小升初数学衔接讲义 第一讲 人类离不开数学 人人都能学会数学

小升初数学衔接讲义本讲义在小学数学和中学数学的联系中起着承上启下的作用。编写本讲义的目的在于1帮助学生梳理小学的数学知识和数学方法。2为学生学习中学数学作必要的准备。本讲义按照如下线索展开内容学习目标知识梳理典例精析过关精练其内容标准是1使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值（人类离不开数学），形成用数学的意识。2使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。3使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心（人人都能学会数学）。4使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯。本讲义可供初一新生在课程起始阶段使用，也可供学生在初一上期的学习过程中使用，更可作为暑假期间小学毕业生的辅导用书以及初一教师的衔接辅导教材。第1讲思法前言数学人类离不开；人人都能学会一、走进数学世界宇宙之大（海王星、流星雨），粒子之微（铍原子、氯化钠晶体结构），火箭之速（火箭），化工之巧（陶瓷），地球之变（陨石坑），生物之谜（青蛙），日用之繁（杯子、表），大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献，让我们共同走进数学世界，去领略一下数学的风采，体会数学的魅力。1大自然的鬼斧神工使几何图形的对称美成了造型艺术、建筑美学的基础。雪花的对称性就是大自然的杰作。晶体（如冰糖）的表面对称极为精巧，并由此内含着深刻的物理性质。在人类赖以生存的建筑群中，小到衣物装饰，大到房屋建筑、路面铺设，几乎处处都有美丽的对称性装饰，古代皇宫中壁画的边饰等无不含有极为壮丽的对称美，以至亡国之君李煜在身受软禁之际，还深情怀恋昔日的“雕阑玉砌应犹在”。2天工造物，每每使人惊叹不已；生物进化提示的规律，有时几个世纪也难以洞悉其中的奥秘。蜂房的构造，大概最令人折服的实例之一。18世纪初，法国学者马拉尔琪实测了蜂房底部菱形，得出令人惊异而有趣得结论拼成蜂房底部的每个菱形的蜡板，钝角都是10928，锐角都是7032。瑞士数学家克尼格经过精心计算，结果更令人震惊建造同样体积且用料最省的蜂房，菱形的两角应是10926与7034，与实测仅差2分。人们对蜜蜂出类拔萃的“建筑术”赞叹万分之余，无人去理会这不起眼的“2分”。不料蜜蜂却不买克尼格的账，冷酷的科学事实后来去判断错方是克尼格。公元1743年，大数学家马克劳林改用数学用表重新计算，得出的结论与马拉尔琪的实测不差分毫。简直不可思议。3人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙飞船航行，任何时候都受到数学的恩惠和影响，到处都体现着人类数学智慧的结晶。在天体运动着的星球遵循四种轨道，人造卫星、行星、彗星等依据运动速度的不同（即79千米/秒、112千米/秒、167千米/秒三种宇宙速度）顺从地运行在圆、椭圆、抛物线及双曲线的轨道中。人造地球卫星要想发射成功，必须达到第一宇宙速度。4人类在进步、社会在发展。随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买卖与批发、存款与保险、股票与债券等，几乎每天都会碰到，而这些经济活动无一能离开数学。5数学是人类最伟大的精神产品之一。每一个数学公式，就是一首诗，公式C2R就是其中一例。司空见惯的图形圆，内含的周长与半径有着异常简洁、和谐的关系，一个传奇的数把她们紧紧相连。天地间有无数个圆，唯有C2R这个纯粹的圆最精致、最完美。这是数学家的智慧与大自然灵气撞击而再生的哲理美，因而人们常用“圆满”比喻十全十美。6比例的数量关系，以其天造地设的美感令人叹为观止。把长为C的线段分为A（较长）、B（较短）两段，使之符合AB0618。这0618是最美、最巧妙的比例，人们称之为“黄金分割”。法国的圣母巴黎院、中国的故宫、埃及的金字塔的构图都融入了“黄金分割”的匠心。二、回顾历程数学伴我们成长1现在让我们进入时空的隧道，回忆我们的成长历程出生学前小学（板书），我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗不妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子，试一试。（共同讨论交流，从具体事例中分析并找出数学信息。）2进入小学，我们正式开始学习数学，回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些3（指定若干名学生口答）师生共同系统归纳（1）数与式数和式的认识、计算、方程、解应用题；（2）图形图形的认识、图形的画法、图形的计算；（3）统计知识。4数学知识的学习，不仅开阔了我们的视野，而且改变了我们的思维方式，使我们变得更加聪明了。发挥一下我们的聪明才智，尝试解决下面的问题例1计算并观察下列三组算式已知2525625，则2426（不要计算）你能举出一个类似的例子吗更一般地，若AAM，则A1A1。例2如图（1）和图（2），毎个小正方形的边长都为1，我们可以将其适当分割后拼成一个大正方形，请你在图中画岀分割线，并分别画出拼接成的大正方形。