连续系统statespacemodel函数分析方法程序设计

题目连续系统STATESPACEMODEL函数分析方法程序设计学生姓名学号所在学院物理与电信工程学院专业班级电信101班指导教师_完成地点521实验室2014年5月5日连续系统STATESPACEMODEL函数分析方法程序设计【摘要】本课题将要解决的主要问题是利用MATLAB的SIMULINK求解连续系统的方法步骤、解的特点、适用范围，利用MATHEMATICA的STATESPACEMODEL方法求解连续LTI系统的思路、出发点、难点、优点、方法步骤；探索由描述系统的传递函数如何得到求系统0输入响应的状态空间模型函数STATESPACEMODEL系统0输入响应计算、系统0状态响应的计算思路。解决这些问题需要使用MATHEMATICA啊软件进行程序设计，并且利用实际系统的分析求解展示程序的用法。【关键字】连续系统；MATHEMATICASTATESPACEMODEL状态响应CONTINUOUSSYSTEMSTAESPACEMODELFUNCTIONANALYSISMETHODOFPROGRAMDESIGNABSTRACTTHEMAINPROBLEMSOFTHISSUBJECTWILLSOLVEISSOLVEDUSINGSIMULINKMATLABMETHODFORCONTINUOUSSYSTEMSTEPBYSTEP,THEFEATUREOFTHESOLUTION,SCOPEOFAPPLICATION,USINGTHEMATHEMATICASTATESPACEMODELMETHODFORSOLVINGCONTINUOUSLTISYSTEM,STARTINGPOINT,ADVANTAGES,METHODSANDSTEPSEXPLOREDBYDESCRIBINGTHESYSTEMTRANSFERFUNCTIONTOGETTHESTATESPACEMODELFORFUNCTIONSTATESPACEMODEL0INPUTRESPONSESYSTEMSYSTEM0INPUTRESPONSECALCULATION,SYSTEM0STATERESPONSECALCULATIONMETHODTOSOLVETHESEPROBLEMS,THENEEDFORPROGRAMMINGUSINGMATHEMATICASOFTWARE,ANDTHEUSEOFACTUALSYSTEMANALYSISTOSOLVETHEDISPLAYPROGRAMUSAGEKEYWORDCONTINUOUSSYSTEMMATHEMATICASTATESPACEMODELSTATERESPONSE目录引言51MATLAB的SIMULINK求解方法511SIMULINK简介512SIMULINK的求解方法步骤5121离散建模方法步骤5122传递函数法6123状态空间方法7124SIMULINK方法解的特点7125SIMULINK方法适用范围82状态空间模型方法介绍821状态空间模型8211状态空间模型概述8212状态空间模型分类8213状态空间模型意义8214状态空间模型优点及其应用9215状态空间模型特点9216状态空间模型优点922状态空间模型方法9221理论方法9222MATLAB方法10223MATHEMATICA方法113STATESPACEMODEL求解LTI系统1131STATESPACEMODEL基本语法1132求解思路及步骤1133STATESPACEMODEL方法的优缺点及难点134系统的响应1441零输入响应1442零状态响应1443完全响应145STATESPACEMODEL算法设计1451详细程序设计1452程序运行结果1553方法比较186结束语19致谢19参考文献20引言状态空间空间模型是应用状态空间分析方法对动态系统所建立的的一种数学模型，它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。在经典控制理论中，采用N阶微分方程作为对控制系统的输入量和输出量之间的时域描述，或者在零初始条件下，对N阶方程进行LAPLACE变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，传递函数建立了系统输入量和输出量之间的关系。传递函数只能描述拉法高三个数量级，比预估校正法高两个数量级，是自启动的。它之所以广泛应用于仿真上，还有不可忽视的优点编程容易，改变步长方便、稳定性好。在通信与信息系统、信号处理、自动控制、检测、监控等领域,信号与系统的状态变量分析都有着十分重要的作用连续系统状态方程分析一般先抽象为数学模型,然后根据初始条件和输入信号求出状态变量和输出对于状态方程和输出方程比较复杂的连续系统,人工计算就十分的难以实现。实际生活中的系统都很复杂，人工完成信号与系统中连续系统状态方程的求解方法十分的困难，计算量大，在分析连续系统与离散系统时，分别需要建立微分方程（组）和差分方程（组），在求解的过程中会遇会相当的困难。