不可压缩橡胶类材料缺口顶端的奇异应力场

不可压缩橡胶类材料缺口顶端的奇异应力场王振清哈尔滨工程大学建筑工程系,哈尔滨150001摘要借助于新的应变能函数和变形模式,推出了缺口顶端场各区的渐近方程,得到了顶端的完整描述1本文结果表明,在靠近缺口顶端处,应力具有R1N的奇异性,应变具有R2的奇异性1对于不同的材料常数和不21N同的缺口角度,给出了不可压缩橡胶类材料缺口顶端应力及应变分布曲线,揭示了缺口顶端应力应变场的特性1关键词不可压缩橡胶类材料缺口分类号O3435THESINGULARSTRESSFIELDNEARTHENOTCHCORNEROFIMCOMPRESSIBLERUBBERLIKEMATERIALWANGZHENQINGDEPTOFCIVILENG,HARBINENGINEERINGUNIVERSITY,HARBIN150001ABSTRACTBYTHENEWSTRAINENERGYFUNCTIONANDDEFORMATIONPATTERN,THEASYMPTOTICEQUATIONSFOREACHSECTOROFTHENOTCHCORNERFIELDAREDERIVEDANDSOLVEDTHERE2SULTSSHOWTHATWHENTHENOTCHCORNERISAPPROACHED,THESTRESSANDSTRAINPOSSESS1THESINGULARITYR2N,ANDR2,RESPECTIVELYFORDIFFERENT1NMATERIALCONSTANTSANDDIFFERENTNOTCHANGLES,THESTRESSSTRAINCURVESOFIMCOMPRESS2IBLERUBBERLIKEMATERIALAREGIVENANDTHEDOMINANTBEHAVIOROFSTRESSANDSTRAIMNEARTHENOTCHCORNERAREREVEALEDKEYWORDSIMCOMPRESSIBLERUBBERLIKEMATERIALNOTCH引言0完全用非线性理论研究裂纹尖端场,首先是由KNOWLES和STERNBERG1,2进行的1他们采用完全非线性弹性理论,研究了一类均匀、各向同性超弹性材料的型平面应变裂纹问题1但他们的本构方程中包含有3个弹性常数,又没有合理分区,且变形前构形采用极坐标描收稿日期19970305,而变形后的构形却用直角坐标描述,使得问题的分析十分复杂1为了用尽量少的参数来反映弹性体最本质的行为,高玉臣先生给出了两个新的本构关3,41本文采用第二个本构模型,利用分区思想,对不可压缩橡胶类材料缺口顶端的奇异力场进行了求解1基本方程考虑一个三维弹性体,在变形前和变形后物体典型点的位置矢量分别用P和P表示,型点的物质坐标用XII1,2,3表示,则变形前和变形后的局部标架分别为PI5IPPI5IP1中55I25XI定义变形梯度张量F为0PIPIPI3FPI中PI为PI的逆变基矢量,PIPJJ,0为并矢符号,今后将省略不写,求和约定适用于I文1因此,GREEN和CAUCHY应变张量及其逆应变张量为DFTFDFFTPIPJPIPJPIPJPIPJOTN5中“T”和“1”分别表示转置和逆1用E表示二阶单位张量,则有EPIPIPIPIP1PIPIPI引入如下不变量I1DEDE,I2D2E,I3D3E6I1D1ED1E哈尔滨工程大学学报第19卷28变形模式2考虑一个包含有缺口角区的无限大体,如图1所示1在无限远处受有垂直于缺口轴线方向的均匀拉伸,由于受力情况与几何形状都是对称的,因此只需考虑上半平面1A加载前B加载后图1缺口试件的变形模式由于奇异性的存在,材料单元的状态将发生惊人的改变1因此某些变形前很宽、几乎充满缺口顶端的区域,变形后却变得十分狭窄,称之为收缩区用S,S表示1相反,某些变形前很窄的区域,变形后却变得十分宽广,这个区域称之为扩张区用表示1引入两个柱坐标系,R,Z,R,Z分别表示变形前后的柱坐标系1从R,Z映射到R,Z的函数将是不同的1经过分析,可作如下假设1在S区,在平面应变情况下,设RR100R2ZZ14式中,均为正的材料常数13渐近方程对于S区,由1,4,7,11和13式可得体积应变K为KR24212对于不可压缩材料,K1,因此1522121半平18P12222对于Q21中J221K1,同样可推得222对于区,由124213925U222264数值计算由于缺口表面为自由表面,不受外力作用,故应有应力边界条件R000由上式可推得P002728即000当0时,上述问题就转化为平面应变型裂纹问题1在0处,由收缩区在0时的方程与扩张区时的方程相一致,即可得连接条件为2900030在处,有22102202CONST哮一致1图2给出了当N2,0分别为150和120时,的关系曲线1我们知道,在时,1因此,收缩区在变形后几乎变成为一条线,而扩张区在2形后几乎充满整个空间1所以,只需计算扩张区的应力、应变1实际上就是整个顶端场的力、应变,只是应力、应变在2时不适用1不同N值时,0关系附表18016515013512010590N150333403075027350229001753009710000020025010232002090017900139000795000002502000018750171001475011600066100000将扩张区的应力写成坐标R,的函数RIJIJ32ABC图3DN2时应力IJ与应DIJ变化的关系曲线哈尔滨工程大学学报第19卷322N可求得331IJIJ34同理有DIJTDIJ35式中236T1这样,对于从0,就可以计算出与对应的应力IJ,应变DIJ1图3给出了0为120,150,N2时的应力IJ,应变DIJ变化的关系曲线15结论1本文利用新的一类橡胶材料的本构模型,尽管本构关系中只包含两项,但却能充分反映材料的行为,因而得到合理的解答1而且,在研究奇异性场方面具有很大的优越性12对于此类橡胶材料,缺口顶端场是由两个收缩区和一个扩张区组成1变形前几乎占据缺口顶端场整个空间的收缩区,变形后却变得十分狭窄1而变形前非常狭窄的扩张区,变形后却变得十分宽广,几乎充满整个空间1这一变形特点与文献3的结果相一致13在缺口顶端,应力具有R2N的奇异性,应变具有R2的奇异性14是缺口角度0的函数1从计算中发现,当02时,不论N为何值,总为零,即奇异性消失1随着0的增大而增大,当0时达到最大值,11此时对应于裂纹问2N题1这与小变形材料是不一致的,有待于今后进一步研究1参考文献1KNOWLESJK,STERNBERGEAASYMPTOTICFINITEDEFORMATIONANALYSISOFTHEELASTICFIELDNEARTHETIPOFACRACKJOFELAS,1973,3267108KNOWLESJK,STERNBERGEFINITEDEFORMATIONANALYSISOFTHEELASTOSTATICFIELDNEARTHETIPOFACRACKRECON2SIERATIONANDHIGHORDERRESULTSJOFELAS,1974,43201233GAOYCELASTOSTATIC