（1）（2）例3设定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的年利率分别为225，243，27，和288试计算1000元本金分别参加这四种储蓄，到期所得的利息各为多少（国家规定个人储蓄从1999年11月1日起开始征收利息税，征收的税率为利息的20）分析结果，你能发现什么（提示利息本金年利率储存年数）例4在第十届“哈药六杯”全国青年歌手电视大奖赛，8位评委给某选手所评分数如下表，计分方法是去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分，请你算一算该选手的最后得分评委12O345678评分9895979998979498例5某校校长在国庆节带领该校市级“三好学生”外出旅游甲旅行社说“如果校长买一张票，则其余学生可享受半价优惠”乙旅行社说“包括校长在内全部按票价的6折优惠”（即按票价的60收费）现在全票价为240元，学生人数为5人，请算一下哪家旅行社优惠你喜欢哪家旅行社如果是一位校长，两名学生呢例6下面图形中哪些可以一笔画成，哪些不能一笔画成的例7已知有两个大小相等的正方形内紧排着九个等圆和十六个等圆，你认为这两个正方形内空隙哪个大为什么例8某服装店售出甲、乙两件衣服，各得款120元，其中甲种衣服盈利20，乙种衣服亏损20，问这两次买卖盈亏情况例9一商店把某种品牌彩电按标价的八折出售，仍可获利20，（进价的20），已知该品牌彩电每台进价为1998元，求该品牌彩电每台的标价为多少元例10宏达百货商店2011年全年营业额如下第一季度40万元，第二季度35万元，第三季度45万元，第四季度60万元，回答下面问题1这一年平均每季度营业额是多少万元2这一年平均每个月营业额是多少万元3第四季度比第一季度增加百分之几4第三季度的营业额比第四季度少百分之几通过刚才的解题，可以看出同学们都非常聪明，其实不仅我们每个人离不开数学，而且整个人类、整个社会也离不开数学，小结生活中充满了数学，人类离不开数学。学数学，更是为了用数学。应用数学，首先是要有用数学的意识，其次是要学会用数学的方法去看待问题、解决问题。三、过关精练1猜谜语（1）各打数学中常用字千人分在北上下；1人立在口上边（2）打一成语2、4、6、8、10、2下列图形中，阴影部分的面积相等的是3三个连续奇数的和是21，它们的积为4计算72737747775找规律，在括号里填上合适的数11，2，4，5，7，8，10，219，9，17，8，15，7，6只允许添两个“一”、一个“十”和一个括号，不改变数字顺序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字连成结果为100的算式1234567891007把长方形剪去一个角，它可能是几边形8有一个正方形池塘如图，在它的四个角上有四棵大树，现在为了扩大池塘，要把池塘面积扩大一倍，但是，这四棵树不便搬动，也不能使它淹在水里，而且扩大后的池塘还是正方形，这该怎么办呢9在操场上，小华遇到小冯，交谈中顺便问道“你们班有多少学生”小冯说“如果我们班上的学生像孙悟空那样一个能变两个，然后再来这么多学生的，再加上班上学生41的，最后连你也算过去，就该有100个了”那么小冯班上有多少学生4110传说有一个叫巴霍姆的人想到草原上买一快地他问“价钱如何”卖主答“一天1000卢布。”意思是如果你愿出1000卢布，那么你从日出始至日落止，走过的路所围住的土地就归你所有；倘若你在日落之前回不到出发的地方，你的钱就白花了。巴霍姆觉得很合算，于是他就给卖地人1000卢布。第二天，太阳刚刚从地平线露面，他就立即在大草原上狂奔起来。他奔的路线大致如下图。为了不使自己的1000卢布白费，他用尽全身力气，总算在太阳全部消失前的一刹那，赶到了出发地点（A点），可是还没站稳，就口吐鲜血，向前一扑，再也站不起来了。请计算其面积，若保持周长40KM不变，你能设计出面积更大的平面图形吗11计算（246100）（13599）12计算12320032004200332113今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案（只需画简图）14下面有一张某地区的公路分布图，请你找出从A至D的一条最短路线（图中所标最短路线为里程）AB1B2B331010122D3C2C368114579C13115已知等式（1）AAB23，（2）BAB25。如果A和B分别代表一个数，那么AB是（）A2B16C18D1416用如图所示，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形请你画出拼成的图形17计算33311124546918汽车上有男乘客45人，若女乘客人数减少10，恰好与男乘客人数的相35等,汽车上女乘客有多少人19在一个停车场，共有24辆车，其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有多少辆20自然数如下表的规则排列（1）求上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列1251017436111898712191615141320第一章丰富的图形世界第2讲生活中的立体图形一、【学习目标】1能从现实世界中抽象出立体图形；2能区分常见的立体图形，并说明它们的特征；3理解点、线、面体之间的关系二、【知识梳理】1几种常见的几何体（1）说岀下列几何体的名称；并将它们分类点拨分类是数学的一种基本思想方法，在分类时，应注意按同一标准不重不漏地进行，若分类的标准不同，则所分类别也不同（2）面和面相交得到，线与线相交得到（3）点动成，线动成，面动成2有关概念（1）柱体棱柱体如图（12），图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点点拨