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文档简介

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）1）201LNLIMXXEX解因为2LN12LN122000LIIMLIXXXXXXEE222200LN11ILIXXEEE所以，原式2200LNLIMIM0XXX2）设，求。2COSCOSNNALINA解因为22CSOCSIN2SINNN21222COSCOSICOSCOSIN2ININ1COSISI2N2N所以。2SIILIMLNNA3）求，其中。SG1DXYD,02,DXYY解11222100NXXDD2211LLN4LXX4）求幂级数的和函数，并求级数的和。21N21N解设，则有NSXX1212222001NNXXNNXXXSTDTDX上式两边关于求导得X22XXS。21109N二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证0NA,A1）如果，则LIMN12LINN2）如果存在正整数，使得，则。PLIMNPALIMNAP证明1）因为所以存在有。LINA0MN对任意的，存在整数，当时有01N12NA1121212NNMAAANN又因为存在整数当有，所以取20N212NAN12MAX,当时有N12NAA这就证明。12LIMNNA2）设，则有0PRP11223LILIMRPRRMPRPRMPRPRNRAAAANN11223LIPRPRPRPRPRPRPRNM11223LIMPRPRMPRPRMPRPRMPRAAAAMR。11LIMPRPR三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且FX1,。求证在开区间内至少存在一点，使得10,1,0FFF,0X。03X证明因为，在之间，23006FFFFFXX0,X1,1,FF所以，1026FFF2006F123其中，12,又因为在上连续在之间，由介值定理可得，FX,112FF12,FF存在使得。,3F四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。在点,0A处（其中）有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。0,H0M解用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的DX,0X引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为22,XH2GH3322,AAGMXDMDXHH122223ARCTNSE,HATXGD2,1SIRTGMHA五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具,ZXY1,0FZXY有二阶连续偏导数。求证和。220XY222330ZY证明此题是错题。六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。记F,ABC221XYZ第一型曲面积分为。求证IAXYZDS122FBCUD证明当时，0ABC40IAXYZSF。122FUD当不全为零时，用微元法证明。,ABC用平面去22XYZABCU切球面，其中211,设平面切球面所得半弦
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