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第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数在的某邻域内有YXF,00YXP连续的偏导数，且，则方程,0Y在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连0,YXF0,YX续且具有连续导数的函数，他满足条件，并XF0XFY且YXFD说明无妨设，代入方程得XFY0,XF两边关于求导得，所以。X0DXYFYXFD例1设确定了关于的函数，求。SIN2EYX2,DXY解方法一、方程两边关于求导得XYEDYXYEDXYXCOS202COS2方法二、设SIN,FX，2YEXYY2COYXEFDYCOS22隐函数定理2设函数在的某邻域内ZX,00ZP有连续的偏导数，且，,00YXYZ则方程在点的某一邻域内能唯一确0,ZYXF00,ZYX定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，他YXF,满足条件，并且00,YXFZ,ZXFZYF说明把代入方程得YXF,0,Y,XF两边关于求偏导数，所以；X0ZFYXZXF同理可得。ZYF例2设方程确定了一个关于0COSCOS222ZXZYX,的函数，求。YZZ,解方法一、方程两边关于求导得XZZXZ2SIN02SINI方程两边关于求导得YZYZZ2SIN02SINI方法二、设ZXYXF2COSCO,ZYXSISI,2SINZYFZXZZYZX2IN,IZYXYXSICO2SIN2ZYX2SINCOT二、方程组的情形隐函数定理3设在点VUYXGVUYXF,的某个邻域内具有对各个变量的连续偏000,VUYXP导数，且，其偏导数0,0,00VYX组成的函数行列式（JACOBI行列式）VUGFVJ,在点处不为零，则方程组可000,VUYXP0,UYX在点的某邻域内能唯一确定单值连续且有000,连续偏导数的函数它们满足YXVYXU,并且000,VYXUJGFYVJGFXVJYUJXUYUXUVYVX,说明把函数代入方程组,得0,VUYXGF0,YXVUYXGF方程两边对求导得0YVGUFYY解方程组可得所证结论。类似考虑关于的偏导数。X例3设由确定了关于的函数，2122VUYXVU,Y,求。VU解方法一、方程组两边关于求导得X20211XVUX（2）（1）得U2VV（2）（1）得VUXX2方法二、利用全微分的不变性，有20221VDUYDX得，所以V21YXVUVU,得，所以U21DYXVDVUU,例4设函数而是由方程所确定的TXFY,0,TYXFYX,的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明FTYTXXFD证明方法一、对方程组两边关于求导得0,TYXFFX201DXTYFDXT得，所以TTFF21TYFFFFTTXTTYTXXFD方法二、利用全微分的不变性，有201DTFYDXF得，所以TTFF21DXFYFXFTTTTTYTFDX例5设方程确定了关于的函数，0,22ZFZYX,具有
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