正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱正方体是特殊的长方体圆柱图（3）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面点拨棱柱和圆柱统称柱体（2）锥体圆锥如图（4）图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点棱锥如图（5）图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面点拨棱锥和圆锥统称锥体（3）台体圆台如图（6）图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台的侧面棱台如图（7）图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面（9）（4）球体如图（8）图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体表面是曲面三、【典例精析】例1下列说法中，正确的是（）柱体的两个底面一样大；圆柱、圆锥的底面都是圆；棱柱的底面是四边形；长方体一定是柱体；正棱柱的侧面一定是长方形A2个B3个C4个D5个例2观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（）ABCD例3一个长方形的长为4，宽为3，分别以它的长、宽所在直线为轴，把长方形旋CMC转一周后，得到不同的圆柱体，分别求出它们的体积例4用数学知识解释一只蚂蚁行走的路线；汽车雨刮器的运动；一个圆沿着它的一条直径旋转例5生活中的物体足球、铅笔、挂衣橱、漏斗、砖块、魔方、西瓜、苹果、六角螺母等类似于哪些几何体例6一个画家把14个边长为1米的正方体摆在地面如图所示，然后他把露出的表面都染上颜色，求染色的面积小结1几何体是由点、线、面构成的；2生活中的点动成线，线动成面，面动成体；3生活中的几何体很多，我们可以把几种常见的几何体进行如下分类圆柱柱体直棱柱（如长方体、正方体、直三棱柱）棱柱斜棱柱常见几何体圆锥锥体棱锥（如三棱锥、四棱锥）球体四、【过关精练】1判断正误（1）棱柱侧面的形状可能是一个三角形（）（2）棱柱的每条棱长都相等（）（3）正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体（）2长方体共有（）个面A8B6C5D43六棱柱共有（）条棱A16B17C18D204下列说法，不正确的是（）A、圆锥和圆柱的底面都是圆B、棱锥底面边数与侧棱数相等C、棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形D、长方体是四棱柱，四棱柱是长方体5下面的几何体是棱柱的是（）ABCD6（1）正方体有个面，个顶点，经过每个顶点有条棱，这些棱的长度（填相同或不同），棱长为的正方体的表面积为ACMCM2（2）长方体有个顶点，条棱，个面（3）五棱柱是由个面围成的，它有个顶点，有条棱（4）一个六棱柱共有条棱，如果六棱柱的底面边长都是2，侧棱长都是4，CM那么它所有棱长的和是（5）如图所示的几何体是由一个正方体截去后而形成的，这个几何体41是由个面围成的，其中正方形有个，长方形有个7将下面的几何体进行分类，并写出简单理由。8至少找出下列几何体的4个共同点。9在正方体的六个面上分别涂上红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，现有涂色方式完全相同的四个正方体，如图拼成一个长方体，请判断涂红、黄、白三种颜色的对面分别涂着哪一种颜色10如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是16，19和20，求这6个整数的和11画出下列图形绕着虚线旋转一周所得到的几何体（1）（2）（3）（4）（5）12写岀N棱柱的顶点数、面数和棱数13如图是一个五棱柱，填空（1）这个棱柱的上下底面是_边形，有_个侧面；（2）这个棱柱有_条侧棱，共有_条棱；（3）这个棱柱共有_个顶点14如图，可用一个正方形制作成一副“七巧板”，利用“七巧板”能拼出各种各样的图案，根据“七巧板”的制作过程，请你解答下列问题“七巧板”的七个图形，可以归纳为三种不同形状的平面图形，即一块正方形，一块_和五块_请按要求将七巧板的七块图形重新拼接（不重叠，并且图形中间不留缝隙），在下面空白处画出示意图拼成一个等腰直角三角形；拼成一个长与宽不等的长方形；拼成一个六边形发挥你的想象力，用七巧板拼成一些图案，在下面空白处画出示意图15十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请观察下列几种简单多面体模型，并解答下列问题（1）完成下表中的空格多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）正四面体正六面体正八面体正十二面体201230正二十面体122030你发现顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在的关系式是（2）通过以下多面体检验你发现的关系式是否正确（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数（4）某个玻璃钸品的外形是简单多面体，它的外壳表面是由三角形和八边形垪接而成，且有24个顶点，毎个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