高等数学-微积分12下16

第三节格林公式及其应用一、基本概念1）单连通区域和复连通区域若区域内的任意闭曲线所围成的区域都属于，则DD称为单连通区域。（形象地理解就是区域内没有洞）若区域内有某一条闭曲线所围成的区域内有不属于的点，则称为复连通区域。（形象地理解就是区域DD内有洞）2）区域边界曲线的方向L平面区域其边界曲线为，对于取定的方向，如果DL沿此方向行走时，区域总在左侧，则称此方向为正方向；如果沿此方向行走时，区域总在右侧，则称此方D向为负方向。二、格林公式定理设闭区域有分段光滑的曲线围成，函数DL在上具有一阶连续的偏导数，则有YXQP,LDQDYPXDYX其中是取正向的边界曲线。L证明我们只需分别证明LDQDYXLDPDXY我们证明式1）如果是型区域即YYXYBA21,BAYBADDQDXQDXQ,221ABBAABCLYYY,12DBADXYQ,222）如果不是型区域D把分割成若干个型区域Y321,321DDDDDXYQDXYDXYQDX3）如果为复连通区域类似证明。LDPDXY注1当时，（其中是取QP,LDYDX2LD正向的边界曲线）例1计算曲线积分，其中LDYXLNXYDX222是圆并取逆时针方向。L412YX解设22LN,YXXYQXP,2YX232221YXYXYXYXQDLDPQDD2LN（利用对称性积分区域关于轴对称。被积041X32YX函数是的奇函数）例2计算，其中为曲线，LXXDYEDYESINCOS1LXYSIN从到的方向。0,O,A解添加辅助线段，取从到的方向，设O0,A,O，则YEQYEPXXSIN,COS1YXXI,IN02SIN0SINSINCO1SICOS1DXEYDEXDYYDEDEXOAXXDXL512COI40XX注意第二个等号前的负号，是因为曲线取的是负方向。点评此题若用计算第二类曲线积分的一般方法去做比较麻烦，如果利用格林公式把它转化成二重积分，则计算比较简便。但在利用格林公式时要注意以下几点1）积分路径要是封闭曲线；如果不是，要添加辅助线构成封闭曲线后才能用公式，如例2；2）函数在闭曲线所围成的闭区域内偏导数存在；QP,3）要特别注意积分曲线所选定的方向。例3计算，其中为一条无重点，LYXD2L分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，的方向为逆时针方向，围成的区域为。D解1）在的外面。0,D2222YXYYXX,0DD2LYD2）在的内部，0,在的内部作圆从变到。RSINYCOXC20利用格林公式C22YXDXDL02C22YYXDL三、第二型曲线积分与路径无关的条件设开区域是一个单连通区域，函数在内具GYXQP,G有一阶连续偏导数。为内任意两点，是内从BA,G21L到的任意两条光滑曲线，如果AB21LLDYPXDYX在内恒成立，则称曲线积分在内与路径无关。GLQGXYOLDXYOLD定理2设开区域是一个单连通区域，函数GYXQP,在内具有一阶连续偏导数，则以下四条件等价G1）沿内任意一条分段光滑闭曲线的曲线积分C。CQDYPX02）曲线积分在内与路径无关。LDYXG3）在内为某一函数的全微分。GP,YXU,4）等式在内恒成立。XQY证明1）推出2）；2）推出3）设为内固定点，为内任意点，设0,YXMGYXM,G,YXDT,SQTSP,U0因为积分与路径无关，我们可以选折线来积分M0A的参数方程为，其中从变到Y；的参TXS0T0AM数方程为其中从变到YTS0XXYDSYPDTQXU00,类似可证明，所以XPU,Y,DYXQXPDUYD,3）4）具有二阶连续偏导数的函数的混合偏导数相等4）1）利用格林公式。例4计算曲线积分，其中为沿摆线LXDYDEYSIN32LST00Y,XM,AO从点到点的弧。（00华）TYXCOS1IN0,O2,A解，YSINXQ,XEP33222XQ,XP所以此曲线积分与路径无关。XLXDEYDSINYDSINDEY0220323XEICOESINCO332030四、势函数的概念及其求法（二元函数的全微分求积）例5验证在整个平面内是某一函数DYXDEYXXSIN332XOY的全微分，并求出。U,U,解设YXYQXEYXPSIN,32因为在整个平面上成立，所以在整个平面223YOXOY内是某一函数的全微分,且DYXDEXXSIN32YXU方法一XXDYDEU,03