女子体操队最佳出场阵容问题

女子体操队最佳出场阵容问题摘要本文旨在解决一个女子体操队最佳出场阵容问题，目的是通过对运动员以往各项目得分及概率分布进行分析，在满足参赛规则的条件下，排出一个出场阵容，使该队取得最好的成绩。我们想到这是一个实际优化问题中的分派问题，于是我们用01变量表示一个运动员是否参加比赛，从而建立了问题的01规划模型。通过已给出的数据，借助数学软件MATLAB进行求解，分别给出了每个选手的各项得分按照最悲观估算和按照均值估算的前提下的最佳出场阵容。我们灵活地通过改变问题的约束条件与目标函数，建立了要取得冠军（就是总分大于2362）且概率最大的模型。在模型无解的情况下，我们从新分析了问题，给出了一个夺冠出场阵容。在求解模型中，我们分析了预测误差对决策结果的影响，即模型的灵敏度分析。由随机变量的和的数学期望定理，我们得到以该阵容出战的得分期望。我们并估算了以该阵容出战有90的把握战胜怎样水平的对手。为了让决策更直观，在本文中给出了各类数据与出场阵容的图表。关键词01线性规划MATLAB得分期望一问题重述有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为10；99；98；01；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。问题1每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。问题2对以往的资料及近期各种信息进行分析得到本次夺冠的团体总分估计为不少于2362分，该队夺冠应排出怎样的阵容以该阵容出战，其夺冠前景如何得分前景（即期望值）又如何它有90的把握战胜怎样水平的对手这是一个通过搭配选择运动员来达到比赛时获得最佳的战绩的问题。题目给出了运动员各项目得分及概率分布表见附录。二模型假设1、单项比赛中，每个队员至多参加3个项目；2、每一个项目有6名选手参加,参加全能比赛的有4名选手占用4个名额。三符号说明1其取值只能是1或0，并令1表示第I名运动员参加了全能比赛，反之IXIX0；I2其取值只能是1或0，并令1表示第J名运动员参加了编号为K的单项比JKYJKY赛，反之0；JKY3表示第I名运动员参加了全能比赛的成绩；IA4表示第J名运动员参加了编号为K的单项比赛成绩；JKC5表示第I名参加了全能比赛的最好成绩；IB6表示第J名运动员参加第K项单项比赛的最好成绩；JKD四问题分析问题中，赛程规定每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，每个队至多允许10个队员参赛，为了使团队总分尽可能高，则10名运动员应全部参加比赛。而每个项目可以有六个队员参加，也就是说每个单项最多只能有六个队员参加（包括全能队员与参加单个项目的队员）。每个团队应该有四个人参加全能项目，其余的参加单项比赛每个运动员只能参加单项比赛与全能比赛中的一类；参加单项比赛的运动员最多只能参加3个单项。这两条就是说参加全能与单项的运动员不允许出现冲突。这是一个优化问题，我们要在满足上述条件的情况下1规定每个队员的得分按照最悲观（即项目得分最低值）估算，为了达到总分最高的要求，我们该建立一个怎样的数学模型，为该队排出一个最佳阵容；2规定每个队员的得分按照均值估算，为了达到总分最高的要求，我们该建立一个怎样的数学模型，为该队排出一个最佳阵容；3规定本次夺冠的团体总分估计为不少于2362分，为了使该队夺冠，我们该排出怎么样的阵容，并计算以该阵容出战的夺冠前景和得分期望，最后分析它有90的把握战胜怎么样水平的对手。五模型的建立和求解通过对问题的分析，这是一个实际优化问题中的分派问题，我们建立01线性规划模型。（1）要有4名运动员参加全能比赛，应有410IIX2每一个比赛项目要有6名选手参加，参加全能比赛的有4名选手占用4个名额，则有10YJJK2K1,2,3,4（3）参加单项比赛项目的运动员最多只能参加3项单项项目，则J1,2,103Y41KJK（4）每个运动员只能参加全能比赛或者单项比赛中的一类，则IJ1,2,10K1,2,3,41JKIYX当第J名运动员参加第K项单项比赛时，其成绩为员成绩为,当第I运动员参JKCY加全能比赛时，其成绩为，于是全队总分可以表示为IAZJKCYIX这就是问题的目标函数。问题一我们针对问题一的最佳阵容的最优组合问题建立下列01线性规划模型模型一1MAXZ（41K0J1IJKCYIAXSTJ1,2,103Y41KJIJ1,2,10，K1,2,3,4JKIX410II10YJJK2K1,2,3,4,I1,2,10，J1,2,10，K1,，4IX01，JKY01，基于问题一的解，我们给出运动员各项目最悲观得分分布表表一运动员各项目最悲观得分分布表123456789101（高低杠）849384818494958484902（平衡术）848481879087848884813（跳马）918484908385838784824（自由操）878995849484848293915（全能）34635344342351350346341345344由表一的数据，我们借助数学软件MATLAB对01线性规划模型进行求解（程序命令见附录2），由屏幕最后显示结果得，其他1X96X520，Y71Y101Y42Y82Y13Y43Y34Y1041其他0，Z2123IXJKY表二最悲观条件下团体总分为2123的最佳阵容分配表123456789101高低杠01001110112（平衡木）01011101103（跳马）11011100104（自由操）01101100111代表参加比赛。由均值（即数学期望）的定义，从附录1，我们得到各运动员各单项得分期望，如下表三表三各运动员各单项得分均值123456789101（高低杠）9969919979899942（平衡术）999191949199892913（跳马）959995898989919924（自由操）9193989979929397955（全能）36636936936737367369372369372由上表的数据，借助数学软件MATLAB对01线性规划模型进行求解（程序命令见附录2），由屏幕最后显示结果得X2X8X9X101，其他0,IXY61Y71Y42Y52Y13Y43Y34Y541,其他0，JKYZ2247表四按均值估算下团体总分为2247分的最佳阵容分配表123456789101高低杠01000111112（平衡木）01011001113（跳马）11010001114（自由操）01101001111代表参加比赛。问题二我们分析了每个选手的各单项得分按均值估算为该队排出的最佳阵容，该队团体总分最高为2247分而对以往的资料及近期的各种信息分析，得到本次夺冠总分估计为不少于2362分，且这次女子体操团体赛的总分为240分。经分析，我们决定每个运动员得分按最乐观估算，再次前提下，我们为该队排出一个出场阵容，使该团队在能夺冠的前提下，其概率最大，即期望值最大。于是，在问题一的模型中再加入一个约束条件2362410J1IKJKCJYIAX当第J名运动员参加第K项单项比赛时，其成绩为员成绩为,当第I运动员参JKDY加全能比赛时，其成绩为，于是全队期望总分可以表示为IBXZIJKDY这就是问题的目标函数。我们针对问题二的最佳阵容的最优组合问题建立下列01线性规划模型模型二1MAXZIBXJKDYSTJ1,2,，10341KJIJ1,2,，10，K1,2,3,41JKIYX410II10YJJK2K1,2,3,42362410J1IKJKCIAX,I1,2,，10，J1,2,，10，K1,，4IX01，JKY，对模型求解，我们先给出各运动员参加各项目的得最乐观分（见下表五）表五各运动员参加各项目的得最乐观分表123456789101（高低杠）949810959499101094972（平衡术）109495999799101098953（跳马）981094979391939910964（自由操）999610109994989899985（全能）391388389391383383391397391386根据表五的数据，我们借助MATLAB对模型二进行求解，由屏幕最后显示结果得0，IX0，,I1,2,，10，J1,2,，10，K1,，4ZINFJKY由结果知，模型二无解，这说明了该队既要夺冠，又要使其概率最大，显然不可能同时满足。