形个X数为个，求的值YXY第3讲展开与折叠一、【学习目标】1能进行图形的分割组合；2会判断正方体的相对面；3能区分几何体的表面展开图，会判断最短路线二、【知识梳理】1圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图2正方体的平面展开图（1）设法将一个正方体展开，需要剪开几条棱几条棱没剪开（2）你能将正方体展开成下列形式吗（3）正方体的展开图有哪些（用边长为1厘米的正方形画）最多4个面连在一起的情况最多3个面连在一起的情况最多2个面连在一起的情况3总结正方体的展开图有种三、【典例精析】例1常见几何体的展开图问题（1）下列展开图中，不能围成几何体的是（）DCBA（2）下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是ABCD例2正方体的展开图问题如下图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面,试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置例3最短距离问题如图1的正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路共有几条最短路线图1图2图3例4如图正五棱柱底面边长都是5，侧棱长为6，回答下列问题它有多少个面哪些面的形状、面积完全相同它有多少条棱长度分别是多少沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，画出示意图，并计算其面积例5有一圆心角为900、半径为8的圆形纸片、用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝14忽略不计），画出示意图，并求圆锥的底面面积四、【过关精练】1如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（）A奥B运C圣D火迎接奥运圣火图1迎接奥123图22如图，下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）ABCD3如下左图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）ABCDDCBA4下图是正方体的表面展开图，如果将其合成原来的正方体（右下图）时，与点P重合的两点应该是（A、S和ZB、T和YC、U和YD、T和V5如下图，哪个是正方体的展开图（）6如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）21世纪教育网7将图（1）中的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到图（2）中的（来源21世纪教育网8从棱柱的折叠过程可以知道（1）棱柱的表面展开图是两个_的多边形作底面，几个_作侧面；2棱柱的底面边数与侧面数_；3棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的_9部分几何体的平面展开图（1）圆柱的表面展开图是_作底面；和_作侧面（2）圆锥的表面展开图是_作底面；和_作侧面10下图所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的11在44的方格中，取适当的相连的5个小正方形可折叠成无盖的正方体盒子，请你在图由中画岀这样的相连的5个正方形，在图中最多能剪折多少个12小华用如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，则符合胶滚涂出的一个正确图案是（）13如下图是一食品包装盒侧面展开图（1）指出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）计算出这个多面体的侧面积（单位）CM14如下图是一张铁皮（1）计算铁皮的面积；（2）它能否做成一个长方体的盒子若能，求出它的体积；若不能，请说明理由第4讲截与看几何体一、【学习目标】1了解用平面截几何体出现的截面形状，体会面与体的转换，提高动手操作能力；2会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图；3会画用若干个小正方体搭成的几何体的三种视图。二、【知识梳理】1用平面截一个几何体出现的截面形状（1）用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况三角形正方形长方形梯形五边形六边形点拨用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形（2）用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况点拨用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面两个底面，一个侧面同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形（3）用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面还有其他截面，初中不予研究（4）用平面去截球体，只能出现一种形状的截面结论正方体的截面可能是圆柱的截面可能是圆锥的截面可能是球的截面是2识别物体的三视图（1）主视图、左视图、俯视图的定义从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主（正）视图，从左面看图叫左（侧）视图，从上面看图叫做俯视图（2）几种几何体的三视图正方体三视图都是球体三视图都是圆柱体主视图是；左视图是；俯视图是。