线性代数习题答案

第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）；（2）381402BAC（3）；（4）22CBAYXY解（1）3810811034824684（2）BACCABCA33（3）221CBA222CBAABC（4）YXYYX33XY223322按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）1324；NN（6）132解（1）逆序数为0（2）逆序数为441，43，42，32（3）逆序数为532，31，42，41,21（4）逆序数为321，41，43（5）逆序数为21N321个52，542个72，74，763个2，4，6，1N1NN个（6）逆序数为321个52，542个2，4，6，1N12NN个421个62，642个2，4，6，个23写出四阶行列式中含有因子的项31A解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于4321PPTAT432P3,12P已固定，只能形如，即1324或1342对应的分别为T或020和为所求43214231A4计算下列各行列式（1）；（2）；71054260531（3）；（4）EFCBFDADCBA10解1710254342C010423434014302321C147209226053124C260531024R041314R0343EFCBFDAECB1ADEAF44DCB102ARDCBA1021230CA231CDAB1DCAB5证明1122BA32BZAYXBAZYXYXZ3303212222222DDCCBBAA44422DCBADBCADCBA51221001AXAXNNNNAXX11证明102132BC左边ABA221右边3B2ZAYXZYXA分开按第一列左边BZAYXZY02BAZ分别再分ZYXBZYXZY33分别再分右边2331ZBYZA322222231DDCCCBBAA左边964122143DDCCBBAAC9642DDCCBBAA分成二项按第二列964122DCBA9496243DCBAC第二项第一项06412DCCBA444442222001ADCAB左边2222211222ADCABDACB00122222ABDABCABD112222CDBCABADCBA5用数学归纳法证明,21212命题成立时当XXDN假设对于阶行列式命题成立，即1N,122NNAXXAD列展开按第则11001XXNN右边NAD1所以，对于阶行列式命题成立6设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依DETIJAD90副对角线翻转，依次得，NNA11112NNA113ADNN证明DD322,证明DETIJNNNNNAA2211111NNNNA331211NNN1121DN221同理可证NNAD112DNTN211NN12121237计算下列各行列式（）阶行列式为K1,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；ADN1A2XAXN311111NAADNNN提示利用范德蒙德行列式的结果4NNNNDCBAD0125JIAJIJ其中,DET6,NNAD1121021NA其中解1AADN00100按最后一行展开1100100NNAA12NNA再按第一行展开NNNA212N12A2将第一行乘分别加到其余各行，得AXXAAAXDN00再将各列都加到第一列上，得AXANDN00111AXXN3从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第NN行经次对换换到第2行，经次行2交换，得NNNNAAD1111112此行列式为范德蒙德行列式12111JINNJI12121121JINNNJIN1JIN4NNNNNDCBAD00012NNDCDBAA00011111展开按第一行001111112CDCBABNNN22NNDCBDA都按最后一行展开由此得递推公式22NND即IIICBDA2而111C得NIIICBDAD125JIAJ043213310221130DETNNNADIJN,321R043211NN,1432C1524321001NNN21NN6NNAAD1121,43321CNNAAA10000014321展开（由下往上）按最后一列1121NNANNAA000002432NAA00001321NAAA001432NNNAA3223212121IA8用克莱姆法则解下列方程组0123,254,14332XX15,06,16524321XX解11231D812073145084120512053451D1205391203952309512030461142081203512D81073319052480942610352D42013241,3,432DXXDXX2510605D展开按最后一行61055DD53946514,1的余子式中为行列式AD,1的余子式中为AD类推D5106011展开按第一列65104D4397510652展开按第二列510660354185106013D展开按第三列5106606734951060154D展开按第四列610506153910561105D展开按最后一列D1056216565396576546744321XXXX9有非零解齐次线性方程组取何值时问,0231解，123D齐次线性方程组有非零解，则03D即得1或不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解,0时或10齐次线性方程组取何值时问,01324312XX有非零解解13241D1024332123齐次线性方程组有非零解，则0D得,或不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解或第二章矩阵及其运算1已知线性变换,325,132YYX求从变量到变量的线性变换,321解由已知23215YX故32121XY3214769Y32134