工科数学分析-工科数分 上 期末复习题

一函数与极限1当时,是无穷小,则实数_0；AXXFLN1A2设时,与是同阶无穷小,则_3_；0TAEN3设，则的间断点为，它是第二类间断点21LIMNXFXF0X40LI1SIXXE5求极限121LI22NNN解11222221LIM2NLI2NN1LI222N6求极限1ELIXX解，2LIMXXXX1LNLIMP2XX1LNLI2TTT1LLI2020LITT21LIM0TT212ELIMEX7已知，指出函数的间断点及其类型1|2XF为间断点2分1230,X2200LIM1,LIM1,XXFF221010LI,LI,XXFF3分21010LI,LI,XXXFF从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第1231X二类无穷型间断点8已知，试确定常数和的值01LNARCT2LIM0CXXNC用罗比达法则2,3CN9设，求SIANLIMNA解222LIMLLI1NN10、求极限01COSLI1XX解原式22LNCOS2000LNCOSLIMCOSLIM1IL10XXXXXXE11设，则当时（B）57XFA与是等价无穷小量B与是同阶但非等价无穷小量XFXC是比高阶的无穷小量D是比低阶的无穷小量F12在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B）ABSIN,0XF1SIN,0XFCD1,0,XF,0XEF13函数的定义域是21ARCSIN3XYX2,4014201COS3LIMX915极限（D）451LIXXABCD不存在2216计算极限SINCOS30LMXXE解原式SINCOSINSI0332001COSINCOSINCOS1LLLM33XXXXEXXE17设有无穷间断点，有可去间断点，1BFXA12求的值,AB解由，得01LIM0XFB,01AB因存在，故1LIXF113LILIM120XXXBFB从而2B18设，讨论及在处的连续性,0XEFFXF0X解因为，故在处的连续2001LIMLI0XXEFFFX022200001LILILIMLIXXXXXXFFEEF当时，21XEF2200014,LILILI0XXXXXEEFF故在处连续F二导数与微分1设，则；31SINLXYYDDX1SINCO232设在可导，则F0003LIMHFXFH50XF3设，则XY216Y76214若，则308FX0F285设可微，且，则U2SINYFDY6SIN3SICO3XFXD6设，则ARCTN1YX0XD47设，则（D）2,DFGHXFHXABCD2X2G2G8设，则XEYY1LNXE9设，则20AD2AXD10求极限20RCTNLIM1XT解22202ARCTNDARCTN1LIMLIMLIARCTN411XXXTX11设函数，讨论在点处的连续性与可导1,0E,XFFX0性解，1100E0,LIMLIEXXXFF，由于，故在点处连10LIEXXF10FFFFX0续11000ELIMLILIMXXXXFFF，故在点处不可导100LILIEXXXFFFF0X12由方程确定了隐函数，求的二阶导数TANYY解322SEC1,CSYXX33OTCOTYXYYX13设，其中二阶可导，且，求,3TEFTFXTF0F和0TDY02T解310330TTTFEX02TDXY20330961FTFTFETT14指出数列中最大的数，并说明理由N解设，XF12/LN1XXF故。20E当单调递增，当单调递,0XFFX,0,XFFEX减2又，因此中最大的数就是中最大的数，32E3,2N32所以中最大的数是2N15设函数在点处可导，求的值1,ELN12XAXFXB,AB10FF从而212100LIMNLIE,LN0,BXXXAA1010LILIXXFFF1010LILIBXXXFFEF由可导知,FFF16由方程确定了隐函数，求微分2YXYXYDYLNLNLN20YXDEEDXD即L20,1LNYYYXYX17求由参数方程所确定函数的二阶导数23LNTY2DYX123TDXYT56218已知有一阶连续导数，且，求极限FX01FF0SIN1LMXF解原式00SIN0SINLMLLNLN0XXFFXFFFF19设具有二阶连续导数，且，若X,0FXA（1）确定，使在内连续；AF,（2）求FX解（1）连续则必有00LIMLI0XXAFF2当时0X2XF而2000LIMLILIMXXXFFF01LI2X所以2,010,XF20设函数由方程确定，求YX0,YXDYX解对方程两边求导书LN,LNLYXYX两边求导数，得L1L1L,21确定常数的值，使函数在处连续且可,AB,0ARCSINXEBF0X导解，00LIMLIARCSN0XXFFX00LIMLI1XXFFEB，01EB由在处连续知FX,1,1FFFB000LIMLILIMXXXFFEBEF000ARCSINLILILIXXXFFAF由在处可导知F,1FF22设确定了是的函数，求22LNSI1SINXTTYYX2DYX解222COSICOSCOSIN1N,SINIII1TTTYDXTDYTDTXT22SISINS1IYDTTTDDXXXT23三微分中值定理与导数的应用1曲线的拐点为（1，0）；XYLN2设，则在点处取极小值FEXFN1N1EN3写出拉格朗日中值定理，并给出证明4设函数在上三阶可导，且和在有界试XF,XFF,证和在有界F证明存在正数，使得，；21,M1XF2MXF由泰勒中值定理，介于之间；321FXFFXF1,X，介于之间；1相减，相加，即得和在有界XFF,5若曲线的拐点为（1,3），则常数，；23BAYA23B96曲线的渐近线方程为；1EX1,0XY7在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为FLN10XN132132NNNXOXX8设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的Y329XTYYX的取值范围X解222339,39TTDYTYXDX曲线下凸要求，即0YX2310,1,3TTT因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为39,1,54TX10,549当时，证明02XY222COSTANCOSCOSYXYXYX证在区间上函数满足LAGERANGE定理的条件，从而存在,TANF使得,XY222TANSEC,OSCOSYXYXX从而22OTANCY另证当时，由积分种植定理与单调性有0XY从而得证222211TAN,COSCOSCOSXXYDTYXYXY10设在上严格单调减少，在处有极大值，则G,F0（A）A在处有极小值B在处有极大值FX0GFX0C在处有最小值D在处既无极值也无最GXX值11下列函数在上适合罗尔定理条件的是（B）FX1,ABCD32FX2FXARCOSFXCOT2XF12设在连续、可导且单调增，,AB0,B000,FXFXF证明在内也单调增X,AB解因，故在处连续0LIMXFX0002XFF记在与之间000,GXFFFXFFXX0当0,XG从而在内。AX又在处连续，故在单调增，0X0,A当0,XXFFG从而在内。B0又在处连续，故在单调增，X0X0,B综上述，在内也单调增,A13求曲线在拐点处的切线方程XYE解，1XXE12XXXYEE令，由于时，时，为拐点0,2Y2020Y,故要求的切线为2,4YEXEX四不定积分1设，求2LN,11XFDFX解DFX1,12,L2XDX,ARCTN21L2XCX2142092SIDSECTANSECDTANSECCOXXXX3已知的一个原函数为，则FLF14计算3SEX解原式23SECTANSECTATNSECTANSECSXDXXDXXDX111L225计算不定积分21XD解令SIN,ARCSIXT则原式2COS2SIN2SINCOO421ITTTTDDC2ARCSIN2X6已知的一个原函数是，求F2XEFXD解由于的一个原函数是，从而X2221,XXECFE因此2221XXXXFDXFFXFDXECEC7若20,AARCSINARCSIN8、下列函数中哪一个不是的原函数（C）I2XABCD2SINXCOSCOS2X225SIN4COSX9计算不定积分1LNXDX解，21LNX222212LL1LN1XXDDXDX1NXC五定积分1计算321DX解令，当取，当时取2TAN,SECT1X4T3XT原式23332444TDOTD2SINSIT2设，求0,10XEISN解XIBSNDLIM011NNSISE021ISNISN,0IXED1NS34141LIM222NNNDX102464已知函数连续，求XFTXFTXGD02XGUXGD02XXFF00516ARCTN1令，则，当时，当时，XU2XU1X0U16X3U原式3322200ARCTND