圆锥体主视图是；左视图是；俯视图是。点拨圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆3画出下列组合体的三视图，其中、都是用五个小正方体搭成的几何体（4）结论“长对正”，“高平齐”，“宽相等”4三视图中反应的长、宽、高的特点一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样三、【典例精析】例1用平面截下列几何体，找出相应的截面形状21世纪教育网例2用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码。（1）（2）（3）ABCDE123456A（）；B（）；C（）；D（）；E（）思考用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是_。例3画出下列立方体的三视图点拨注意主视图与俯视图列数相同,左视图的列数与俯视图的行数相同例4根据三视图画出几何体主视图左视图俯视图几何体四、【过关精练】1一个正方体的截面不可能是（）A三角形B梯形C五边形D七边形2有下列几何体（1）圆柱；（2）正方体；（3）棱柱；（4）球；（5）圆锥；（6）长方体。则这些几何体中截面可能是圆的有（）A2种B3种C4种D5种3如图用一个平面去截一个圆柱，则截面形状是（）4正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形5物体的形状如图所示，则此物体的俯视图是（）6在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，这堆货物的三种视图如下主视图左视图俯视图这些正方体货箱的个数为（）A、5B、6C、7D、87用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面是_形8如果用一个平面去截一个几何体，所得任意截面都是圆，则这个几何体是_9用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是_10如果用一个平面截一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面（画图说明）11如图，下列立体图形被一刀切除一部分，写出剩下部分几何体的名称。（1）12如下图，写出所给几何体的三视图的名称。13画出下图（正方体上面放一个圆锥）的三视图。14如图所示，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图。3422315用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示搭建这样的几何体，最多要几个小立方体最少要几个小立方体21世纪教育网主视图俯视图第5讲平面图形与基本的推理一、【学习目标】1能从现实生活中抽象岀平面图形；2能利用多边形进行拼图；3会判断多边形及扇形，并能进行简单的计算；4掌握基本的推理、论证的方法二、【知识梳理】1多边形的定义定义1三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形多边形可分为凸多边形与凹多边形两类，若无特别说明均指凸多边形定义2边长与角都相等的多边形叫正多边形定义3把多边形的一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线2多边形的分割提问从多边形的一个顶点出发的对角线有多少条这些对角线将多边形分割成多少个三角形定理从N边形的一个顶点出发有条对角线，这些对角线又把这个N边33N形分割成个三角形；N边形共有条对角线223扇形与弧的定义及区别1弧圆上叫弧2扇形由和经过所组成的图形叫扇形3扇形与弧的区别弧是一段曲线，而扇形是一个面4推理的依据是学过的定义、公理和定理。推理时一定要做到言必有据（1）定义对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。比如定义1直线上一点和它一旁的部分叫做射线这就是射线的定义；射线可由线段向一方无限延长而得定义2有公共端点的两条射线组成的图形叫做角这就是角的定义。（2）公理被人类长久以来的实践所证实，作为推理依据的事实叫做公理。比如公理1经过两点有且只有一条直线公理2在所有连接两点的线中，线段最短。（3）命题可以判断真假的语句叫命题命题分为“真命题”与“假命题”两类（4）定理用逻辑推理的方法证明为正确的命题叫做定理。比如定理1三角形内角和为180。其证明需要用到平行线的相关性质定理2三角形两边之和大于第三边。其证明需要用到以上公理25为何要推理、论证（1）请量一量、拼一拼，找出规律提问在测量三角形的内角和时，你真能测量得绝对精确、没有一点误差吗在把三多边形三角形四边形五边形N边形线段数三角形个数角形的内角拼接为一个平角时，你真的认为能拼成一个平角吗会不会只是很接近平角呢（2）请摆一摆，找出规律提问在用三根小棍摆三角形时，你发现了两边之和必须要大于第三边。这个结论对所有长度的小棍都成立吗你没有摆的其他长度也是这样吗（3）请看一看，你能得出什么结论图（1）中，线段AB、CD哪一条长图（2）中，线段AB、AC哪一条长图（3）中，两个带阴影的椭圆哪一个大图（4）中，两条直线之间一样宽吗,AB提问你相信“眼见为实”吗再量一量看看总结测量有误差，观察不可靠，唯有推理、论证才信服于人。