《信号与系统》-第五章-拉普拉斯变换

第五章拉普拉斯变换51定义、存在性（信号与系统第二版（郑君里）42）问题的提出信号的傅里叶变换存在要求，但有些信号不绝FT1L,FT对可积，例如。当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函1SGNL数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。|0LIMSGN0TTEFF，因此，便考虑将纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。T为使问题简化，仅考虑T0的情形，即因果信号、单边变换。对因果信号，FUJJ00DDTTTTEFEFTEFSTL（51）定义信号的（单边）拉普拉斯变换为FT0DJSTFSFTFE，L（52）JJ012TTTFEE令，为常数，JSDJSJJ12TFTFEJ1D2STFTSFEL（53）（42）式和（43）式是一对拉普拉斯变换式，称为原函数，FT称为像函数。FS定义（指数阶函数）指分段连续（存在有限个第一类间断点），FT且，使，对。0MT，0TMETT注。0OTFTE存在。FSS命题指数阶信号的拉氏变换存在。证明，对0TFTME0TT00DDDSTSTSTTSFFEFETSTSTTFE0TTFE0000DTMAMEA注1）为非指数阶信号。23,TET2）为指数阶信号，其中为多项式。TPPT3）为收敛坐标，过垂直于轴的垂线为收敛轴，为收敛000域（已知收敛域）。4）指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准，并指定了收敛轴。在收敛轴右边拉氏变换收敛，并不意味着其左边一定不收敛。图51例1FTU即收敛001TEMT，01D|STSTETL（54）例2负指数信号001D|STTTSEES（55）例3幂次信号10DNNSTNTETLL（56）N0，UTN1，2S（57）NN，1NNTL（58）积分下限当在处是第一类间断点时，亦有FT00DSTFSFTFE0STSTFE（59）但是，此时，。因此，在用拉氏变换方0|TF0|TT法解微分方程时，积分下限宜取零负，以便于处理初值问题，豁免从零负求零正之苦难。后续讨论拉氏变换微分性质，即可进一步理解此良苦用心52性质（信号与系统第二版（郑君里）43）代数性质线性11NNIIIFTFTLL（510）卷积1212FTFS（511）图52像卷积（S域卷积）1212JDFTFSZSZL（512）乘2FT1FT12FT图53拓扑性质（微/积分性质）微分此处容易混淆，各版本书叙述不一样，务必提高警惕00TTFSFFL（513）证明DFT00D0|STSTSTFEFEFFEF注1由（59）式易知，上式兰色项相等；因此，只需式中红色的零负与零正分别对应即可，而不管信号在零点是否有跳变注2对于因果信号，有，则。三FPFTSLPJS者在三个域中的作用等价，即PJFTSF（514）推广2PFTFTLL0SF2SFF（515）特别地，当时，有10,0NFPNFTSF（516）积分T11D0PFFTFSFLL（517）01FF证明（法一）00DPTFTFFLL10TFUTF0DTS第二项0DTSTFE0011DTSSTFFES1FS1PFTFFSL证明（法二）T0T0DDFFFUTT1D0TSFFFSLL（）证毕1由卷积拉氏变换性质有，且，则像微分（S域微分）PDTFS（518）像积分S1FTFZL（519）证明SS0DDZTFZEFZTSFT011DTFEFTL其他性质平移（延时）000STFTUTEFTLL（520）图54像平移（调制）TFEFSL（521）例已知，则有1UTS00JJ01CO2TTTTUTELL200012JJSS（522）相似（尺度变换）1,SFATFAL（523）初值定理若存在，存在，则FTFTL0LIMLITSF（524）证明110DSTTSFFFFEL0LIMLIDLIM0STSTSSETMSFF注1，半径无穷大的圆上所有点RS平面无穷远，点极黎曼球面的北极。N，四点除外。2AE,所以，两点除外。