特别是系统比较复杂的时候这个系统在时域中求解难度是相当大的。在反复验证研究的过程中会浪费大量的时间，而且在时域中变成求解也非常的复杂。所以我们才会用状态空间模型在来进行分析求解，用最小的代价来完成系统的设计与验证，直到满足人们对系统的要求2。1MATLAB的SIMULINK求解方法11SIMULINK简介SIMULINK是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包，是MATLAB的重要组成部分。它用于可视化的系统仿真采用系统模块直观的描述系统典型环节。因此可以十分方便的建立系统而不需要花较多时间编程。SIMULINK分析和仿真各种动态系统（包括连续系统、离散系统和混合系统），它提供了一种图形化的交互环境。SIMULINK提供建立系统模型、选择仿真参数和数值算法、启动仿真程序对该系统进行仿真、设置不同的输出方式来观察仿真结果等功能。SIMULINK提供了丰富的模块库以帮助用户快速的建立起动态系统模型。建模时只需要使用鼠标拖放不同模块库中的系统模型并将它们连接起来。它外表以方块图形式呈现，且采用分层结构。SIMULINK框图提供了交互式很强的仿真环境，既可以通过下拉菜单执行，也可以通过命令进行仿真3。SIMULINK的特点（1）基于矩阵的数值计算；（2）高级编程语言；（3）图形与可视化；（4）工具箱提供面向具体应用领域的功能；（5）丰富的I/O工具；（6）提供与其他高级语言的接口；（7）支持多平台（PC/MACINTOSH/UNIX）（8）开放与可扩展的体系结构。12SIMULINK的求解方法步骤121离散建模方法步骤一般用于结构比较简单的系统分析计算。（1）写出系统的微分方程；（2）根据系统微分方程画出系统框图；（3）把画出的框图用SIMULINK中的分离原件进行仿真组合（分离原件建模）。例如系统的微分方程为画出系统的框图如图11BA11图11系统框图分立原件仿真组合如图12图12仿真模型模型建造好以后设置部件参数，运行求解即可。122传递函数法如果系统很复杂的话我们用离散建模的方法来求解系统的时候，我们所创建的模块文件的结构就会比较复杂，费时费力也不利于我们的研究分析。所以在系统比较复杂的情况下我们用以下方法（1）首先写出系统的微分方程；（2）用拉布拉斯变换求解出系统S域的系统函数（传递函数）；（3）利用传递函数建模。建模主要分为三部分（1）输入信号（信号源）；（2）传递函数模块；（3）数据显示或提取。例如系统微分方程为对函数取拉布拉斯变换得由上式可得到2化简上式S2AYS2FS得到系统函数2构造传输函数模型如图13图13传输函数模型输入模型参数，进行求解即可13。123状态空间方法使用状态空间模型的方法求解连续系统的优点是，此方法可以设置系统的初值可以直接求得系统的零输入响应，进而得到连续系统的完全解。（1）建立微分方程；（2）将微分方程转化成为状态方程；（3）利用状态方程建模。建模主要为三部分（1）输入信号（信号源）；（2）状态空间模块；（3）数据的显示或提取。用MATLAB建立状态空间函数的方法示例NUM12系数从高到低排列DEN1712MYTFTFNUM,DEN构造传递函数A,B,C,DTF2SSNUM,DEN构造空间状态模型124SIMULINK方法解的特点SIMULINK的求解方法所计算出来的系统所有解都为数值解，解出的是给定时间点上面的采样值，是没有办法得到解析函数的形式。SIMULINK在对连续系统进行求解时，其核心是对系统微分或者偏微分方程进行求解。因此，使用SIMULINK对连续系统进行求解仿真时所得到的结果均为近似解，只要此近似解在一定的误差范围内便可。该误差是与其系统的采样间隔有关系，采样间隔大的话误差就大，采样间隔小了，误差就比较小。我们可以利用SIMULINK求解出来的数值解的折线图来得到系统随时间变化的趋势，但是如果我们要得到系统的解随着时间变化的关系或者规律的话，就要进一步进行数据的拟合。125SIMULINK方法适用范围该方法可以求解线性和非线性系统，即连续系统。但是因为SIMULINK方法求解出的是数值解，所以在使用该方法求解连续系统的过程中，系统结构必须要是给定的，而且模型中各个部件的参数值都必须是给定的，不能含有未知数。参数给定后微分方程、系统函数等才能确定，才能使用该方法求解系统。所以，对于系统结果未知或者含有未知参数的系统，该方法不适用。2状态空间模型方法介绍21状态空间模型211状态空间模型概述状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由AKAIKE提出并由MEHRA进一步发展而成的典型相关CANONICALCORRELATION方法。由AOKI等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。