微积分的发展史对新课标导数教学的启示

微积分的发展史对新课标导数教学的启示台山培英中学黄辉胜【内容摘要】一般地，导数概念的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数，但对于高中的学生来说，极限是非常抽象和不容易理解的，而新课标导数教学并没有介绍形式化的极限定义，改从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。本文就是从微积分的发展史来弄清为什么可以这样引入导数的概念。【关键词】流数；变化率；瞬时变化率；导数一般地，导数概念的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。而新课标导数概念是怎样讲呢教科书（人教版）没有介绍形式化的极限定义及相关知识。而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。这种概念建立方式当然就没有严密的逻辑性和系统性了，有这种必要吗笔者从微积分的发展史找到答案。一、微积分的发展史简介众所周知，微积分是由伊萨克牛顿（ISACNEWTON，16431727）与戈特弗里威廉莱布尼茨（GOTTFRIEDWILHELM，16461716）分别通过研究不同的问题而创立的。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。而莱布尼茨与牛顿的切入点不同，他创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法（简称新方法），它包含了微分记号，以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包DXY含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程22XDXY只是莱布尼茨对微积分学基础无穷小量上的解释和牛顿一样也是含混不清的，这引起了所谓第二次数学危机。而为了解决这次数学危机才有极限这个概念。由此可见，传统的导数教学只是按“公理演绎法”的形式来铺陈数学，即只讲述逻辑演绎系统，亡象而存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲，干净利落地呈现。但是，对于提问题的艺术，一个概念的形成，一个公式、定理的发现，乃至一个理论的创造与生长过程，这些更有趣部分，几乎都不谈。换言之，将完整的探索过程去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生为了“分数”或“升学”而走上痛苦之“背记”道路，美其名是为了逻辑的严谨，如此所付出的代价实在太大了全盘皆输二、新课标导数教学的处理反观新课标的导数的教学，没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。在一系列问题的引导下，学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从代数和几何两个方面理解导数的含义，一方面，通过去瞬时速度方法而引入导数的概念，这是牛顿创立导数的基础，另一方面，再讲清导数的几何意义导数是曲线上某点处切线的斜率，这是莱布尼茨创立导数基础。这样一来，根据德国生物学家海克尔（EHAECKEL,18341919）说法“个体的发生史重复种系的发生史。”类推应用到学习上，这意指一个人要学习一门学问，重走一趟该门学问的发展过程，是比较容易且自然的一条道路。