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2007年全国高中数学联赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、在正四棱锥PABCD中，APC60，则二面角APBC的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）71712122、设实数A使得不等式对任意实数X恒成立，则满足条件的2|2|3|XAAA所组成的集合是（）（A），（B），（C），（D）1，11311433、将号码分别为1，2，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为A，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为B，则使不等式成立的事件发生的概率等于（）0AB（A）（B）（C）（D）5281598160816184、设函数，若实数A，B，C使得对3SIN2COSFXX1FXBFC任意实数X恒成立，则的值等于（）BA（A）（B）（C）1（D）11225、设和是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则P的圆心轨迹不可1O能是（）（A）（B）（C）（D）6、已知A与B是集合1，2，3，100的两个子集，满足A与B的元素个数相同，且为空集。若时，总有，则集合的元素个数最多为（N2N）（A）62（B）66（C）68（D）74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系内，有四个定点A（3，0），B（1，1），C（0，3），D（1，3）及一个动点P，则|PA|PB|PC|PD|的最小值为。8、在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF1，BC6，CA，若3，则与的夹角的余弦值等于。2ABECFEC9、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个23球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。10、已知等差数列的公差D不为0，等比数列的公比Q是小于1的正有理数，NANB若，且是正整数，则Q等于。21,ADB213B11、已知函数，则的最小值为。SINCOS2154XFXFX12、将2个A和2个B共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设，求证当正整数时，。1NKA2N1NA14、已知过点（0，1）的直线L与曲线交于两个不同点M、N，10CYX求曲线C在点M、N处的切线的交点轨迹。15、设函数对所有的实数X都满足，求证存在4个函数FX2FFX（I1，2，3，4）满足FX（1）对I1，2，
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