212状态空间模型分类状态空间模型按所受影响因素的不同分为（1）确定性状态空间模型（2）随机性状态空间模型状态空间模型按数值形式分为（1）离散空间状态模型（2）连续空间状态模型213状态空间模型意义状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分趋势和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分COINTEGRATED过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，GRANGER提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。协调积分概念的提出具有两方面的意义如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化；如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。状态空间模型的假设条件是动态系统符合马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。214状态空间模型优点及其应用215状态空间模型特点（1）状态空间模型不仅能反映系统内部状态，而且能揭示系统内部状态与外部的输入和输出变量的联系。（2）状态空间模型将多个变量时间序列处理为向量时间序列，这种从变量到向量的转变更适合解决多输入输出变量情况下的建模问题。（3）状态空间模型能够用现在和过去的最小心信息形式描述系统的状态，因此，它不需要大量的历史数据资料，既省时又省力。216状态空间模型优点（1）状态空间模型是一种结构模型，基于状态空间分解模型的时间序列预测，便于分析者利用存在的统计理论对模型进行统计检验。（2）状态空间模型求解算法的核心是KALMAN滤波，KALMAN滤波是在时刻T基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程。当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，KALMAN滤波能够通过预测误差分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参数进行估计，并且当新的观测值一旦得到，就可以利用KALMAN滤波连续地修正状态向量的估计。22状态空间模型方法221理论方法空间状态模型的理论求解法如下连续系统的系统函数为5102712根据系统函数写出系统的微分方程712510（1）我们令12可以得到1200012272121510为了更加简便的计算我们写成如下的形式712510令12得到1200027212127212101001127010112701521011051201050（2）令21那么就得到711221107121012107121010511025101205100理论方法中的（2）是与MATLAB的求解方法一致，而方法（1）中的解则是与MATHEMATICA的状态空间函数的求解方法结果一致，两个求解方法之间有些细微的区别5。222MATLAB方法MATLAB方法就是我们上述介绍的SIMULINK中的第三种方法，是通过编程语句的形式来实现空间状态模型的建立的。如下示例NUM12系数从高到低排列DEN1712MYTFTFNUM,DEN构造传递函数A,B,C,DTF2SSNUM,DEN构造空间状态模型运行之后即输出四个矩阵A71210B10C12D0223MATHEMATICA方法传递函数构造法。在MATHEMATICA中使用传递函数必须有初值，所以传递函数无法直接求解系统的零输入响应。为了可以求解系统的零输入响应，我们就要通过传递函数来得到系统的状态空间模型。再去进一步的求解，用如下的方法程序CLEARMYTF,YHS_5S2/S27S12MYTFTRANSFERFUNCTIONMODELHS,SSSSTATESPACEMODELMYTFYZIT_STATERESPONSESS,5,2,0,T13STATESPACEMODEL求解LTI系统我们研究状态空间模型求解连续系统的方法是为了方便、快捷、高效率的去解决实际生活中的问题，因为实际生活中的系统往往是复杂的对于人工的求解是非常困难且费力的，所以我们从实际的问题出发去研究空间状态模型的算法，希望得到一个低成本高效率的方法去解决实际中复杂的连续系统。MATHEMATICA是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。MATHEMATICA的STATESPACEMODEL在求解LTI系统时方便快捷。