其一，体现数学是自然的，不是强加给人的这一根本思想，避免学生认识水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力用于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观理解，很自然使学生想到所谓第二次数学危机问题，让学生体验历史上发现微积分的过程，激发学生学习的兴趣，知道极限概念的必要性，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。老实说，我们在以前的传统的教育下，在学习完微积分都感觉不到严格的极限定义的必要性，反而陷入极限定义的漩涡中，弄得晕头转向，但在新课标导数教学方法下，我们将很自然明白为什么需要这样。三、导数教学体会（1）由气球膨胀率与高台跳水两个例子引入变化率问题，进一步引出平均变化率过程，使学生达到牛顿和莱布尼兹创立微积分的基础。（2）由高台跳水的数学模型很自然得出我们要关心运动员某一时刻的速度瞬时速度，公式定义了运动员在一段时间内的平均速度，它粗略地描述TH了这段时间内运动员运动的快慢。可以想象，如果非常非常小，就可以|TTH近似地反映T时刻的瞬时速度。一个自然的想法是，选取一个时刻，如T2秒，在具体数值计算基础上，细致地观察它附近的变化情况。确定思路后，如下表所示0时，在这段时间内T2,TTTTHV139421394当时，130510V当时，131490TV当时，13095101TV当时，13104901TV当时，1309951当时，1310049当时，13099951TV当时，13100049TV当时，01130999951V当时，01131000049V计算出T2两侧各时间段内运动员的平均速度，观察表格中的两列数值，可以发现，当趋近于0时，平均速度趋向于一个定值，自然地，这个定值V就是T2秒时的瞬时速度。最后出于表述的方便，用简洁的符号表示上述思想，即用“”代替“当趋近于0，趋于的定值”。于是，T20LIMTTTH2秒时的瞬时速度可以简洁地表示为2秒时的瞬时速度131THT2LI0这一点避免提出复杂的极限定义，其实牛顿与莱布尼兹时代也是这样来理解啊所以使学生感到非常自然，我们为什么讲导数非要讲极限的定义不可呢这是一个从近似到准确，量变到质变的过程。（3）通过探究1运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示使求瞬时速0T度的方法更具一般性。通过探究2函数在处的瞬时变化率怎样表XF0示进一步舍弃高台跳水的物理意义，完全抽象为数学问题。（4）引出导数概念，函数在处的导数就是函数在FY0XFY处的瞬时变化率。0X通过上面的过程自然建立导数概念的过程，学生会对历史上导致导数产生的一类问题“根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度”有更深的体会，这其实就是牛顿创立微积分一个过程啊使学生充分感受到数学知识的认识掌握是水到渠成的，不是死记硬背的，还有哪种教法比这样的教法好啊不过，笔者在教学过程中发现，学生对高台跳水这个例子虽然很有兴趣，但学生对这个例子感觉还是比较难的，容易使学生失去学习的兴趣（本校的学生的数学基础比较差），大多数学生学习数学的能力都不是太强的，开始安排的例子要尽量简单，然后在后面的应用中逐渐拓展，这样符合人类认识事物的发展规律，不必一开始就这么难，笔者觉得这种现象在新课标的教材中还是比较常见的，我们数学教学目的首先不是培养数学精英，是为了使每一位学生都懂数学，也即数学大众化，可根据学生的实际作调整和补充。总之，从微积分的发展史可以看出，新课标的导数教学的改革体现出数学是自然的这一根本思想，体现教材更人性化，方便学生掌握微积分的最本质的东西，符合人类认识事物的发展规律，同样，其他数学知识的教法也可从数学发展史去寻找，我们绝不能脱离数学发展史而去讲解数学。