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文档简介

第六节方向导数与梯度一、方向导数定义1设函数在点某一邻域内有定YXFZ,0,YXP0PU义，自点引射线，记为与射线方向相同0PLCOSLEL的单位向量，点为射线上另一点，YX,00,ETL如果TYXFYTXFTPFTT00000,COS,CSLIMLI存在，则称此极限为函数沿方向的方向导数，记FZ,L为。0PLF注若分别为时方向导数就是偏导数。1,0,定理如果函数在点是可微的，那么函数YXFZYXP,在该点沿任何方向的方向导数都存在，且LCOSSYFXFL其中为与射线方向相同的单位向量。COS,证明因为在点是可微,所以YXFZ,YXP22YXOFF两边同除以得22YXYFXFZOFFYXCSO即有。COSLIM0YXFFZ例1求函数在点处沿从点到2,12,13,的方向的方向导数。解方向向量对应的单位向量为3,12,31242,1LZ例2求函数在点处沿曲线2BYAXZ,BAP在该点的切线方向（与轴夹角为锐角）的方12BYAXX向导数。（）0,B解在点处曲线的法向量为2,AP12BYAX，其对应的切向量为，其对应单位向B,2A,量为22,BAA0222,BALZBA对于三元函数有类似定义函数在ZYXFU,00,ZYXP点沿的方向导数为COS,COSETZFZYTXFLFTP0000,COS,IM0如果函数在处可微，则0。COSCOS0ZYXPFFFL例3设点的向径为，求函数在点ZYXM,R22ZYXU处沿的方向导数。R解方向向量对应的单位向量为ZYX,22222,ZYXZYXLUM二、梯度如果函数在内有连续的一阶偏导数，我们称向量YXFZ,DYXYXFJFI,为此函数的梯度，记为。GRAD,设为与射线同向的单位向量，则有EEYXGRADFYXRFEYXRFLZ,COS,注1沿梯度方向的方向导数达到最大值，此方向导数就是梯度的模。注2是梯度在射线上的投影。LZL注3对于三元函数也有类似结论。例4设，求。2LN,YXYXF4,3GRADF例5设函
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