769X2已知两个线性变换,54,3213YX,32,312ZY求从到的线性变换3,ZX解由已知21321540YX3210254Z321610942Z所以有32132ZZX3设,A,150423B求2BT及解31504231192650829407150231BAT06584计算下列乘积123127053123,2,1420435321231321,XAX630130解112705341027534496521323231614420415087531231321XAX323132321XAXAA321X1321X630230129034255设,，问AB1吗2吗223吗解1,31A210B则6483ABA25222914但22BA430128614327516故23059而2BA43148782故2BA6举反列说明下列命题是错误的（）若,则02（）若,则或E（）若,且,则YAXYX解1取,但102A2取,但且0EA3取11X10Y且但AYXY7设,求10KA,32解10233A利用数学归纳法证明10K当时,显然成立,假设时成立,则时1K10由数学归纳法原理知10KA8设,求01解首先观察01012A220132323由此推测KKKA0121用数学归纳法证明当时,显然成立2假设时成立，则时，K1010211KKA11102KKK由数学归纳法原理知KKKA0219设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵B,NABT证明已知T则AT从而也是对称矩阵10设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是,NB证明由已知TBT充分性AAT即是对称矩阵必要性TT11求下列矩阵的逆矩阵1；2；3521COSSINI1452345412032538016NAA0021N解1521AA1,2,21A21故5A2故存在01COSSINSINCOS2221A从而COI13,故存在A0243111A而632243故1176441203A04323413AA68112403212A12402143A1251421523530624A0734A1故4125810362A5故存在01而041311A52222A30338434414从而85026NAAA21由对角矩阵的性质知NA1001212解下列矩阵方程121264315X2341102X30340213410X解1264351645382321104X0312343258311004X2103422136244101030X1021424313利用逆矩阵解下列线性方程组12353,21X0523,131X解1方程组可表示为52132X故013251132X从而有3212方程组可表示为0125213X故3121X故有0532114设为正整数,证明OAK121KAE证明一方面，E另一方面，由有K112KKA12K故1AE两端同时右乘E就有12K15设方阵满足,证明及都可逆,并求及O2A21A1证明由得AE2两端同时取行列式2即,故E0所以可逆,而2故也可逆2A2由OA2E111又由E2423243112432EAEA416设,求3210B2解由可得ABAE故E132102031013217设,其中,求AP140A解故所以1P1PA33而1112020故34411A684273118设次多项式,记MMXAXAF210AAE20称为方阵的次多项式F1设,证明,21KK210021FF2设,证明,PAPP证明1I利用数学归纳法当时21212021命题成立,假设时成立,则时K212110K1210K故命题成立II左边MAAEF10MAA21210001MMA2210111右边02F2I利用数学归纳法当时K成立1212PPA假设时成立,则时K成立,故命题成立,1K即1KII证明右边F1210PAAEPM121PM左边AA2F19设阶矩阵的伴随矩阵为，证明N1若,则021证明1用反证法证明假设则有0AE1由此得OE1A这与矛盾，故当时0有A2由于,则1A取行列式得到N若则01若由1知此时命题也成立A0故有1N20取,验证10DCBDCBA检验DCBA1011024102而1故CBA21设,求及2034O84A解，令2034A341202则21O故8218A821O68110464421425O22设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求NASB1A解将分块为1O4321C其中为矩阵,为矩阵1CSS为矩阵,为矩阵3N则BAS4321ESNO由此得到1221114433BCEBOAASN存在存在故O1第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵1234012174032341243025347320821解10113R0023R23110332R10312R21740132R3012213R05312430253114312R105063845432R2102432R002434732081241R187294143178R4102321R00432002在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式有没有等于0的阶R1RR子式解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式例如，01同时存在等于0的3阶子式和2阶子式3R3从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样ABA解设，且的某个阶子式矩阵是由矩阵划去一行得RBR0DRA到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，R0DR故而R4求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,01,解设为五维向量,且,5321,则所求方阵可为秩为4,不妨设0,2,5432A取0,55443X154故满足条件