0,STSEA当时，N北极J图55注2若在T0处有跳变，可有F0FF0000DDSTSTSTTTSTSFFEEFEFEL取极限有0LIMLIMDSTSSFFE即0FF注3若在T0有冲激，则1FTKTF，1FSKS10LISF终值定理若存在，存在，在除FTFSLFTLS原点外的（右半闭平面）解析（相当与实变函数的光滑），则R0LIMLITSF（525）证明10DSTSFFFE0LILISTSS0DFFTF注1）应用图56希望输出能够再现输入，即LIM0TYVTE为稳态误差系统误差。00LIMLI1SSVEEWS2）（慢变信号）J0，必然3）图57定理的条件在除原点外的解析。SFR，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。020COSUTT，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。002SINTTS，右半平面有一极点，不满足定理条件。1TEU，53拉普拉斯逆变换（信号与系统第二版（郑君里）44）极点、零点NSFSFTDL的极点；当与互素时，即的零点。IIPFDIPS的零点；当与互素时，即的零点。FS0IIZNIZN已知，求FT，（最右边极J1D2STFTSFEL0MAXREIP点）图58J1DDD2RRSTSTSTCCFTFEEFEJSTSTR1D2JSTCFEESISTPIUT（526）注1），左半平面；RC，2）充要条件1D02JRSTCFE（527）3），若，则（527）式成立；NSFDDEGD4）是全纯（解析）函数；STE5）当不是有理函数时，需考察。1D02JSTCRFE感兴趣者可自行研究。6）当为的一阶极点，IPFS0INSSPDREIIPTSTIFEUT（528）7）当为的R阶极点，IPFS0RINSPS1DREIIRRPTSTIPFEUTS（529）8），NSFDEGDQ，0SCS0S00DEGND00QIIND00RESIQISTIIPFTCTUT（530）例（书例412），求。321SFFT解01RESRESTSTFT23102D1STSTE2TTTEU部分分式展开，NSFDDEGD11RRNSSPP阶，一阶1RN11IIIIRCFSSPP，REIIIISSPF1,RN1111RRSPS，I1,2,R111DRIRISPCI111IRNPTTIIIRCFTEUCEU（531）54系统函数（信号与系统第二版（郑君里）46，47）问题的提出输入，求VT,IOTYT输入，求I图59输入/输出图510为系统的冲击响应HT系统函数HSHTL（532）图511YSHXS零状态响应11YTL（533）系统的几种描述形式图512PYTHXTSHLYXS，收敛域P|SHS形式DT注若写为，则表示微分算子；YTXT但不能写作。YS系统的多种输入输出描述冲击响应系统算子系统函数微分方程描述HTPHS零状态响应零状态响应非零状态响应零、极点与的波形特征HST，与互素，NDDEGND11RRNSSPP11RNIIIIRCSPSP11IRNTTIIIRHTHSEUL（534）注1）线性无关，与极点有关，称为模态。11,NRPTPTTPTTREE2）决定于的零极点分布。11,RNCCS3）是的实系数有理函数，对于中的共轭对HSIP，10210JJPAPA、1212CC系数与也是共轭的，不失一般性，0SINATKEUT与共同产生的输出具有的形式。4）对，若，模态渐近于0，HSILPREIPITP是一阶极点，模态单调渐近于0IIT是重极点，模态当时单调渐近于011PTMET5）若，即极点在虚轴上，有两种情况RE0IP图513虚轴上的共轭极点对应单边正弦1002SINTUSL原点处的单重极点对应单位阶跃1T一阶，模态等幅；JIP0SINTU二阶，模态线性增幅I高阶，模态非线性增幅。JI6）若，模态发散。IRPRE0IP图514重要结论虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的，起支配作用。零极分布与响应YSHVS图515RESRESIJSTSTZSHPVPIJYTYY极点极点自由响应强迫响应零输入响应自由响应，与极点有关，与零点无关；SHS瞬态响应在上极点贡献渐近于0，YSLT稳态响应在上极点贡献R快变响应远离虚轴极点贡献慢变响应虚轴附近极点贡献55线性定常系统频率响应（信号与系统第二版（郑君里）48）正弦稳态响应、特征函数图51600J00RESRES1ISTSTZSPHPISTJYTYYJHJ极点因此，称为正弦稳态响应。