高等数学-华南理工大学高等数学统考试卷下2007

高等数学下册试卷200874姓名学院与专业学号一、填空题共24分1、4分设，则432ZXY1,2DZ34XDY2、4分曲线在点的切线方程为COSINATZT,00XAYZC3、4分已知，则02,0,XYXF,XFY4、4分函数在点处沿从点到点方向的2ZXY01,2P01,2P1,23方向导数是135、4分设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分L29XY224LXYDXDYA186、设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分0,A,1B2LXYDS4二、7分计算二重积分是由所围成的闭区2,XYDED1,0YX域解作图知01,Y2222110001YXYXYXYDEEDEDEDED三、7分计算三重积分，其中由所确定ZV22ZXY解由交线（舍去）222120,XYZZZ于是投影区域为，柱坐标下为21D202,RZR22114624200172RZDVDRD四、7分计算，其中为半球2XZYZXYZXDY的上侧22ZA解令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式10,XYA1原式122222ZDVXZYZDXYZDXY225220000SINCOSSINAAADDDRCORD（用对称性可以简化计算）42550IAR五、7分计算，其中为抛物面1XYDS2101ZXYZ解，投影区域为2,XYZXY2D由对称性，原式322001111DSRDR六、7分求在约束条件下的最大值和最小值2UXYZ22XYZ解令21L则2211032,13XYZXXYYORLZZZ1214124,3,33UU由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为七、7分设，其中具有二阶连续偏导数，求,XZFYF2,ZXY解21121223,ZXFFFFFXXYY八、7分求微分方程的通解20XYED解原式可以化为一阶线性微分方程XYE由公式111LNLNDXDXXXXXYEECEDCDCE九、7分设具有二阶连续导数，且F0,1FF是全微分方程，求其此全微2XYXYDFXYDFX分方程的通解。解由全微分方程的条件知221,22,0XYFXFXYFFXRI有特解有形式，代入原方程得ABCFX从而通解21212COSIN,SINCOSFXXFX由初值条件120,C因此2CSIFXX原方程即为22OIN2SINCO0YYDXXYD即2SICIXDX22INO0,SINCO2YXYXXYC十、7分（非化工类做）求幂级数的收敛域及其和函数01NX解由，从而为收敛区间12LIMLI1NA,R又时级数发散（调和级数去掉第一项），时级数由莱布尼茨判别法知X1X道其收敛，从而收敛域为注意端点区别对待,设，则01NSX1001,NXS，0NX0LN11XDX因此1,L,10,XSX十一、6分（非化工类做）将函数展开成的幂级数1LNXF解的定义域为，FX1,X2001,LN10NNNFF从而210,NFXX十二、6分（非化工类做）证明在区间上等式成立,1220COS4NX证明对上的偶函数作周期为的周期延拓，再作出其,21FX傅立叶级数由收敛定理即可推出。由公式2230014ADX1222000SIN1COS,COS14NNXXNDD，从而由收敛定理知道在上一定成立0NB1220COS14NXX,十、7分（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与2ZY平面平行。420XYZ解曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，4,1NXY4210XYZ从而有，由于切点在曲面上4,22XY221Z因此切平面为110,10YZXY十一、6分（化工类做）设是由方程所确,Y2ZXYZ定的函数，其中可导，求XDZ解对方程两边取微分得2YXDYZ即122DZZXXYD2XYD十二、6分（化工类做）证明函数在原点处可微，但2221SIN,0,0,XYXYF,在点处不连续,XFY解由定义22001SIN0,LIMLIMXXXFFXF同理0,YF由于222220011SIN0,SINLIMLIM0XYXXYYFFYXY从而函数在原点处可微。,FX,当20Y322