的一个方阵为00105求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式12；431128150732330231857解141R24320156021213R005623秩为R二阶子式42815073223152731094712R20059174323秩为R二阶子式3023185743241R023045671秩为3132R02310673412R017三阶子式72850238576求解下列齐次线性方程组12022,4321XX05105,363242XX340742,63,5431XX0327,6,74413XX解1对系数矩阵实施行变换即得21341043421X故方程组的解为1344321KX2对系数矩阵实施行变换即得51053632012432410X故方程组的解为1021432KX3对系数矩阵实施行变换即得74216351004321X故方程组的解为04321X4对系数矩阵实施行变换31276475300172931即得43423179XXX故方程组的解为10721391432KX7求解下列非齐次线性方程组12831,1023X694,132835,4ZYXZ3412,4WZY253,4WZ解1对系数的增广矩阵施行行变换,有60418380312而,故方程组无解ARB2对系数的增广矩阵施行行变换69143283540021即得亦即ZYX21KZYX3对系数的增广矩阵施行行变换1122400即得即0WZYX021012KWZYX4对系数的增广矩阵施行行变换007591234253412100796即得即WZYZX75961075619107521KWZYX8取何值时,非齐次线性方程组2321321,1X1有唯一解；2无解；3有无穷多个解解1,即时方程组有唯一解0,12BRA21B21210由,02得时,方程组无解3,由,3BRA02得时,方程组有无穷多个解19非齐次线性方程组2321321,X当取何值时有解并求出它的解解21031221B方程组有解，须得0,当时,方程组解为132KX当时,方程组解为2023210设,1542,321XX问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解时求解解15422列2420011当,即且时，有唯一解A210当且，即时，无解0141当且，即时，有无穷多解此时，增广矩阵为02原方程组的解为112321KXRK21,11试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵12325112031解（1）1041023201210971321036710故逆矩阵为210367210120310132059420143201310624310310623102011062310401故逆矩阵为1062314121设,求使32,34BAXBA2设,求使1,4120解113224BA列41235042501X21321BA列47120471X第四章向量组的线性相关性1设,TTTVVV04,3,1,0,1,2求及21V321V解TT1,0,T,321T0,432,12,31T,02设其中,5321AAT5,1,求A5,43解由整理得63211,40,2,61TTTT4,3举例说明下列各命题是错误的1若向量组是线性相关的,则可由线性表示MA,211A,2M2若有不全为0的数使011MBA成立,则线性相关,亦线性相关,3若只有当全为0时,等式M2111才能成立,则线性无关,亦线性无关A,MB,4若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,使M,21011MBA同时成立解1设,0,1E32AA满足线性相关,但不能由线性表示M,1,2M2有不全为零的数使,201B原式可化为01MBABA取MEEE,221其中为单位向量,则上式成立,而M,均线性相关13由仅当01BA01M线性无关MBA,2取02取为线性无关组MB,1满足以上条件,但不能说是线性无关的A,214TA0,1T,2TB3,01T4,2与题设矛盾21214B014设,证明向量组144332,ABAA线性相关4321,证明设有使得431,X则0BBX01443221AXAAA432141若线性相关,则存在不全为零的数,43,2,K1XK2XK3K4由不全为零,知不全为零,即线性相2,21,431,B关2若线性无关,则0104321X4321,A43214X由知此齐次方程存在非零解010则线性相关4321,B综合得证5设,且向量组RRAABA212121,线性无关,证明向量组线性无关RA,21R,证明设则0RKBKPRPRK2210RA因向量组线性无关,故RA,201RRK01021RK因为故方程组只有零解0101则所以线性无关21RKKRB,216利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组124820351971401325解148203597132R530275234R001所以第1、2、3列构成一个最大无关组2140135142R2015，432R0025所以第1、2、3列构成一个最大无关组7求下列向量组的秩,并求一个最大无关组1,41A0928243A2,3,1T65,12T7,4313T解1线性相关3由824109321TA032194秩为2,一组最大线性无关组为1,A274316532TA10508920189秩为2,最大线性无关组为TA21,8设是一组维向量,已知维单位坐标向量能NA,21NNE,21由它们线性表示,证明线性无关21证明维单位向量线性无关E,不妨设NNNNAKAKE21221211所以TNTNTNTAKKE212112两边取行列式，得由TNTNTNAKKE2121212021TNAE即维向量组所构成矩阵的秩为A,故线性无关,29设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件N,1是任一维向量都可由它们线性表示证明设为一组维单位向量，对于任意维向量2N则有即