行列式计算方法

计算行列式方法的简单归纳摘要行列式是线性代数的重要内容，它在计算机科学、经济学、管理学等很多方面都有重要的应用。掌握其计算的方法是深刻了解它的关键，本文将简要的概括计算它的一些常用方法。其中对于复杂的行列式，总是将其转化为熟悉的三角行列式、低阶行列式等来进行计算。关键词行列式、计算方法、转化、三角行列式、低阶行列式。1行列式的定义及相关性质11行列式的定义数学中的逻辑推理过程都是建立在定义之上的，要了解行列式的计算方法，掌握其定义是至关重要的。行列式的定义对计算有着关键性的作用，首先定义行列式。将2N个数,21,NJIA排成N行N列，记NPPTNNAAA21212112其中P,2是1，2，N的排列，T是排列N,21的逆序数,表示对1，2，N所有排列（共N个）求和。称式上式左边为N阶行列式，右边为N阶行列式的展开式，称,JI为N阶行列式中位于第I行第J列位置上的元素。12行列式的性质在计算行列式时，必然会应用到行列式的性质，下面简述行列式的一些基本性质。A行列式的值与它的转置的行列式的值是相等的。B对换行列式的某两行的位置，行列式的值变号，对换两列也同样变号。当行列式某两C行或列的对应元素相等时，行列式的值为零。D行列式某一行或列的所有元素的公因式K可以提到行列式符号外。特别地，行列式某行元素全是零时行列式的值为零，行列式某两行成比例时，行列式的值也是零。E若行列式某一行（列）的每一个元素都可以写成两个数的和时，其值等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为其相应的行（列），其余各行（列）的元素等于原行列式。F把行列式的某一行（列）的元素乘以相同的数加到另一行（列）上，行列式的值不变。2计算行列式的常用方法21用定义直接计算。按照行列式的定义进行计算的方法称为定义法。按照行列式的定义，展开项数为的N阶层个项，其中每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积，求和时只要找出非零的项就行，所以，如果行列式中有较多的零元素，则它的展开项中非零项就较少，这种类型的行列式通常很实用定义法的计算。例1二阶行列式21A解析根据N阶定义行列式的定义，上式的值是两项和的代数和，根据21A12定义很容易确定它们的符号分别为正和负，则行列式的值为。A例2求四阶行列式的值。HGFEDCBA0解析根据定义，行列式是24项的代数和，然而这个行列式里除了，ACFHDEGB，外，其余的项智商都有一个零因子，因而为零。确实这四项的符号后，BCFGADEH则行列式的值为。ADEBCFGCFDE例3行列式的值为。43421310AA解析根据行列式的定义，此行列式是24项的代数和，但除了这一项外，4321A其余项都含有零因子，容易确定的符号为正，则次行列式的值为4321。4321像例3这种类型（主对角线以上的元素全是零）的行列式，叫做下三角行列式，同理也有上三角行列，即主对角线以下全是零的行列式。对于上三角行列式，根据行列式的定义，展开项的一般形式为NNNAA212112JJJJ21在行列式中，N行的元素除了以外全为零，因此，只要考虑的那些项。NNJ在行中，除了第列的元素外，其余项都为零，因此只能为。这样1N逐渐的递推下去，除了这一项外，其余的项都为零。又因为这一项的列下A21标的排列是偶排列，所以，这一项带正号。于是NNNAA21212N21对于下三角行列式，同理有ANAN210NA21所以，上三角行列式和下三角行列式的值都等于对角线上所有元素的乘积。例4计算行列式的值。NN01200解行列式中不为零的一般项为，这些项中列的排列为N132（，这个排列的反序数为，则行列式的值为N,2,121。12）（22化为上下三角形行列式进行计算。这种方法即是在计算行列式时，运用行列式的性质将行列式化为三角形的行列式进行计算。例5计算行列式的值。92163解将行列式的第一行乘以（3）加到第二行，将第一行乘以（1）加到第三行，则得到。060例6计算行列式的值。01解交换第一和第四行得，第一行乘以1加到二和三行得10，又将第二和三行加到第四行得310101例7计N阶行列式。ABBA解观察可知道这个行列式的每一行（列）的元素之和都是相等的，根据行列式的性质，把行列式的后面N1列全部加到第一列得ABNABBNA1_1BNA1ABBAB00。1N（23按行列展开法。一般来说，低阶的行列式比高阶的行列式容易记算，此法本质上是将高阶的行列式展开为低阶的行列式进行计算。依行依列展开时，用的到元素代数余子式。元素的代数余IJA子式是化掉该元素所在的行和列多得的行列式在乘以。行列式D按行展开的IJAJI1公式，按列展开的公式是DAAAINI21J。JJJ例8计算行列式。329805解依第一列展开得985123927例9计算行列式的值。4432110ABBA解此行列式有较多的零，按第一列展开得4432110ABB004321321ABAB321324132413241BABA例10求行列式的值。NNABB0012解析设该行列式为D这个行列式中有很多零元素，观察到按第一列展开后可以得到两个三角型行列式，所以按第一例展开后可得D221132100NNNBABAANNA2121上述的三种方法是计算行列式的基本方法，他们之间不是孤立存在的，相互之间有一定的渗透。