工科数学分析-3(7)函数性态的研究

1函数的单调性第七节函数性态的研究函数极值的判定及函数的最值第三章微分中值定理与导数的应用函数的凹凸性函数作图小结思考题作业20XF0XF一、函数的单调性XYOABABXFYXYOXFYABAB分析1212,XXABXX不防设则利用2121FXFXFXX可知,利用导数的符号可以判断函数的单调性函数性态的研究3定理1函数单调性的判定法,YFXAB在上连续设函数,AB在内可导则,FXAB在上单调增加的充要条件是0,FXXAB此时,ABFX称为的单调增区间单调减少0,FXXAB减函数性态的研究4证明只证单调增加的情况必要性,FXAB设在上单调增加,0,XAB对,FXAB因在内可导从而有0000LIMXXFXFXFXXX,FXAB又由在上单调增加,得到000FXFXXX所以,利用极限的保序性知道,00FX函数性态的研究5充分性,21BAXX,21XX且拉氏定理1212XXFXFXF内，若在,BA,0F则,12XFXF所以,上单调增加在所以BAXFY21XX,0XF,0BAXXF设函数性态的研究6推论,YFXAB在上连续设函数,AB在内可导,AB若在0,FXXAB则,FXAB在上严格单调增加严格单调减少注意1若推论中的条件0,FX0,FX或改为0,FX0,FX或其中使得0FX的点不构成,AB的子区间,则推论的结论仍然成立2定理1和推论不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确函数性态的研究7如,3XY,00XY上但在,严格单调增加3XY又如,SIN在XXY内可导,且XYCOS1等号只在,1,012KKX无穷多个离散点处成立,故,SIN在XXY内严格单调增加,0XYO函数性态的研究8例1讨论函数22LNYXX的单调性注意判函数的单调性或求单调区间的步骤如下1确定函数的定义域2找临界点0FXFX令或不存在的点3列表由临界点将函数的定义域分成几个区间,在各个区间上再讨论FX的符号,从而判定FX的单调性函数性态的研究4下结论9例2确定函数22351YXX的单调区间提示3185231XXYX不存在XYY,111,2121,525,15001,XY时不存在函数性态的研究10利用函数的单调性可以证明不等式例3证明0,2X当时有3TAN2SINXXX提示TAN2SIN3FXXXX令221COS12COS0COSXXFXX函数性态的研究11例4设0,0,FXAA在上连续在内可导0,FFXA且00,在内严格单调增加证明0,FXAX在上严格单调增加函数性态的研究12定理2必要条件注如,3XY,00XY0不是极值点但X1处取得在点如果函数0XXF,0处可导且在X的叫做函数为零的点使导数XFXF驻点可导函数的极值点驻点却不一定是极值点但函数的必是驻点,费马引理如果函数处在0XXF可导,0XXF在且处取得极值,那么00XF则必有极值,3XYXYO00XF二、函数极值的判定及函数的最值函数性态的研究1极值的必要条件13XYO32XY极值点也可能是导数不存在的点如,32XY32XY但怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点单减的分界点,2不可导0X是极小值点是不是极值点若X0是连续函数FX单增、则X0必为极值点几何上,0X在函数性态的研究14定理3第一充分条件且在点连续在设,0XXF,100时若当XXX0XF0,00时当XXX0XF,0则0XF为严格极大值,20附近不变号在若XXF0XF则不是极值严格极小值极值的一阶充分条件2极值的充分条件XYO0XXYO0X,0O0内可导的某去心邻域XUX函数性态的研究150X0X一般求函数的极值的步骤不是极值点XYOXYOYFX1确定函数的定义域2找临界点0FXFX的点和使得不存在的点3列表考虑在临界点左右两边的符号,FX4求极值函数性态的研究16例5解11323的极值及单调区间求XXXF322113XXXF3131132XX312137111XXX12驻点,1X导数不存在的点117X1X3列表求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值函数性态的研究17XXFXF,11117,11171,11711,0非极值极小值01F极小值22117F极大值0不存在极大值驻点,1X导数不存在的点,117X1X11323的极值及单调区间求XXXFXF312137111XXX单调增加区间,17,11单调减少区间7,111函数性态的研究18定理4第二充分条件证,00XF如果严格极大值严格极小值为则0XF00XF,0极值的二阶充分条件0XF,000LIM0XXXFXFXX0LIM0XXXFXX因此,当|0XX充分小时,由极限的保号性00XXXF可见,XF与0XX异号,0XX当0XF,0XX当0XF所以,0处取极大值在点XXF第一充分条件对