【参考文献】1、吴建成，高等数学，高等教育出版社，20052、数学选修22教师用书，人民教育出版社，2005盐为什么能刷牙因为食盐不但能稳固牙齿，还具有保健作用,在我国南北朝梁代陶弘景的名医别录中，就记载了食盐具有清火凉血解毒的作用,按照中医的理论，食盐味咸，入肾，齿为骨之余，肾又主骨，所以，食盐能稳固牙齿,食盐能稳固牙齿保健口腔由3721健康知识网编辑，转载请注明出处和链接。食盐能稳固牙齿保健口腔普及健康知识在红楼梦中曾记载贾宝玉每天清晨就有用盐擦牙的习惯。中国中医科学院西苑医院内科副主任医师陈可远指出，古代人是用盐来刷牙，但是随着朝代更替，单纯的盐牙膏也变得丰富了。普及健康知识盐为什么能刷牙因为食盐不但能稳固牙齿，还具有保健作用。在我国南北朝梁代陶弘景的名医别录中，就记载了食盐具有清火凉血解毒的作用。按照中医的理论，食盐味咸，入肾，齿为骨之余，肾又主骨，所以，食盐能稳固牙齿。我国现代中医学也赞同用食盐保健口腔，除了可以借鉴古人的做法外，方法还可以再简单一些。陈医生说，比如每天早晚用温的淡盐水漱口，牙齿疼痛或者牙龈出血的时候，直接将食盐撒在疼痛处和出血处，可以帮助消炎止痛解毒凉血。也可以用湿牙刷蘸些食盐，每天早晚或者吃完东西后，刷一刷，可以促进整个口腔的健康和卫生。健康养生同时，陈医生也强调，食盐只能辅助治疗口腔疾病，不能代替看医生和用药。患有高血压和糖尿病的病人，用食盐漱口或者刷牙的时候，尽量在刷完牙或漱完口后，再用清水把口腔漱干净，减少盐的额外摄入。除了养成良好的作息习惯外，而最为明星们信奉信赖的除了运动，当然就是瑜伽美人中有关专家通过自身体会研究总结出的食物瘦身法了，或许也一样适合于您,食物瘦身法中的减肥食谱点击图片,进入下一页普及健康知识1米粉瘦身法生活小常识就是用米粉来代替米饭的一种方法。米粉是一种低卡路里的食物，它可以增进肠胃的消化功能，预防和治疗成人病。3721健康网食物瘦身法中的减肥食谱点击图片,进入下一页健康知识2海带海藻瘦身法健康养生这是一种有效的瘦身方法吃饭的时候，可以用海带和海藻将米饭包起来吃，饭量很少，调味料也只有酸辣酱一种，此外，肚子饿的时候也可以将海带海藻当作零食来吃。因为不用控制食用的数量，所以本人很喜欢这种方法。但是建议肠胃虚寒者少用此法，最好是短期性的利用此法。生活小窍门食物瘦身法中的减肥食谱2点击图片,进入下一页3卷心菜瘦身法因为卷心菜属于低热量的食品，每100克的卷心菜只含有40KCAL的热量。更重要的是卷心菜含有丰富的维生素和矿物质，并且属于高纤维食物，可以将卷食物瘦身法中的减肥食谱2点击图片,进入下一页健康网3卷心菜瘦身法健康网因为卷心菜属于低热量的食品，每100克的卷心菜只含有40KCAL的热量。更重要的是卷心菜含有丰富的维生素和矿物质，并且属于高纤维食物，可以将卷心菜切成适当的大小装在熟料袋里，随时带在身边，等到肚子饿时就拿出来吃，如果觉得没味，可以蘸一点番茄酱来吃。普及健康知识此方法对想治疗便秘和肠胃功能失调的美眉，这也是一个不错的方法。普及健康知识食物瘦身法中的减肥食谱2点击图片,进入下一页夏季养生4苹果瘦身法生活小常识有着非常惊人的效果，一日三餐都用苹果充饥，而且想吃多少就吃多少，很短的时间就可以收到明显的效果，我但是不建议长期使用，而且食用前后也应该多做一些运动，因为苹果含糖量很高，使用后会觉得浑身疲软困顿，这个时候如果没能打起精神而去睡觉或者不做点活动，那么体重自然很难有变化。建议贫血或者肠胃系统不好的禁止使用此法。牛奶要怎样喝才更营养更健康众所周知牛奶的营养成分很高，矿物质含量也很丰富，最难得的是，牛奶是人体钙的最佳来源，而且钙磷比例非常适当，利于钙的吸收。