高数习题答案- 高等数学下册测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）1）设有直线3210XYZL及平面，则直线（C）420XYZA、平行于平面B、在平面上C、垂直于平面D、与平面斜交2）二元函数在点处（C）2,0,0XYFY,0A、连续、偏导数存在B、连续、偏导数不存在C、不连续、偏导数存在D、不连续、偏导数不存在3）设为连续函数，则（B）FX1TTYFDFX2FA、B、C、D、22F0分析改变积分次序，可得111TXTFDFYXFDXFTFT2F4）设是平面由所确定的三角形区域，曲面积分3XZ0,0XYZ（D）6YDSA、B、C、D、7214215）微分方程的一个特解应具有形式（B）XYEA、B、C、D、XAEBXABXAEBXAEB二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1）设平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程6,2428YZ为。230XYZ2）设，则。ARCTN1Z1,3D124DXY3）设为正向一周，则。L2XYXLEA2210XXYEDY4）设圆柱面，与曲面在点点相交，且他们的交角为，23XYZXY00,Z6则正数。0Z45）设一阶线性非奇次方程有两个线性无关的解，若YPXQ12,Y（为常数）也是该方程的解，则应有。12Y,三、（本题7分）设由方程组确定关于的函数，求及和。COSINUXEVY,XYUXVY解利用全微分的不变性COSI1INS2UUDXEVEDVY可得1COS2IVCOSININUUUVXYDXYE可得INSCSSICOSVEDVVDE所以CIN,UUUVXEXY四、已知点及点，求函数在点处沿方向1,A3,21B3LN2XYZAB的方向导数。解2,3B23336,2UYUXUZXZYZXY2167AL五、（本题8分）计算累次积分。24121XXYYDEDE解改变积分次序原式2222111YXXYYYDEEEE六、（本题8分）计算，其中由柱面及平面围IZDXY21XY0,1Z成的区域。解用切片法较好。原式12100ZD七、（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所32XYZDS2ZXY2Z截下的有限部分。解在面上的投影为XOYXYD242211XYDSZDXYD原式32XYD22211XYYXYD2223201XYDRD4520154UDTDT注这里利用了对称性简化计算320XYDYX222211XYXYDDYDX八、（本题8分）计算，是点到点224COSCOSLL,2A在上半平面上任意逐段光滑曲线。,2B0Y解因为224COS,COSXXPQY在上半平面成立，所以此曲线积分在上半平面232INYYX内与路径无关。原式22,24COSCOSXXDDYY22222223SINSI1XY九、（本题8分）计算，其中为半球面222DZDZXDXY的上侧。21ZXY解利用高斯公式计算，设为面上区域，并取下侧。为围成的1XOY21XY1,立体区域。原式12223DXYZDZDZXDY22212301124XYXYYR十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求FSXT224YTS。YFX解21,SYFFXTTT2243,YFXFFTTST所以可化为220TS243240FXFFXTTT220FXFFFFXTT解微分方程，令，则，原方程化为24YPY240DXX211221LNL444CXDPDPXYPX1122ARCTNCY十一、（本题4分）求方程的通解。COSX解解特征方程，得特征根，对应其次方程的通解为20RRI12CSNYCX又因为，此方程有特解2,4PQSI4YX原方程通解为12COSIN2YCX十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点，YZAM各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小。解设点坐标为，以为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体M,XM的表面积，因为。8SYZ22XYZA考虑函数22,FXXYZA解方程组得，所求点为220XYZYZFA3XYZ。33,A有关级数的题目1）判别级数是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛11LN解因为，而发散，此级数不绝对收敛。L2112N又因为，且，此级数条件收敛。1LN2L1LIM0NN2）求幂级数的收敛区间及和函数。201NNX解，此幂级数收敛区间为21221LIMLI02NNN,20102NNNXXX21012NNNNX2121042NNNNXX2014N