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点自己证极小值情形函数性态的研究19例6求函数SINCOS,02FXXXX的极值函数性态的研究20注仍用第一充分条件定理3第二充分条件不能应用事实上,00XF当,00时XF处在点0XXF可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值如,41XXF,42XF33XXF处在0X分别属于上述三种情况000FXFX当或不存在时,如,1SIN,00,0XXFXXX0F不存在,X0不是极值点函数性态的研究21求函数2223,0YXAA的极值函数性态的研究22充分条件来判定有无极值对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值运用第一、第二充分条件需要注意若函数有导数不存在的点时,则可用第一12则函数性态的研究23BAABAB1最值的求法XYOXYOXYO3最大值最小值问题函数性态的研究241其中最大小者求连续函数FX在闭区间A,B上的最大小值的方法将闭区间A,B内所有驻点和导数不存在的区间端点的就是FX最值必在端2点处达到点即为可能极值点处的函数值和函数值FA,FB比较,在闭区间A,B上的最大小值当FX在闭区间A,B上单调时,函数性态的研究25例710,1PPFXXX求在上的最值函数性态的研究26例8求函数22,00,11ABYABXX在上的最值提示2,AXABYAB最小值无最大值函数性态的研究273,0X0XF且在就是则0XFXF4若连续函数FX在区间I内只有一个极值点为极大小值,区间I上的最大小值对实际问题常常可事先断定最大小值必在区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有一个可能极值点,那末这点处的函数值就是最大小值函数性态的研究28实际问题求最值应注意1建立目标函数2求最值若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大小值函数性态的研究292应用举例例9从直径为D的圆形树干上切出横截面为矩形的梁,此矩形的底等于B,高等于H若梁的强度与成比例,2BH问梁的尺寸为何时,其强度最大HB解求目标函数2220FBBHBDBBD的最大值2,33DBHD函数性态的研究30OZYX例10解HRV22目标函数,222RHR由得,222HHRVRH03222HRVHH2HRR12求最大值点半径为R求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2H,底半径为R,体积为V,函数性态的研究31圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点3RH就是最大值点,最大体积为33222RRRV3334R令,0HV得3RH舍去负值唯一驻点3222HRVH函数性态的研究32K为某常数例11铁路上AB段的距离为100KM,工厂C距A处20ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工20AB100C解设,KMXADX则,2022XCD,340052XXKY2340040052XKY令得又所以为唯一的15X极小值点,故AD15KM时运费最省总运费厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取DKM,公路,价之比为35,函数性态的研究33存在一个取得最大利润的生产水平如果存在,找出它来售出该产品X千件的收入是例12设某工厂生产某产品X千件的成本是解售出X千件产品的利润为XCXRXP61232XXXP得令,0XP5860221X问是否3XXC,1562XX,9XXRXXX6623,126XXP又,01XP02XP故在X23414千件处达到最大利润,而在X10586千件处发生局部最大亏损YXP22OX222432XX4143222X函数性态的研究34说明在经济学中XC称为边际成本XR称为边际收入XP称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,0XP即边际收入边际成本（见右图）22YOX22XXXXC15623成本函数XXR9收入函数XCXR即收益最大亏损最大函数性态的研究35例13敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）北南西东解建立敌我相距函数关系分追击至射击的时间处发起为我军从设BT敌我相距函数2224150TTTSTS1公里50公里4ABTS函数性态的研究36222450TTTS2的最小值点求TSSTS245057522TTT,0TS令得唯一驻点51T处发起追击后故得我军从B51分钟射击最好北