高等数学-微积分12下33

第三节幂级数一、函数项级数的概念函数列（这些函数定义区间为）I,21XUXUN我们称为函数项级数。对121NNXU于，如果收敛，则称为级数的收敛IX010N0X1NXU点，部分和为，在收敛域内有；余项XSSNLIMXRNN二、幂级数及其收敛性级数称为幂级数，记为。NXAXA2100NXA例14N132例15判别幂级数的收敛性。NXX32定理1如果幂级数当时收敛，则适0NA0合不等式的一切都收敛；反之如果级数当0XX0NXA时发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。0X0XX证明1）因为收敛，根据必要条件有，数0NXA0LIMNA列有界，即存在常数使得恒成立。NXA0MXAN0NNNXMXA00因为，所以级数收敛，由比较判别法绝10X0NN0NXA对收敛。2）反证法。推论如果幂级数不是仅在零点收敛也不是在整个实0NXA数轴上收敛，则一定存在一个正实数，当时级数RX收敛；当时级数发散。0NXARX0NXA我们称为级数的收敛半径。称开区间为级R0NAR,数的收敛区间，如果再判断端点的收敛情况得到的收0NXA敛点集为级数的收敛域。0NXA定理2如果，其中是幂级数相邻PN1LIMNA,10NXA两项的系数，则幂级数的收敛半径PR0证明1）如果，则；当时，0PXPAXANNN11LIMLIP1，由比值判别法可得级数收敛；当时，XP0N，幂级数发散。1XP0NXA1）如果，所以对任P0LIMLI11XPAXNNN给的有幂级数收敛。X0NA2）如果，所以对PXPAXNNN11LILI任给的非零的有幂级数发散。X0N例16判别下列幂级数的收敛半径和收敛域1）；2）1NNX01NX3）4）0N02N5）12NNX解1），级数11NLIMALIN1NNX收敛半径为，收敛区间为。,因为收敛，而发散1N11NN收敛域为。,2），级数011NLIMALIN0NX收敛半径为，收敛域为。,3），级数1N1NLIALI0NX收敛半径为，仅在处收敛。04），级数4121NLIMALINN02NNX收敛半径为，收敛区间为。221,当时，1X22000352146NNNNX352351467因为发散，由比较判别法发散01N20NN收敛域为。2,5），级数11NLIMALIN12NNX收敛半径为，收敛区间为。23,当时，收敛1X11NNNX当时，发散3112N收敛域为。,注求收敛区间时，不用考虑端点的敛散性；求收敛域时，必须考虑端点的敛散性。四、幂级数的分析性质及幂级数求和三个重要性质性质1幂级数在的和函数在收敛区间上0NXAXSR,连续，如果幂级数在端点收敛和函数也在端点连续。性质2幂级数在的和函数在收敛区间上0NXAXSR,可导，并且1NXAS逐项求导后得到的幂级数收敛半径还为。R性质3幂级数在的和函数在收敛区间上0NXAXSR,可积，并且0010NNNXXXADTTS逐项积分后得到的幂级数收敛半径还为。R例17求幂级数在收敛区间内的和12NNX2,函数，并求。12N解设其和函数为，在收敛区间内有XS2,2211112N02N0TXXXDDTSNNNXX两边求导得222XXXS。311SN例18求幂级数在收敛区间内的和函数，并求21NX1,21NN解设其和函数为