因此，在学习数学的过程中，一定要养成“讲道理”的习惯。6三角形的外角（1）定义三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角，叫做三角形的外角。（2）定理关于三角形的外角有如下定理定理1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。定理2三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。定理3三角形的外角和为（每个顶点处的外角只取其中一个）。360在中学学习中，同学们一定不能只注重结论，还必须弄清楚其来源和推理过程。三、【典例精析】例1（1）从一个八边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，把八边形分割成多少个三角形八边形的内角和是多少先想一想，再画一画。（2）从多边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形是几边形（3）证明凸边形的内角和是N0218N例2观察图中可爱的小猫，你能看出它是由多少个三角形组成的吗与同们交流你的看法例3用四种以上的方法把一正方形分成面积相等的四块，画岀示意图例4正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如图（1）所示，仿照图示方法解答下列问题（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）如图（3），对任意三角形，设计一种方案将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（1）（2）（3）例5已知如图，D是AB中点，E是AC中点，且ABAC。求证ADAE。例6已知如图，在中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，ABC75H是BE和CF的交点。求的度数。H分析无论解答题还是证明题，其解答或证明过程都是将已知条件和结论联系起来。因此，我们的任务就是将“”与“”联系起来，过程中可能会用到条件BHC75A“BE是AC边上的高，CF是AB边上的高”。点拨有的同学认为只有证明题才需要推理依据，计算题与证明题不同，只要算出得数即可。这个观念是极其错误的，计算题在计算过程中也存在着推理论证，也要求言必有据四、【过关精练】1如图，图中三角形的个数为（）A2B18C19D2021世纪教育网第1题图第2题图2将两个完全相同的三角形，如图，拼在一起成为四边形，使它们有一条相等的边完全重合，则能拼出不同的平面图形（）种A2B4C6D83下列说法中正确说法的个数是（）钝角三角形有两条高在三角形内部；三角形三条高至多有两条不在三角形内部；三角形三条高的交点不是在三角形内部，就是在三角形外部；钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部。A1个B2个C3个D4个4如果三角形三边长分别为、，则的取值范围是（）1AAABCD0A10A2A21A5一个等腰三角形的周长是11，其中一边长是3，则其他两边长是（）A3和5B4和4C3和5或4和4D不能确定6五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为（）A3个B4个C5个D6个7如图，如果OA,OB,OC是圆的三条半径，那么图中有个扇形8如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2012个三角形，那么此多边形的边数为9（1）若在N边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,在将P与N边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形10如图，图中共有个梯形。11平面内有5个点，过毎两个点作直线，则最多可得条直线，最少可得条直线。12平面内三条直线把平面分割成最少块，最多块。13已知扇形弧上连同两个端点共有4个点，将这4点与圆心连接，则共可得个扇形。14已知如下左图，中，OA、OB分别平分、，若，ABCBAC10AOB则；C15已知如上右图，AD、AE分别是的高和角平分线，若，ABC3B，则，；67C12316已知中，垂足为D、E，AD6，BC10，BE8。则ABDEAC的长为_；17（1）在如下左图中，平行移动四根火柴，组成三个全等的正方形。（2）在如下右图中，移走3根火柴，组成6个全等的等边三角形。18用规格11的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图方式辅地板（4）（N）（1）观察图形，填写下表图形（1）（2）（3）黑砖块数黑砖面积（2）推测第N个图形中需要黑色瓷砖的块数和面积；（3）在上述图形中，是否存在一个图形，使所含黑色瓷砖的块数为34若存在，请指出是第几个图形；若不存在，请说明理由19已知如图，中，AE平分。ABCRT90ABCDCAB求证。FE20已知中，D为AB边上一点，且ADAC，ABC求证。第6讲直线、线段、射线、角一、【学习目标】1理解线段、射线、直线的区别与联系；2理解“两点之间线段最短”和“经过两点有且只有一条直线”；3理解角的有关定义、表示方法、会计算角度数和进行简单的换算。