任一维向量都TNKA,1KKA21可由单位向量线性表示线性无关，且能由单位向量线性表示，即必要性,2NA,NNNNKK21221211故NTTNTNTKKA212112两边取行列式，得TNNTNKKA212121由00212112NNTNKKA令则NNNKKA211由TNTTNTTNTAAA2121221即都能由线性表示，因为任一维向量能由单,21,21位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示NA,21已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组充分性N,21可由线性表示，由8题知线性无关N,21NA,21N,2110设向量组的秩为,向量组的秩AS1RBTB2R向量组的秩,证明CBA,212133MXR证明设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数B,CA,秩分别为,则分别与等价,易知均可由21RC,C线性表示,则秩秩,秩秩，即321MAXR设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,ADB即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩秩,CDCDCD为阶矩阵，所以秩即21R21R213R11证明BRAR证明设TNA,21TNB,21且行向量组的最大无关组分别为BA,RT,TS,21显然,存在矩阵,使得,TSTTNTA2121TSNBB21TNBABA21TSTTSA2121因此BRR12设向量组能由向量组线性表示为R,1SA,1，KS,1其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条KSA件是矩阵的秩证明若组线性无关B令则有,11SRABAB由定理知MINRR由组线性无关知，故R,2RRK又知为阶矩阵则KS,K由于向量组能由向量组线性表示,则RB,1SA,21S,IN综上所述知即R若KR令,其中为实数021RXBXIR,则有,1R又,则KABSR,110,11RSXA由于线性无关,所以SA,21021RXK即（1）02122121RSSSRRRRXKXKKXK由于则1式等价于下列方程组KR021221RRRRXKXK由于2112RRRKK所以方程组只有零解所以线性无关,021RXXRB,21证毕13设0,211211NNTNXXRV满足12XX满足问是不是向量空间为什么1,证明集合成为向量空间只需满足条件若，则V若，则RV,是向量空间，因为10,212NTNT,21且1N故0212N1V,21R故1N不是向量空间，因为2V21N故21212N2V,1R1N故当时，2V14试证由所生成的向量空间就TTTAAA0,1,0,031是3证明设32A01,321A0211于是故线性无关由于均为三维,且秩为3,R321,A所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间321,321就是15由所生成的向量空间记作,由,0,0,21TTA1V所生成的向量空间记作,试证B22V证明设RKAKX1211,2,任取中一向量,可写成,要证,从而得1AK21V由得2121212123KK上式中,把看成已知数,把看成未知数,有唯一解01D212V同理可证102D故2116验证为的一个基,并把TTTAAA2,13,1,0,23R用这个基线性表示VV3897,521解由于062301,321A即矩阵的秩为3,故线性无关，则为的一个基321,R设，则2AKAKV7305321132故32AV设，则132389231K故线性表示为1AV17求下列齐次线性方程组的基础解系12026835424321XX0367824532421XX31NN解10026835初等行变换A所以原方程组等价于4321XX取得,43X0,21取得0因此基础解系为40,312200197421367824532初等行变换A所以原方程组等价于4321197XX取得,43X0,1取得902因此基础解系为1907,213原方程组即为1NNXX取得,132取得041NN取得,221NN2所以基础解系为210,121NN18设,求一个矩阵,使,且82593A24B0ABR解由于,所以可设则由243210X可得001825934321XAB,解此非齐次线性方程组可得唯一解5928023141X，故所求矩阵2154321X2150B19求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为TT0,13,011解显然原方程组的通解为,01231432KXR2,即消去得142321KX21,K此即所求的齐次线性方程组043120设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它321,的三个解向量且，543214321求该方程组的通解解由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性1RN方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由32,非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解654322121321为其基础解系向量，故此方程组的通解，5436KXRK21设都是阶方阵，且，证明BA,N0ABNB证明设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量1R2R都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量1当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,R10，结论成立02212当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而N1RN的列向量组的秩,即,此时,结论成立。