写表格代数问题研究函数零点借助数轴表现二分过程几何直观（函数图象）第一次转化回到几何直观图8第二次转化从整体到局部第三次转化脱离函数图象特征第四次转化脱离数轴直观第五次转化概括算法流程解决问题在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数形”，这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形数”，其中的形包括“图象数轴表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程（见图8）在这样一个数形转化和逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握，因而能够比较顺利地自主归纳出用二分法求方程近似解的基本步骤（见片断5）4教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系本节课的引发我们思考的第四个焦点问题是“二分法”教学中应该如何处理教师传授和学生自主发现的关系西南师范大学张大均教授在教学心理学中指出在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系在教学过程中，师生双方主体作用的发挥应该各有侧重，其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向在本节课的教学中，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时（见图6、图8），学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的