1、每人每天喝多少牛奶好牛奶作为一种营养价值较高的食品，喝少了难以发挥应有的作用，喝多了则难以消化吸收，所以大家应根据年龄、体力和脑力的消耗量以及自身经济条件来确定每天的饮奶量。一般来说，成年人一天应喝400500毫升，即两瓶牛奶，建议至少要喝250毫升，即一瓶牛奶。经济条件许可最好三瓶即750毫升左右，但不宜超过1000毫升。简单地说，就是“保证一瓶，争取二瓶，最好三瓶，不超四瓶”。2、什么时候喝牛奶好牛奶是一种基础食品，以饭后饮用为宜。一天一瓶以早餐喝为好，一天两瓶以早晚喝为佳，也可根据个人生活习惯在三餐之外的时间喝，但要注意先吃点富含淀粉的食物后再喝，以使牛奶在胃中有较长的停留时间，有利于营养素的全面吸收和利用。简单地理解，就是“早中晚都行，最好饭后饮”。3、喝牛奶对胃有保护作用吗由于牛奶可以在胃黏膜表面形成良好的保护层，所以它可缓解酒精等刺激性食物对胃黏膜的侵蚀，减少胃部疾病的发生。日本早已有喝奶人群胃癌发病率较低的研究报道。相反，饮酒尤其是酗酒会增加内脏器官的负担，诱发或加重胃部疾病的发生或病变。因此，我们还是倡议“多喝奶、少喝酒，最好以奶代酒”。4、鲜奶与奶粉哪样更好奶粉是鲜奶经过浓缩、喷雾、干燥后制成的微细粉粒，其蛋白质、脂肪、无机盐等主要营养成分变化不大，但氨基酸的利用率有所下降，部分维生素和免疫球蛋白等活性物质遭到破坏，尤其是维生素C、B1破坏严重。因此，有条件的情况下，以喝鲜奶更好。但奶粉便于储存、运输、携带，对于野外工作者、偏僻和缺乏冷藏设备的农村居民仍是较好的营养食品。值得一提的是，“奶粉事件”以后，广大消费者选购奶粉时要选择质量信誉度好的品牌和厂家，谨防假冒伪劣产品。牛奶要怎样喝才更营养更健康众所周知牛奶的营养成分很高，矿物质含量也很丰富，最难得的是，牛奶是人体钙的最佳来源，而且钙磷比例非常适当，利于钙的吸收。1、每人每天喝多少牛奶好牛奶作为一种营养价值较高的食品，喝少了难以发挥应有的作用，喝多了则难以消化吸收，所以大家应根据年龄、体力和脑力的消耗量以及自身经济条件来确定每天的饮奶量。一般来说，成年人一天应喝400500毫升，即两瓶牛奶，建议至少要喝250毫升，即一瓶牛奶。经济条件许可最好三瓶即750毫升左右，但不宜超过1000毫升。简单地说，就是“保证一瓶，争取二瓶，最好三瓶，不超四瓶”。2、什么时候喝牛奶好牛奶是一种基础食品，以饭后饮用为宜。一天一瓶以早餐喝为好，一天两瓶以早晚喝为佳，也可根据个人生活习惯在三餐之外的时间喝，但要注意先吃点富含淀粉的食物后再喝，以使牛奶在胃中有较长的停留时间，有利于营养素的全面吸收和利用。简单地理解，就是“早中晚都行，最好饭后饮”。3、喝牛奶对胃有保护作用吗由于牛奶可以在胃黏膜表面形成良好的保护层，所以它可缓解酒精等刺激性食物对胃黏膜的侵蚀，减少胃部疾病的发生。日本早已有喝奶人群胃癌发病率较低的研究报道。相反，饮酒尤其是酗酒会增加内脏器官的负担，诱发或加重胃部疾病的发生或病变。因此，我们还是倡议“多喝奶、少喝酒，最好以奶代酒”。4、鲜奶与奶粉哪样更好奶粉是鲜奶经过浓缩、喷雾、干燥后制成的微细粉粒，其蛋白质、脂肪、无机盐等主要营养成分变化不大，但氨基酸的利用率有所下降，部分维生素和免疫球蛋白等活性物质遭到破坏，尤其是维生素C、B1破坏严重。因此，有条件的情况下，以喝鲜奶更好。但奶粉便于储存、运输、携带，对于野外工作者、偏僻和缺乏冷藏设备的农村居民仍是较好的营养食品。值得一提的是，“奶粉事件”以后，广大消费者选购奶粉时要选择质量信誉度好的品牌和厂家，谨防假冒伪劣产品。