大学数学竞赛-第四届大学生数学竞赛训练三答案(1)

模拟训练二一、解答下列各题（每小题5分，共15分）1）计算极限21LIMXXEE解因为12011LN3NNXXXE2222221184EXXXXX所以211LIM4XEE方法二、用罗必达法则计算，设TXLN1LN122200L12LIMLIMLIMTTXXTTTEEETT因为200LNLILITTTT原式2LN1LN1220LL1LIMTTTTEET222401LN31LN1LNLITTTTTTTET又因为240L3LLI1TTTTT223200LN41LN162LIMLIM3TTTTTTTT20041L4LNLII63TTTT所以。12LI4XXEEE2）设，求的值1XFE50F解因为2511XXX2223423XX3542511610XX其中的系数为5X9464220所以。51900F3）求的和11234562NN解考虑幂级数234212NXXS2311NNX462XX20011ARCTNLXTSTD。1LN42二、（10分）在球面上以点为21XYZ2,0,1,0,0ABC顶点的球面三角形均为大圆弧），设其面密度为，试A,BC2XZ求此球面三角形的质量。解因为所在的大圆方程分别为A,222222111,00XYZXYZXYZ所以此球面三角形在面上的投影为曲线所围成的O22,0Y区域（在第一象限）。D22212011YDYXZDSDXDXY2221211202021ARCSINYYYYXDDXYDYX。131200446YYD三、（15分）设，证明。,DX224XYE证明设，当时，解方程组2,4XYFYE,0Y204XYXYXXYXYXFEE可得解1Y当时，解方程可得解0,X20,04YYYFE2Y当时，解方程可得解,Y,XXXX因为当时，由夹逼准则0,XY22104XYXYE2LIM0XYXE有，当取任意值时，当取任意值时，2LIM4XYXYE2LI4XYY，所以在区域内存在最大值，并且最大值只能在点2LI0XYX,FXD，取得，由于1,221,0,04FEFFE由此可得在区域内的最大值为，即，当时，有D,FXY,XY224XYE四、（17分）设函数，定义数列如下32165FXXN010211,NFXF1）求使数列收敛的的取值范围，并求出；NXLIM2）若1）中的取值范围为，求函数在0X,AB231LN2GXX上的最大值和最小值。MIN,A,B解1）因为，所以数列一定是单调2213438605515FXXNX数列。当时，数列递减；当，数列递增。010FN00XFN因此我们解方程，即，只有当X32462310XX时才有。3,21XF当时，此时数列是递减数列，并且有，如果存在有00XNX3NX，则有，且，这是一个矛盾，此时数列发散；LIMNXA3FA当时，此时数列是递增数列，用数学归纳法可证明0320FXNX对任意成立，由单调有界准则可得数列收敛，设，则有NXNLIMNXA，因此必有；,32FAA2A当时，此时数列是递减数列，用数学归纳法可证明021X0FXNX对任意成立，由单调有界准则可得数列收敛，设，则有NNNLIMNXA，因此必有；,21FAA2A当时，此时数列是递增数列，并且有，如果存在有01X0FXNX1NX，则有，且，这是一个矛盾，此时数列发散；LIMNA1FA当时，数列是常数数列，分别收敛于常数。03,2XNX3,212）由1）可得为区间，因为在区间内有I,MA,BB1,，所以最大值为，最小值为。30GXX38LNG10G五、（16分）设是平面上一条简单光滑闭曲线，是曲线上一动点，点C,XYC是不在曲线上一定点，向量，是向量与曲线外,AB,RAB,RNRC法向量的夹角，计算。COS,CRNDA解无妨设是单位外法向量，则有,N222COS,CCCRXAYBRDSDSA（其中取逆时针方向）22CXAYBDC因为2222XAXAYBYB2222YXA所以此积分在不包含点的闭区域内与路径无关。,B1）当不在闭曲线内时，,ABCCOS,0RNDA2）当在闭曲线内时，在内取圆,COS2INXAYB220COS,COSSINISCRNDBDDDA六、（12分）设函数在上有定义，并在任意闭区间上可积，且对任意实数FXR,AB满足,XYFYFXFYXY已知，求。213FFX解设，两边关于积分得0YDAYFXFYXYY211203XFXFADFA设则有TY213XXFTDFA213XXFFTDA由此可得函数是可微函数，上式两边关于求导可得X（1）113FFXFX在等式中令可得FXYYY（2）213FXFX由（1）和（2）可得23FFC由可得，。3FX七、（15分）设函数在区间上有定义，如果对任意及任意F,AB,XYAB，恒有0,111FXFYFXY则称在区间上是凸函数。证明若在区间上是可导函数，则FX,AB,AB是凸函数的充分必要条件为对任意的，恒有,XYFYFF证明1）如果对任意及任意，恒有