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文档简介

导数、微分及其应用训练一、（15分）证明多项式无实零点。2321NXXP证明用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，00X）。假设，则有。因为0PX0XX232211NXNEEX由此可得，但是，这是一个矛盾。所以0210XN0210,XNE多项式无实零点。232NP二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明存在FX,AB,AB，使得,AB2124ABFAFFAF证明设。对函数在区间,2BBGXFFXGX上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得,2AB1,A122BABGG112AABAFBFFFFF再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在FX1,2B使得1,2BA1122BABAFFF由此可得224ABFAFFAF三、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有FX01,0FF0X56FXX证明当时，。0X23XE证明因为，5623FFXFFFXFFX设，则有2GX3333000XXXGXEGEEG因此当时，0X322EFF20XXXXFFEFE当时，。0X2303E四、（15分）设函数是可微函数，如果，证明仅为,UFXYZYXZFU的函数。22RXYZ证明考虑球面坐标，其中，SINCOXRYZ22RXYZ则有，因为SINCO,SIN,COSUFRRRII0YXXYFFFCOSCOSINSIXYZFRFRFR22222INICOSINYXZFFR22COSINCOSIN0XZFFRR所以仅为的函数。UXY五、（15分）设在点处可导，且。证明F00NNAXB0LIMLINNABX0LIMNNFFF证明因为在点处可导，所以FX0000FXFXX0NNNFBB000AFXFAXX00LIMLIMNNNNNFBBAF00000LINNNNNBXXFXABA又因为，所以，由此可得0NNAXB001,1NNAB0LIMNNNFFAFX六、15分设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，FX都为正值，并且。证明对任给的有,FXFFXFX。2F证明任取数，构造函数Z2FXGXFFXZZ因为，并且只有，所以20XFZ0XG任取正数，则有Y2FZYFZFZYZYGZ22FZYFZYFZYFZ0FF利用拉格拉日中值定理，存在使得，,ZY2FZYFF所以有30FZFZ
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