1ARCTND301663U621DEX1121LIMLIARCTNELIMARCTNE4BBXBXBE7设函数在上连续，利用定义证明函数在F,TFXFD0上可导，且,XFF，XFXLIM0DTXNLIM0因为在上连续，由积分中值定理得XF,，其中，LIM0FXFFXX10再利用的连续性得F故LI0XXF8设函数在上连续，且，试证F1,00D10XF1D1XF（1）存在，使得；,4F（2）若在上可导，则存在，使得XF1,4F（1），由积分第一中值定理的，存在XFD210XFD210，使得，故存在,42100FFF，使得1,04F（2）由积分中值定理，存在，使得由拉格朗日1,C0D10CFXF中值定理，则存在，使得，由（1）知1,0FCFCF4F92214XDX10求极限1LIMNN解原式111200LILNL2NNNDX11已知两曲线与在点处的切线相同，求此切YFX2ARCTN0XTYED0,线方程解对22ARCTNARCTN01,0XTXYEDYY从而在点处的切线为,12、计算32140XD解令，则。当时取，当时取，2SINTCOSXT0XT1X2T原式22324001131I2TDTTD13计算21X解原式2222111LIMARCTNBBXXDDX22LIMARCTNARCTN4BB14设，求1L,0XTFD1FXF解对，作换元，则。当时，当1LNXTFTU2DTU1TU时，1TXU从而2111LNLNLNXXXUTFDDDU因此221111LNLLNLLNXXXXTTTFXFDDT另解令2LL,0XXGFXFGG从而21LNFFXX15设在上二阶导数连续，且，证明在F,A0A0F上至少存在一点使得,A3AFFXD证令，则由已知，在上三阶导数连续，在0XFFTDF,处作二阶泰勒展开，有0X2323006FFFFXXX从而（由介值定理）123333AFFFXDAAAF另证由已知在处作一阶泰勒展开，有0X20FFXFFX由最值定理有，由对称区间积分性质MFM233AAFXDFXD由估值公式33222AAAMMXFXDX从而，由介值定理使232AMFXDM,A23AFF因此3AFFXD1620XE117若连续曲线与在上关于轴对称，则积分1YFX2YFX,ABX的值为（D）12BBAAFXDFXA、B、1BF2BAFXDC、D、22AXFDX018设参数方程，求220LN1TUY2DYX解，221TDYXT222124DYTTTXDX19计算定积分21LNE解原式111LLN12LEEEXDXEXDXE20设在上可导，且，试证F0,20FFDX，使0,12FF证明由积分中值定理，1222110,FXFFFD令，则在上连续可导，且21FXFFX0,201FFFF由罗尔定理，使,120,FFF八、07证明方程在内有且201XTD0,1仅有一个实根证明设201XTFD则连续且可导220011ARCTN100XXTFDTXX，且连续可导3221ARCTNARCTN,FFX，232422310,11XFXX从而在上单调增，故当时，故而在F0,0,FFFX上单调增，因此在上若有零点则必为惟一的一个零点0,1FX,1又,1ARCTN1081004F由闭区间上连续函数的零点定理，在上确有零点FX,因此在上确有惟一零点，也即方程在内有且FX0,1201XTD0,1仅有一个实根21设，则（D）21LNPXD21LNQXD21,RXDABCDRPQPR22设在上连续，则（A）XF,ABBAXFDA、B、BADFAC、D、对BAXFBFXDBAXFFXD23计算定积分22解令，则SINXT原式22200SINCOS2XDTTTD208SINCOTDT240138SIN84TT或20ITD02201COSSIN4TDT六定积分的应用1求心形线围成的图形面积COS1AR解DS20S21D2COS1S0232求摆线的一拱与轴所围成的SIN,1COSXATYAT0TX平面图形绕旋转所得旋转体的体积2Y解2223008COS1CSAVYXDATATD22323223300SINI81COSIN74TTTATT3求和围成图形的公共部分的面积IR2R60SIN21DS46COS1D34求由曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成立2,1EXYXY体的体积21DXFV21DXEE5设直线与曲线所围成的图形面积为，它们与直01YAX2YX1S线所围成的面积为2