《线性代数》-习题3和习题4

习题三1解下列线性方程组1）；2）；23412347XX1234512341XX3）。12341670XX解1）解为；2）解为（为自由未知数）；123487X15234501XX5X3）。124/38/X2讨论，取什么值时，下列方程组有解。AB1）；2）。1233XX1234AXB解1）由于系数行列式，所以当时，211330,1由克莱姆法则可知方程组有解。当时，增广矩阵为，方程组03120312003无解；当时，增广矩阵为，方程1412012763组无解。2）由于系数行列式，所以当且时，由克莱112ABA0B1A姆法则可知方程组有解。当时，增广矩阵为，方程组无0B441031031解。当时，增广矩阵为。故当1A4213021BB时方程组有解，当时方程组无解。,2B,A3证明方程组1213451XAX有解的充分必要条件是。123450AA证明方程组的增广矩阵为112233445125111100AAAA，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是。123450AA4判断下列方程组解的存在性1）；2）。12321233XABCDXX231231XAXBCC解1）方程组的增广矩阵为。当不等于，2233ABDCA，中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当BC等于，中某一数时，方程组有解。DA2）方程组的增广矩阵为。当，互不相同时，231ABCABC系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当，有某两个相等时，或，全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或ABC2，方程组有无穷个解。5设有齐次线性方程组，。12120NNXXBAB,0,2ABN讨论方程组何时仅有零解何时有无穷多解解方程组系数矩阵的行列式。当1NABANB时，即时，方程组仅有零解；当10NANB,1BAN时，方程组有无穷多解。,1提高题1证明线性方程组有解的充分必要条件是121NMMAYAYB的解全是的解。1210NMNAXXA10MBX证明1）若方程组有解，设是方121NMMYAYB12,MK程组的解。则，从而1210NMNAXAX110MNNKAK。1111MMBKKYY2）若的解全是的解，210NMNAXAX10BX即与同解，所1210NMNAXAX121120MNNMXAXBB以矩阵与矩阵的秩相等。而它们的转置121NMMAA112NMMNABB即为方程组的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩121NMMAYAY阵与原矩阵的秩相等，所以方程组有解。121NMMAYAYB2已知平面上三条不同直线的方程分别为，1L230AXBYC2L30BXCYA。3C证明这三条直线交于一点的充分必要条件为。0A证明1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行列式，故22236ABCABCBCA。0BC2）若，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。A又，所以系数矩阵的秩为2。从而221304BAB方程组有唯一解。3已知方程组（I）与（II）。124361XX1234351XMXNT问方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）与（II）同解。,MNT解因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为。1026101241433550204116MMNNTT所以，。464给定齐次线性方程组，110NNAX其中的行列式，且存在一，若是方程组的任IJAA0A0KTA1,NX一非零解，证明。12NKKXX证明由于，且存在一，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为，00T1N基础解系中仅含一个非零解。又是齐次方程组的一个非零解，所以1,KKNA。12NKKXXA习题四1设，。且向量满足12,53210,534,1，求。33解。,42下列向量组中，向量能否可由，线性表示若能，写出表示式，123并说明表示式是否唯一。1），；,12,3,1,212），34,72,0。4,5,6解1）因为，故。3101212132表示式是唯一的。2）因为，故表示式不唯一，71101245339570600其中一个表示为。12953判断下列向量组是否线性相关1），；2,362,037,562），；41,1,203），；1,2,3,T4），。A2B2C解1）线性相关；2）线性相关；3）当时线性相关，当时线性无关。8T8T4）当有某两个相等时线性相关，当互不相同时线性无关。,BC,ABC4设，线性无关，证明，也线性无关。12312123证明设有，即1212330KK。由于，线性无关，所以12330K123，推出。故，2K123K12也线性无关。1235设向量组线性无关，而向量组，线性相关。证明1,S1,S可表示成的线性组合，且表示式是唯一的。证明因为向量组，线性相关，故存在不全为零的使1,S1,SK得。若，则。又10SKK0K10线性无关，可得，此与不全为零矛盾，1,S1S,SK所以。从而有，即可表示成的线性0KSK1,S组合。下证表示式是唯一。设有，可得11SSKLL。由线性无关，可得10SSKLKL,，即表示式是唯一的。10SKLKL6判断下列两向量组是否等价1），；2,1123,2），；13,0,12,3），；，。12312331解1）因为，故两向量10011组不等价。2）因为，故两向量组等0102120价。3）因为，所以无论，的相关性如何，123123都是线性相关的，故，与不等价。12,123,7求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量1），0,12,03,141,0。52），1,2,532,3。40解1）因为，所以是一100131235,个极大线性无关组，且。4122）因为，10210213541108证明秩（）秩（）秩（）。ABB证明记的行向量组为，极大线性无关组为；12,N12,IIK的行向量组为，极大线性无关组为。则的B12,N12,JJLAB向量组为，它可由，线性表示。12,IIK,JJL所以秩（）秩（）秩（）秩（）。A1,NL9用基础解系表示下列方程组的解。1）；123455980XX2）。123451XX解1）因为351044121713430598，记，17,0,427,01,431,，则通解为（为任意数）。052KK23K2）因为，记10251101，则通解为1,2,02,（为任意数）。02K1,K10设是非齐次线性方程组的解，是的基础解系。0AXB1,S0AX证明线性无关。10,S证明设有使得（1），若，则,K10SKK0K，从而，即为01S01SAA0的解，矛盾。故，代入（1），由线性无关，知AXK,S，所以线性无关。1SK10,S11设是一线性空间，为中一组向量，记V,SV。证明是的111,|,SSLKK是任意数1,SLV子空间（该子空间称为生成子空间）。证明任意，则，从1,SL1SK1SLL而。又对任意数，1,SKLKLLK。所以是的子空间。1,S1,SV12设。证明为一线性空间，1232323,|0,VXXXR求的一个基和标准正交基。证明因为为齐次线性方程组解，由齐次方程组解得线性组123合仍是齐次线性方程组的解知为一线性空间。它的基础解系为的一个基VV，。施密特正交化得，1,0223,01,205。6,5413在中，求由基到基3R123,1,1,2，的过渡矩阵。12,02,3解因为，所5081013122以所求过渡矩阵为。512483提高题1证明向量组与向量组，1,S12S213S，等价。S证明因为（），所以与1ININ,S1,S可以相互线性表示，故两向量组等价。1,S2设为阶方阵，。证明。AB0ABABN秩秩）证明记，则的秩等于向量组的秩。又1,N1,，即是齐次线性方程组1,NN的解，从而可由的基础解系表示，所以向量组0AXB0AX的秩小于或等于（基础解系中解向量的个数）。故有1,NB秩（）。秩秩）3若。证明。2AAEN秩秩）证明因为，得，由提高题2知0AEN秩秩）。又，由习题8可得。故E秩秩秩）。AN秩秩）4设阶矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的解，且NR11,NR