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第七章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念一、平面点集1）邻域是面上一点，为任意正数，与距离0,YXPO0,YXP小于的点的全体，称为的邻域。即0P0,U去心邻域。,0P2）区域为平面上任一点集，点，如果存在的一个邻域EEPP内，则称为的内点。PU,如果中的点都是内点则称为开集。点，如果的任意邻域内既有中的点又有外的点，EPEE则称为的边界点。点集内任意两点可由包含在内的折线连接起来，则称是连通的。连通的开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。有界区域和无界区域。3）维空间N有序元数组的全体为维空间。NXX,21N维空间中两点的距离为NYYQP,212221NXYXYXYPQ二、多元函数的概念1）定义设是平面上一个点集。如果对于每一个点D，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，YXP,ZF则称是变量的二元函数（或点的函数）记为ZYX,PYXFZ,自变量、因变量、定义域、值域。YX,ZD注类似可定义三元函数、元函数。N例1求函数的定义域。21LNYXYZ2）二元函数的几何意义二元函数的图形是曲面。（如图23）YXFZ,例2的图形是锥面。（如图24）2三、多元函数的极限定义设函数在开区域内有定义，是的YXF,D00,YXPD内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200YXP的一切点，都有DYXP,AYXF,成立，则称常数为函数当时的极限，A00,Y记为或AYXFY,LIM00,AYXF其中。22X例3求证（如图25）0LI20YYX证明。222YX对于任给的，取，当时020，所以2YXLIM20YXY注极限具有唯一性。例4讨论极限。（如图26）20LIYXY解取（为任意常数），此时有K，因为可取任意常数，由极限的220201LIMLIKYXXYK唯一性，不存在。20LIYYX例5证明极限不存在。（如图27）240LIXY解1）取（为任意常数），此时有K0LIMLI20240KXYXY2）取（为任意常数），此时有K2202401LILIKYXXY由极限的唯一性可得，不存在。240LIMYXY例6计算220COS1LIYXYXE解原式02SINLMSINLM0202YXEXYXYX四、多元函数的连续性定义设函数在开区域（或闭区域）内有定义，YXF,D是的内点或者边界点，如果DYXP0,0,LIM0YXFFYX则称函数在点连续。YXF,P闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理；介值定理。初等函数多元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和复合所成的能用一个解析式表示的函数。初等函数在其定义域内是连续的。例7。2LN1LNIM201YXEY例8SIL202YX例9讨论函数在处的连续性。01,XEYXFY,解当时，0
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