31STATESPACEMODEL基本语法（1）STATESPACEMODELA,B,C,D表示状态矩阵为A、输入矩阵为B、输出矩阵为C和转移矩阵为D的状态空间模型（2）STATESPACEMODELA,B,C,D,E表示具有描述器矩阵E的描述器状态空间模型（3）STATESPACEMODELTFM给出正则（PROPER）TRANSFERFUNCTIONMODEL对象TF的状态空间实现（4）STATESPACEMODELF,G,X1,X10,U1,U10,给出通过或者关于,1,点的泰勒线性化而取得的状态空间模型0,0（5）STATESPACEMODELEQNS,X1,X10,X2,X20,U1,U10,U2,U20,Y,给出通过输出为Y、自变量为的常微分或者差分方程EQNS关于点的泰勒线0,0性化而取得的状态空间模型。（6）STATESPACEMODEL可以表示连续时间或者离散时间中的标量和多变量系统时间延迟可以用任意状态空间模型表示，通过在任意矩阵中使用SYSTEMSMODELDELAY由方程建模，并且具有状态控制输入,和输出的连续时间系统可以指定为STATESPACEMODELA,B,C,D由方程建模，并且具有状态控制输入,输出和采样周期的离散时间系统可以指定为STATESPACEMODELA,B,C,D,SAMPLINGPERIOD32求解思路及步骤使用STATESPACEMODEL的方法求解连续系统的时候不需要写出系统的微分方程。而是用系统函数对系统进行求解。该方法的出发点就是通过拉布拉斯变换将实际问题映射到S域中进行求解。求解步骤（1）用拉布拉斯变换写出系统的象域代数方程；（2）对信号源取拉布拉斯变换；（3）解代数方程，得到信号源与要研究对象的关系式；（4）写出系统函数；（5）求解零输入响应；（6）求解零状态响应；（7）得到完全响应；（8）画出各响应部分的图形。示例31如下图是一个三阶系统，利用上述方法对该系统进行分析。USTUT图21系统电路图这是一个比较复杂的三阶系统，为了便于分析我们要将电感以及电容等效为电阻，画出这个电路的简化等效线路图，如下图所示LSUSR1R31112USSR3R1LR3C2R3C1_图22S域等效电路图根据等效电路图得到各部分等效电阻为SCRE23112LEE213EERSC34EE节点的电压为131SURE节点的电压即为132121SUSEESHS传递函数（系统函数）为132RSE根据方法的思想步骤编写程序实现计算功能CLEAR“Y“,“T“,“S“,HR1,R2,R3,C1,C2,L10,70,1000,103,2103,01P,Q,R01,02,01RE1R3/1R3C2SRE2Z1R2LSRE3Z2/Z2C1S1U1RE3/RE3R1USU2RE1/RE2RE3/RE3R1USHS_SIMPLIFYU2/US33STATESPACEMODEL方法的优缺点及难点优点MATHEMATICA的空间状态模型求解方法解出来的系统解是解析解即可以得到解析函数的形式，所以可以直接得到系统随时间变化的规律与关系，对于系统的研究分析来说是非常方便简洁的。系统结构如果简单得到的解析解就会比较简单，分析起来更加的省时省力。缺点因为方法本身解的特点，也就是该方法计算出的解为解析解，所以导致状态空间模型方法只能够计算线性系统，不能够分析非线性系统。其自身的特点限制了方法的局限性。难点高阶系统的求解系统过程比较复杂，求解出来的结果的表达也很复杂，求解的结果可能是一大段的复函数，我们的系统是实参数的，所以求解出来的应该是实函数，如果是一大堆的复函数，那么对于这个复函数我们就需要通过人工的计算取出它的实部来，这样的难度是很大的，需要计算的部分会非常的多，这样反而造成了求解中的困难。4系统的响应41零输入响应连续系统的完全响应也可以分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态X0所引起的响应，用表示。在零输入条件下，微分方程的右端为零化为齐次方程即（41）000若其特征根均为单根，则其零输入响应（42）1式中为待定系数。由于输入为零，故初始值（43）000，0,1,1由给定的初始状态即可确定算式中的各待定系数6。42零状态响应零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的响应，用表示。这时微分方程仍然是非齐次方程，即（44）00初始状态。若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为00（45）1式中为待定常系数，为方程的特解。43完全响应如果系统的初始状态不为零，在激励的作用下，LTI系统的响应为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即关系如下图31所示系统的完全响应系统的完全响应外加激励源起始状态等效激励源共同作用的结果零输入响应零状态响应图31完全响应图解5STATESPACEMODEL算法设计51详细程序设计以示例31为求解问题设计算法。