于是，我们不考虑夺冠的概率，只考虑如何为该队排出一个夺冠的阵容。于是，问题归结为，每个选手的得分按最乐观计算，在此前提下，为该队排出一个夺冠的阵容。由表五的数据，用MATLAB求解模型一（解法如程序一），由屏幕最后显示结果得X1X4X7X81，其他0,Y31Y61Y62Y92Y23Y93Y34Y541,其他IX0，Z2365JKY表六按最乐观估算下团体总分为2365分的最佳阵容分配表123456789101高低杠10110111002（平衡木）10010111103（跳马）11010011104（自由操）10111011001代表参加比赛。下面我们给出按表六的阵容，各运动员得分最高时的概率分布表123456789101高低杠0101010202012（平衡木）0101010104023（跳马）0201030201014（自由操）010201020201从表中可以看出，各个参赛运动员都有10以上的机会拿到各自最好的成绩。以该阵容出战，该队夺冠的前景是蛮乐观的。由随机变量的和的数学期望定理2两个随机变量的和的数学期望对于它们数学期望之和。于是，该阵容的得分期望为参加队员的得分期望之和,由参加比赛阵容和表三的数据得E2219它有90把握战胜各个参赛运动员都取得各自最好成绩且其概率小于等于9的对手，对手的总分小于或等于2365。六模型的讨论1由此模型可以推广到任何指派问题，容易对约束条件和目标函数的更改，可以转变为多目标函数的线性规划模型。2在模型二无解的情况下，我们忽略了夺冠的稳定性，只考虑排出阵容所得总分最高。（3）模型可以用数学软件精确的求解。（4）MATLAB的求解不满足线性规划问题的解的不唯一性，约束了原问题的多种方案。七参考文献1杨尚俊，数学建模简明教程，合肥安徽大学出版社，2006年3月2刘剑平、陆元鸿，数理统计方法与概率论，上海华东理工大学出版社，2001年8月附录一运动员各项目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）8401584010910108701090050880209301089020920259006095060910601940101001098020990109301084015840108901095010900508802091010960609202590060930602980209401010010960208401081010840159501088020910509005097010900609303092025980603100109501094010100208101087010900108401091050890209401088020930309106095050900604950109901097030100108401590010830109401090050920108701096010592025940608906097060940109702093020990209401087010850108401596010890208701090050970609106089050920256990209901091030940109501084010830108401097010880208701088010980609006089060920607100201001093020980208401088005870108201088020920058902093050900609805091060950308100101004099010980108401584010840109301090050880108802095010920259206090060970509940109802010010990309001081010820109101092010910509205093010940609303094030950601097020950109601098020附录二MATLAB的运行程序A11110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000000000000000000000000000000000000000000011110000000000100000000000000000000000000000000000000010000000000100000000000000000000000000000000000000100000000000100000000000000000000000000000000000001000000000000100000000000000000000000000000000000010000000000000100000000000000000000000000000000000010000000000000100000000000000000000000000000000000100000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000100000000000000000000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000100000000000000000000000000000010000000000000000000100000000000000000000000000000100000000000000000000100000000000000000000000000001000000；0000000000000001000000000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000000000100000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000001000000000000000000000000010000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000001000000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000000000000001000000000000000000010000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000000100000000000000000000000000000001000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000010000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000000100000000000000000000000000000000001000000000000001000000000000000000000000000000000001000000000000010000000000000000000000000000000000001000000000000100000000000000000000000000000000000001