JTSYTE00J0JJ|SJTSYTHE00JJTSTYTTEEH（535）注1）对矩阵，为特征向量，为属于ANR，的特征根。对应（535）式有为特征函数，为系统针对输入特0JTE0JH征函数的特征根谱。2）0COSVTAT00JSYTH（536）0SINVTT00JSYTA（537）频率响应特性系统输出稳态响应随输入信号频率变化的特性。当跑遍时，即系统的频率响应（谱）。0,JHBIBO稳定0，JJHE其中，为系统的幅频特性（响应），幅度谱；为系统的相频特性（响应），相位谱。BIBO稳定系统的传递函数等价性系统BIBO稳定DLHTHS极点（538）此时，JJ|STHF反例（积分器）TFDFUTH积分器的单位冲激响应为1HSTD图517J1|JSH而，因此两者不等。1JFHT确定频率特性的几何方法1MJJNIIKSZNSHDPBIBO稳定在平面，沿轴从SJJJH图518IJ11JJJKMMKKKNNIIIKZNEHPM1I1JJJ1MKNKNIIKNEHE1JMKNIIKNMI1MNJJ（539）注差矢量是与正实轴的夹角逆时针为正，顺时针为负。例考虑图518的情况，IJJKNEHKMJJHK；J02J02例一阶RC低通、高通与带通系统（参见郑老师教材）。56BIBO稳定性（信号与系统第二版（郑君里）411）系统稳定性零状态稳定性输入输出，外部稳定性，BIBO稳定；零输入稳定性内部稳定性，李亚谱诺夫稳定性。BIBO稳定性定义零状态系统T是BIBO稳定的对任一有界输入，其输出均有界。即对，恒有，L,VTABTL,YTVTAB即，。SUPTSUPTY图519注1）此定义是普适的（不要求系统是线性的）2）系统在零状态BIBO稳定；系统在非零状态未必BIBO稳定。例图520零状态BIBO稳定，负电容指数增长放电（数学上），1CF非零状态非BIBO稳定。定理零状态线性系统BIBO稳定,DHTT，（540）证明充分性设,SUP,D,TMHTMT对任意输入，VTVN有SUPS,TTYTYH,DTVSSUPTTNM必要性已知零状态线性系统BIBO稳定，反设，取,DHTSGN,1VTHTVT但SUP,DTYHTT于是反设不成立，必要性成立。定理线性定常时不变BIBO稳定，即DHT1L,HT的极点，且HSLIPLDEGNDD，（541）注1）若，即有微分算子，则系统非BIBO稳定。DEG2）稳定信号。1L,FTFT3）临界稳定不是BIBO稳定的。临界稳定的概念以后再讲。定理若，12,HTVT，则LYT（542）图521证明依定理条件，令，DHTN2DVTMYTV12T（CS不等式）12DDHHVT1122NVTDDYTHTT2VHNMN57全通系统/最小相移系统（信号与系统第二版（郑君里）410）全通系统定义为全通系统（函数）HS1BIOJHK）系统稳定2）（543）注）零点与极点（关于虚轴）镜像对称JK极点，零点，ILPIRZIIP1NIISZHJS平面JPIZIO图5222）全通系统的是的单调减函数0零点IZ3/2/2极点IP，0，0，4N个零、极点2N0的零极点分布有三种情况HS（1）是实系数有理分式，则零点、极点均成对出现，构成共轭对（2）实轴上的单个零极点（3）非实系数有理分式，单个零极点最小相移系统定义为最小相移系统（函数）HS1）的任意极点ILP2）的任意零点SILZ若任意零点，则为严格最小相移系统。ILZ对幅度相同的系统，最小相移系统相移最小。图523定理任意BIBO稳定的线性定常系统都可由一个全通系统与一个最小相移系统级联构成。证明设BIBO稳定，共有个右半开平面零点，HSM1,MRZ1MIISSZ11MIMIISSZ（544）其中，为最小相移系统，为BIBO稳定1MIIH1IISZ的全通系统。相位延迟与群延迟相位延迟单频率（正弦）信号通过系统时产生的延时。信号通过系统，若输出为，0COSXTT000COSCOSYTTT即产生了相移，则相位延迟为，即由于相位差而产生的延迟。0T一般地，信号通过系统，输出稳态响应为CSXTJHSE，相位延迟为。当时，若JCOSYTHTDT0，则信号通过系统产生延迟，若，则信号通过系统产生超前。00在处，系统的附加相移所产生的延迟为，是在处的线性11T1斜率；在处，系统的附加相移所产生的延迟为，是