水利监理实施细则资料汇总目录1设计文件、图纸审核监理实施细则12工程施工测量监理实施细则33建筑材料质量监理实施细则84原材料及混凝土检测试验监理实施细则115土石方开挖工程监理实施细则176土石方填筑工程监理实施细则247砌石工程监理实施细则298混凝土工程监理实施细则329粘土心墙坝填筑监理实施细则4010堆石坝坝体填筑工程监理实施细则4911隧洞开挖工程监理实施细则5612水工隧洞土建工程监理实施细则6213抛石填筑工程监理实施细则6814防渗墙工程监理实施细则7215高压喷射灌浆防渗墙工程监理实施细则7516水泥灌浆工程监理实施细则7517混凝土沉井监理实施细则7518混凝土灌注桩监理实施细则7519管桩工程监理实施细则7520振冲加密工程监理实施细则7521套井回填工程监理实施细则7522塑料排水工程监理实施细则7523碎石排水垫层工程监理实施细则7524土工布铺设工程监理实施细则7525土工膜铺设工程监理实施细则7526土石坝（堰）填筑料开采施工监理实施细则7527土石坝及施工围堰高喷灌浆工程监理实施细则7528土石围堰工程合成土工织物防渗体施工监理实施细则7529土石围堰工程水下抛填风化砂堰体及淤砂地基振冲加密施工监理实施细则7530预制混凝土工程监理实施细则7531金属结构安装监理实施细则7532水轮发电机组安装监理实施细则7533大坝安全监测项目监理实施细则7534信息管理监理实施细则7535安全施工监理实施细则7536工程质量检测监理实施细则7537工程验收监理实施细则7538水工建筑物岩石地基施工质量验收监理实施细则75设计文件、图纸审核监理实施细则1总则11本细则适用于水利水电工程监理合同规定监理单位对设计文件、图纸负有审核责任的项目。12对施工单位按规定提交的设计图纸和文件，监理单位行使审查权。13未经监理审核批准签发的任何设计文件和图纸，不能作为正式施工的依据，监理工程师有权拒绝支付签证。2设计文件审核的依据21设计使用的规程、规范。22国家颁布的有关技术规程、规范和标准。23施工文件技术条款。24已经审查批准的设计文件和设计委托合同书。3审核程序31监理机构收到发包人批转的设计文件和图纸后，在14天内完成审核工作，并将审核意见上报给建设单位。32施工单位必须在单项工作实施前28天内，提交按照合同规定应由施工单位自行设计（合同规定的项目）的各工程项目的图纸、文件，报监理机构，由监理机构审核后报发包人批准。33监理机构设计文件审核流程监理办公室收到设计文件和图纸并进行登记后，送总监（或副总监）批阅。总监（副总监）批阅后送工程技术部审核。工程监理组安排专人对设计图纸逐项审核，并填写审阅记录单，突出审查结果和处理意见，经监理组长审查签字后报送总监。总监（副总监）对工程监理组报送的审核结果进行复核并上报发包人。4审核的主要内容设计文件和设计图纸审核的主要内容41施工详图与相应项目、部位招标图纸的差异，并进行工程量复核。42开挖类图纸建筑物轮廓线及转角坐标与实际地形的符合程度。43混凝土结构与开挖及金结相互关系是否正确。44钢筋图与混凝土结构图配套关系及钢筋图与钢筋材料表是否对应。45金结、机电图与埋件对应关系图及标识是否有误。46灌浆图及其他图纸细部结构图能否满足施工需要。47图纸标注尺寸、高程、说明是否有误，可否作为施工依据。48结构优化的具体建议。5其他51无论监理工程师是否提出审核意见，其技术责任和存在问题不应由监理单位负责。52有发包人签发的图纸，施工单位应认真研究，领会设计意图和设计要求，按正常程序做好各项施工准备工作。如发现该设计文件图纸尚有某些遗漏、欠缺和问题，则施工单位应在收到图纸或文件后14日内，以书面方式通知监理机构和发包人。监理机构复核后，提请建设单位批转设计单位作出修改和补充。牛奶要怎样喝才更营养更健康众所周知牛奶的营养成分很高，矿物质含量也很丰富，最难得的是，牛奶是人体钙的最佳来源，而且钙磷比例非常适当