2012年初二数学经典难题及答案

APCDBPCGFBQADE初二数学经典题型1已知如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150求证PBC是正三角形证明如下。首先，PAPD，PADPDA（180150）215，PAB901575。在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则PDQ601575，同样PAQ75，又AQDQ,，PAPD，所以PAQPDQ，那么PQAPQD60230，在PQA中，APQ180307575PAQPAB，于是PQAQAB，显然PAQPAB，得PBAPQA30，PBPQABBC，PBC903060，所以ABC是正三角形。2已知如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证DENF证明连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM又点N为CD的中点,则GNAD/2GNAD,GNMDEM1同理GMBC/2GMBC,GMNCFN2又ADBC,则GNGM,GNMGMN故DEMCFN3、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证点P到边AB的距离等于AB的一半证明分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ（MENF）/2又因为，角0CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB角NBF而角C0B角RT角BNFCBBF所以OCB全等于NBFMEA全等于OAC（同理）所以EMAO，0BNFANFECDMB所以PQAB/24、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证PABPCB过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE因为DP/AE，AD/PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，PDAAEP已知，PDAPBA所以，PBAAEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，PABPEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以PE/AD，且PEAD而，四边形ABCD为平行四边形，所以AD/BC，且ADBC所以，PE/BC，且PEBC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，PEBPCB所以，PABPCB5P为正方形ABCD内的一点，并且PAA，PB2A，PC3A正方形的边长解将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为BAPBCQ所以APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQC因为四边形DCBA是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQCBP90即PBQ90，所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ2BP，BQP45因为PAA，PB2A，PC3A所以PQ22A，CQA，所以CP29A2，PQ2CQ28A2A29A2所以CP2PQ2CQ2，所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作BMPQ则BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22A/22A所以根据勾股定理得AB2AM2BM22AA22A2522A2所以AB522A6一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间T分。求两根水管ACBPDPADCB各自注水的速度。解设小水管进水速度为X，则大水管进水速度为4X。由题意得TV82解之得T5经检验得是原方程解。VX小口径水管速度为，大口径水管速度为。T8TV257如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1），且P（，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于X轴，QB垂直于Y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值解（1）设正比例函数解析式为YKX，将点M（，）坐标代入得12K，所以正比例函数21解析式为12YX同样可得，反比例函数解析式为YX（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为12M，于是214OBSM，而1AP，图11XYBHX2XAOMQP图12XYFX2XBCAOMPQ所以有，214M，解得2所以点Q的坐标为1，和1Q，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就2只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为2N，由勾股定理可得22244ONN，所以当0N即时，O有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与2Q同时取得最小值，所以OQ有最小值2由勾股定理得OP5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PEPB（1）求证PEPD；PEPD；（2）设APX,PBE的面积为Y求出Y关于X的函数关系式，并写出X的取值范围；当X取何值时，Y取得最大值，并求出这个最大值解（1）证法一四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BCDC,BCPDCP45PCPC，PBCPDC（SAS）PBPD，PBCPDC又PBPE，PEPD（I）当点E在线段BC上E与B、C不重合时，PBPE，PBEPEB，PEBPDC，PEBPECPDCPEC180，DPE360BCDPDCPEC90，PEPD）（II）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD（III）当点E在BC的延长线上时，如图ABCDPE12HPECPDC，12，DPEDCE90，PEPD综合（I）（II）（III）,PEPD（2）过点P作PFBC，垂足为F，则BFFEAPX，AC，2PCX，PFFCX21BFFE1FC1X1SPBEBFPF2X2即0XXY411220，A当时，Y最大值2X（1）证法二过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F如图所示四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形GDFCFP，GPAGBF，PGDPFE90又PBPE，BFFE，GPFE，EFPPGD（SAS）PEPD12132390DPE90PEPD（2）APX，BFPG，PF12X2SPBEBFPF1即0XXY12ABCPDEFABCPDEFG12341221XXY0，A当时，Y最大值X49、如图，直线YK1XB与反比例函数YK2X的图象交于A（1，6），B（A，3）两点（1）求K1、K2的值（2）直接写出K1XBK2X0时X的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BCOD，OBCD，OD边在X轴上，过点C作CEOD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说