南西东公里50公里4ABTS函数性态的研究37例14设A为任意正数,证明221,0XEXAXX函数性态的研究事实上,LN21A也行381定义XYOABC如何研究曲线的弯曲方向三、函数的凹凸性函数性态的研究39XFYXFY1X2X1X2X221XX221XX图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方XYOXYO定义1设函数FXI在区间内连续,若对任意两点12,0,1,XXI及数总有121211FXXFXFX则称FXI在区间内是下凸凹的121211FXXFXFXFXI在区间内是上凸的函数性态的研究401,2若取则定义1中的不等式分别为1212,22XXFXFXF121222XXFXFXF有时也用这两个不等式来定义函数的凸性另外,若定义中的不等号为严格不等号,则相应有严格凸的定义函数性态的研究41XFYXFY曲线弧上每一点的切线定义2上方,称为下凸弧上凸都在曲线的下XYOXYO函数性态的研究即,设0,FXIXXI在区间上可导对000,FXFXFXXXFXI若则称在上是下凸的000,FXFXFXXXFXI若则称在上是上凸的42下凸弧的曲线段XFXF即的切线斜率是单增的,是单增的,而上凸弧的切线斜率是单减的,XF即是单减的利用二阶导数判断曲线的凸性从几何直观上,随着X的增大,43递增XF0XF递减XF0XF定理52函数凸性的判别法XYOABABXFYXYOABABXFY如果函数内二阶导,0,FXXAB且则函数,FXCABAB,在0,FXAB是上的下凸函数上凸函数性态的研究44证明的提示12012,1XXIXXX对记120,FXFXXTAYLOR分别将在展成公式函数性态的研究45注意1若定理1中的条件0,FX0,FX或改为0,FX0,FX或其中使得0FX的点不构成I的子区间,则定理的结论仍然成立2定理2不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确函数性态的研究46例15讨论函数321YXX的凸性提示33425152,39XXYYXX210,0,55YXYX令得令得0,XYY且时不存在3151,5625拐点函数性态的研究47定义3若函数0,FXX在连续且其左,右两侧邻近凸性相反,则称点00,XFXYFX是曲线上的拐点3、曲线的拐点及其求法函数性态的研究48定义连续曲线上凸性发生变化的分界点称为曲线的拐点INFLECTIONPOINT3XYXYO几何上拐点处的切线必在拐点处穿过曲线结论若曲线位于点00,XFX处的切线的两侧,则00,XFX是拐点函数性态的研究49找拐点的方法1确定函数的定义域2找临界点0FXFX令或不存在的点3列表由临界点将函数的定义域分成几个区间,在各个区间上再讨论FX的符号,0FXX考虑在点附近的符号,符号变化的是拐点,符号不变的不是拐点注意拐点指的是曲线上的点函数性态的研究4下结论501,0,0221NYXYXYXYXNNNNTTFTFTF21YFXF即NNNYXYX221例16证,1NNT21NTNN0YXT,0内任意两点对2YXF0T设图形是严格下凸的利用函数图形的凸性证明不等式函数性态的研究51利用函数特性描绘函数图形确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性判定四、函数作图求曲线的渐近线求临界点列表,讨论函数的单调性,凸性,极值和拐点描点函数性态的研究52例172142的图形作函数XXXF解,0XD非奇非偶函数,243XXXF384XXXF,0XF令,2X得驻点,0XF令3X得214LIMLIM2XXXFXX,22Y水平渐近线函数性态的研究53214LIMLIM200XXXFXX,0X铅直渐近线X3,02,330,2XFXF00XF20不存在拐点极小值间断点3926,3无斜渐近线324XXXF438XXXF2142XXXF列表确定函数单调区间,凸性区间及极值点和拐点函数性态的研究54,0,31,2,1,6,11,2作图2142XXXF拐点926,3极小值32F补充点,0,31XXFXFXF3,02,330,2200不存在0拐点极小值间断点,2Y0X水平渐近线垂直渐近线XYO316221123函数性态的研究55定理5设0YFXX在的邻域内有N阶导数,100000,NFXFXFXFX且00,2,3,NFXN但则0,0NNFX1当为偶数且0FXFX则是的极大值,0小00,XFXYFX此时不是的拐点,N2当为奇数时0FXFX不是的极值00,XFXYFX此时是的拐点函数性态的研究56证明的提示利用带PEANO型余项的TAYLOR公式,有0000NNNFXFXFXXXOXXN从而0000LIMNNXXFXFXFXNXX0,0,NNFX1当为偶数且时利用极限的保序性知道,00FXFX0FXFX从而是的极大值,0,0小函数性态的研究57,N2当为奇数时此时,曲线00,YFX