二、【知识梳理】1线段直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；线段有两个端点；可以测量长度和比较大小；两点之间线段最短。2射线射线只有一个端点,另一边可以无限延伸；不可测量长度和比较大小。3直线经过两点有且只有一条直线；直线没有端点；可以向两端无限延伸；不可测量长度。点拨线段和射线都是直线的一部分4线段、射线、直线的表示方法一条线段可用表示两个端点的大写字母来表示，如线段AB或BA或一个小写字母表示。一条射线可用端点和射钱上的另一点表示，规定把表示端点的字母写在前面一条直线可用两个大写字母表示，这两个大写字母代表直线上的两个点，如直线AB或BA；另外直线还可用一个小写字母表示。5角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。6角通常有四种表示方法（1）角可以用三个字母及符号“”表示，其中表示顶点的字母写在中间。（2）角可以用一个数字和符号“”表示。（3）角可以用希腊字母（、）和符号“”表示。（4）如果一个角的顶点上只有一个角，那么也可以用这个顶点字母和符号“”表示。7角的度数与换算在测量角时，有时以度为单位还不够，我们需要用比1更小的单位，称之为分和秒，把1的角等分成60份，每一份是1分，记做1，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，记做1“，即1周角360；160；1；160“；1“60601；8角的分类三、【典例精析】例1判断正误（1）直线AB与直线BA是同一条直线；（）（2）射线AB与射线BA是同一条射线；（）（3）线段AB与线段BA是同一条线段；（）（4）线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点（）例2图中给出的直线、射线、线段,根据各自的性质,能相交的是360189900周角平角钝角直角锐角角的分类CADB例3已知A、B、C、D在一条直线上，线段AD6CM，BD2CM，C是线段AD的中点，求线段BC的长度。例4如图作出三角形ABC的三个内角的平分线观察它们是否交于一点，如果交于一点，则交点的位置在哪里例5如图,AOB为一直线，OC、OD、OE是射线，则图中大于0小于180的角有多少个例6如图AOB3540，BOC5030，COD2118，OE平分AOD，求BOE点拨利用图形中的角的位置关系，求出已知角的和差，再利用角的平分线定义求出角的大小。例7如图AC为一条直线，O是AC上一点，OE、OF分别平分AOB和BOC，（1）当AOB120时，求EOF的大小；（2）当OB绕O旋转任意角度时，问EOF的大小发生变化吗你能否用一句话概括出这个命题四、【过关精练】1如右图所示，已知平面上四个点（1）画直线AB；（2）画线段AC；（3）画射线AD、DC、CB；（4）指出图中有_条线段，有_条射线，2已知A、B、C在一条直线上，且线段AB5CM，BC3CM，求线段AC的长3如下图，点C分AB的比为23，点D分AB的比为14，若AB为10CM,则AC_CM；BD_CM；CD_CM4如下图，AOB为平角，且AOCBOC，则BOC的度数是（）21A100B135C120D605计算15732_度_分_秒2271424_度6如下左图AB的长为M，BC的长为N，M、N分别是AB，BC的中点，则MN_7如上右图用“”、“”或“”连接下列各式，并说明理由ABBC_AC；ACBC_AB；BC_ABAC；理由是_8一个人从A点出发向北偏东60的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15方向走到C点，那么ABC的度数是A75B105C45D1359如下图，直线AB、CD相交于O，COE是直角，157，则2_10如下图，点O在直线AC上，画出COB的平分线OD。若AOB55，求AOD的度数11在直线L上任取一点A，截取AB16CM，再截取AC40CM，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离12如下图，OB是AOC的平分线，OD是COE的平分线，若AOC70，COE40,求BOD的度数。13如图，已知ABC中，ABAC4，P是BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，若ABC的面积为6，求PDPE的值。14已知如图，中，AD是角平分线，。ABC40B5C求的度数。D学校班级姓名_七年级新生入学测试数学试题一、填空（24分，每空1分）1、九千零八十万零五十写作（），改写成用“万”作单位的数是（），省略亿后面的尾数约是（）。2、2的分数单位是（），再加上（）个这样的分数单位是最小的合数。573、2小时15分（）小时3公顷（）平方米7254、能同时被2、3、5整除的最小的三位数是（），把它分解质因数是（）。5、20千克比（）千克多比20千克多千克是（）千克1414（）千克比20千克多146、把25克盐溶解在100克水中，盐水的含盐率是（）。7、医生要监测住院病人在一天中的体温变化情况，制作（）统计图合适。8、把米长的钢筋锯成同样长的5小段，每段长（）米，相当于1米的，其中57（）（）两段是全长的。（）（）9、甲、乙、丙三个数的平均数是120，三个数的比是216，则丙数是（）。10、找规律填数1、09、3、5、70、7、06、（）、（）。4511、A23A,B3A7，已知A与B的最大公约数是15，那么A,A与B的最小公倍数是（）。12、一根绳子对折一次比对折两次长20厘米，这根绳子长（