电路部件各参数分别为1103704100011032210301程序清单CLEAR“Y“,“T“,“S“,H清除定义的符号及其数值R1,R2,R3,C1,C2,L10,70,1000,103,2103,01P,Q,R01,02,01Z1R3/1R3C2SZ2Z1R2LSZ3Z2/Z2C1S1U1Z3/Z3R1USU2Z1/Z2Z3/Z3R1USHS_SIMPLIFYU2/USPLOTABSHI2PIF,05,F,0,10,PLOTRANGEALL,AXESLABEL“F/HZ“,“|HF|“,AXESORIGIN0,0FT_10COS2PITPI/45COS4PITPI/42COS20PITPI/42COS80PITPI/411COS200PITPI/4FS_LAPLACETRANSFORMFT,T,SPLOTFT,T,0,1,AXESLABEL“T/SEC“,“FT“TFUNTRANSFERFUNCTIONMODELHS,S连续系统传递函数模型SSSTATESPACEMODELTFUN连续系统状态空间函数模型YZIT_CHOPEXPANDOUTPUTRESPONSESS,P,Q,R,0,T1,106零输入PRINT“YZIT“,YZITPLOTYZIT,T,0,1,PLOTRANGEALL,AXESLABEL“T“,“YZIT“YZST_CHOPOUTPUTRESPONSETFUN,FT,T1/EXPANDALL,106PRINT“YZST“,YZSTPLOTYZST,T,0,1,PLOTRANGEALL,AXESLABEL“T“,“YZST“PLOTYZITYZST,T,0,1,PLOTRANGEALL,AXESLABEL“T“,“YT“52程序运行结果图51函数图如图51所示，是程序计算出的该三阶系统的系统函数以及经过传递函数方法创建的系统状态空间函数模型。图52通频带图由图52可以看出此三阶系统是一个低通滤波器，而且通频带很小，不到2HZ。超过2HZ的都逐渐开始衰减。留下的频率成分很小都是不超过2HZ的，超过2HZ的频率成分都舍去不要。图53系统输入信号如图53所示是这个三阶系统的输入信号，其中掺杂着很多高频成分，是个比较复杂的信号源。研究这个系统我们要对这个复杂的输入信号进行处理。图54零输入响应如图54所示是系统的零输入响应计算结果与零输入响应曲线图。此程序设计中我们是利用传递函数创建系统状态空间模型来对零输入状态进行求解的，因为本身传递函数是不能求解系统零输入响应的，传递函数初值不能为零。图55零状态响应图如图55所示是系统零状态响应曲线图，我们可以看出经过此低通滤波器，过滤掉高频成分之后的信号曲线看起来光滑了很多。我用程序设计的方法使这个三阶系统实现了自己低通滤波的功能，我们在实际的应用中也可以使用该系统对信号进行处理。图56全响应图如图56所示是系统的全响应曲线图，为零输入响应和零状态响应之和。53方法比较求解此系统的零状态响应除了我们程序中所用的方法之外还有一种方法可以求解，我们对这两种方法进行一个简单的比较。拉布拉斯逆变换的求解方法YZS2TINVERSELAPLACETRANSFORMHSFS,S,T/SIMPLIFYP1CHOPTAKEYZS2T,1,3,106P2SIMPLIFYTRIGREDUCEEXPTOTRIGYZS2TP1/CHOPPP1P2运行此方法我们得到的结果如下图所示图57计算结果图从图中我们可以看出，通过拉布拉斯变化的方法求解出来的结果是非常复杂的，含有大量的复函数，程序中我们没有办法对其结果惊醒简化，计算机无法识别其同类项。所以对于求解系统的零状态响应来说，我们还是倾向于状态空间模型的方法，求解起来更省时省力，得到的计算结果也更加的简单。6结束语本次毕业设计至此已经接近尾声，在这几个月的时间里，我通过利用MATLAB和MATHEMATICA强大的数据运算功能以及图像处理功能对于连续时间的复频域分析进行深入的研究。在整个设计过程中，我首先对于所学的基础信号知识进行温习巩固，比如傅立叶级数、时域采样、信号频谱分析等；其次，整个实现过程是通过MATLAB软件与MATHEMATICA软件完成的，MATLAB的图形功能十分强大，具有良好的设计平台，在此次设计过程中，我熟练了MATLAB的编程方法，掌握了很多函数的表示含义及使用方法；MATHEMATICA软件数学实现方法特别的强，并且内容丰富，操作简便。最后，通过此次毕业设计，我对设计所用到的软件有了更加深刻的认识，MATLAB与MATHEMATICA不仅在数值计算方面的功能十分强大，而且其图形仿真功能能够满足各个领域的需要，因此MATLAB与MATHEMATICA已经成为我们工作学习中不可或缺的软件。由于MATLAB与MATHEMATICA软件是专业性较强的软件，所以刚开始使用是比较困难的，通过老师的指导、翻阅了大量的相关资料，不能说已经通悟了MATLAB与MATHEMATICA应用，但是对一些基本知识还是有所了解的，在学习的过程中学习的过程中我们进一步对MATLAB与MATHEMATICA编程中的常用语句、过程已经初步掌握。这次毕业设计，使我