在计算行列式时往往都会总会各种方法，选择比较简单的方法来进行计算。在选择方法时，一定要仔细的观察行列式的特点，根据它的特点来选择。有些高阶较复杂的行列式，运用上述的三种方法不易计算，这时需要用到较复杂些的方法，如递推法、归纳法等。24用递推法进行计算。这种方法的即是利用行列式的相关性质定理，将行列式展开降阶后，得到与它具有相同结构的行列式的线性关系，然后反复的用这种线性关系将行列式进行降阶，直到二阶，再将二阶行列式的结果代入所得的线性关系式中计算原行列式。例11计算的值。BABABADN100010解析通过观察可知，按照第一行展开这个阶行列式后，可以得到与的递NND21,N推关系式，则可以使用递推法来计算。按第一行展开得NDBABA1001BABA100。于是21NNABA）（32NNND212N（1）同理得NNABD1（2）由（1）和（2）解得BNN1例12计算阶范德蒙行列式的值。NV1211221NNNAAAA解析观察可知，将第前面的列的每一列乘以加到它的后一列，就可使最后一行除了第一列的元素外，其余元素都为零。所以，将第列乘以加到第列上，再将N第列乘以加到第列上，如此这样的一直做下，直到第一列乘以加到第2NNA1NA二列为止。则得到NV00012131212122231212NNNNNNNNNAAAA1121312221213NNNNNNNNNNNAAAA）（将上式的中的每一行公因子提出行列式外后，就得到一个的阶的范德,蒙行列式，记为。则有VN112NNNAA）（2131222131NNA121NNNN）（V于是得到递推公式，利用递推公式反复的递推下NVAA去，则得到121A212NA）（）（33NIJJ1这是一个很实用典型的行列式，可以利用它的结果去计算其他相关行列式的值。例如行列式。有些情况下可以构造范649132123423142）（德蒙行列式来计算，所以记住范德蒙行列式的结果是非常有用的。25运用数学归纳法进行计算。数学归纳法在计算行列式中，也有一定的应用，可以对阶数进行归纳法。N例13计算阶行列式的值。N12210001NNAXAX解析当2时，行列式N0110X当3时，行列式1021210XAA023XX由2和3的情形，猜测阶行列式的值为NN011ANN假设对阶行列式，猜想成立，则对阶行列式降阶后得11221000NNAXAX12201NNAXX10X1221AXANN10N所以猜想成立，由归纳法的原理知原行列式的值为011AXXANN对于有很多给出结果的行列式，证明它的结果时，通常情况下都可以应用到归纳法，例如，可以用归纳法证明范德蒙行列式的结果。26运用拉普拉斯定理进行计算。拉普拉斯定理在理论方面用重要的运用。运用拉普拉斯定理，可以将高阶的行列式降低为低阶的行列式进行计算。用拉普拉斯法计算行列式时，一般情况下，虽然需要计算大量的低阶行列式，但对一些特殊的行列式，运用此法却是非常方便的。拉普拉斯定理在阶行列式中，任取定行（列），由这行（列）构成N2DKK的元素构成的一切阶子式与它对应的代数余子式乘积之和等于行列式。KD设在中，取定行（列）后的一切阶子式为它们对应的代数余子DK,21TM式分别为，则，其中。TA,21DTAM21KNCT例14计算行列式的值。HGFEDCBA0解按第一第四行张开得DFEDCBA41DECFGBAHCFG利用拉普拉斯定理来计算行列式，一般选定的K行上K阶子式的元素为尽量多的零时，计算才会简便。例15计算行列式。D032154321EDCBBAA解运用拉普拉斯定理计算，按4,5列展开得54BA321DEC1213454DCEBA27升阶加边法。有些行列式通过升高它的阶数，会容易化简些。升阶法就是通过给行列式加上一行和一列（保证行列式的值不变化），在进行化简计算的方法。升阶法一般适用于各列中只有对角线元不同的行列式。例16计算D,21,321321NIBAABINN解给加上一行一列得NNBABAA32132100NNABABA0010013213NIIAB100101132NABNIIAB10001010321NNIIABABABNIIAB1NIIAB3计算行列式的心得。行列式的计算方法有很多种，这些方法如果要深入的讨论，可以说是一门很深的学问。上文中所叙述的方法比较常用，其中笔者认为最重要的一点是化为三角行列式来计算。掌握计算行列式方法对于计算行列式尤为重要，但在遇到较为复杂的行列式时，却不一定能够运用方法计算出结果，会出现思维断路的情况。如同学习其他的数学知识一样，要成为计算行列式的高手，笔者认为除了掌握方法外，平时还应当多多的做些练习。参考文献1刘丽高等代数M四川成都西南财经大学出版社20082王治军最新线性代数习题全解M中国建材工业出版社20043王萼芳高等代数教程M清华大学出版社20024郭卫舵、龙德明高等代数M成都科技大学出版社1997薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿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