R1R2综上,BRA22设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明2EN提示利用题11及题21的结论证明02A所以由21题所证可知N又RA由11题所证可知NERER由此23求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系123235,1254321XX624,13431XX解1080初等行变换B01,238200217916124351初等行变换B20,79,0124设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐BAXRN,1次线性方程组的一个基础解系,证明1线性无关；RN,12线性无关。RN证明1反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数,1使得下式成立RNC1001RN1其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的,产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得RN1BCAAR000而由1式可得10RNC故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得B产生矛盾,假设不成立,故线性无关R,2反证法,假使线性相关N,1则存在着不全为零的数使得下式成立R,0（2）010RC即1RNRNCC1若,由于是线性无关的一组基础解,2系,故,由2式得此时010R0与假设矛盾RN3若由题1知,线性无关,故RN,1与假设矛盾,2110RNRC综上,假设不成立,原命题得证25设是非齐次线性方程组的个解，为实数，S,1BAXSSK,1满足证明2SKK也是它的解SX证明由于是非齐次线性方程组的个解S,1故有,1SIBAI而SSAKKAKK2121S即（）XS21从而也是方程的解26设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它BR11,RN的个线性无关的解由题24知它确有个线性无关的1RNN解试证它的任一解可表示为（其中）12RNKKX11RK证明设为的任一解A由题设知线性无关且均为的解11,RBAX取，则它的均为的1322,RNRBAX解用反证法证线性无关RN,1反设它们线性相关，则存在不全为零的数使得RNLL,2102RNLL即11321亦即0132RNRNL由线性无关知2,R0211RNLLLL矛盾，故假设不对线性无关，为的一组基RN,2BAX由于均为的解，所以为的解可由1XB11X线性表出R,RNKK23211131RNR0321RNRKX令则32NR,证毕1RKK第五章相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化1；93142,32A201,321解1根据施密特正交化方法令，11AB，0,122B，123,2133AAB故正交化后得310,321B2根据施密特正交化方法令101AB123,122BAB435,23133BABAB故正交化后得5431201,321B2下列矩阵是不是正交阵12123197418解1第一个行向量非单位向量,故不是正交阵2该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵ABNAB证明因为是阶正交阵，故，,T1T1ETT故也是正交阵4求下列矩阵的特征值和特征向量123216320,1212AANN并问它们的特征向量是否两两正交解13421EA故的特征值为3,1当时,解方程,由210X得基础解系11P所以是对应于的全部特征值向量01KP21当时,解方程,由3203XEA得基础解系12所以是对应于的全部特征向量02KP3021,11T故不正交2291632EA故的特征值为9,1,021当时，解方程，由1X得基础解系01326312A1P故是对应于的全部特征值向量01KP1当时,解方程，由2XEA得基础解系03273EA012P故是对应于的全部特征值向量02KP12当时，解方程，由939XEA得基础解系021382EA1213P故是对应于的全部特征值向量03KP93，01,2121T，012,3232PT，012,3131PT所以两两正交321,322122111NNNNAAEA2,NIAA1222103N当时，NI1EA21212122312123NNNNNNAAAA初等行变换00011NA取为自由未知量，并令，设NXNX12,NAX故基础解系为NAP21当时，03222122110NNNAAEA00初等行变换可得基础解系11231220,0,AAPAPN综上所述可知原矩阵的特征向量为112210,AAPNN5设方阵与相似，求24XA405YYX,解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即E1241X405Y5Y6设都是阶方阵，且，证明与相似BA,N0ABA证明则可逆0则与相似117设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依1,32次为，21P123P求A解根据特征向量的性质知可逆,32得3211321,PP可得12132321,PA得028设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为A,求11TP解设6534231XA由，知165342313是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，AEA故利用可推出365354265354232XXX秩为1则存在实的使得成立BA,1,65342BA由解得1432XX得41A9试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵12020542解110EA21故得特征值为4,