高中数学大纲版1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念_第1页
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132奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1若奇函数FX在X0处有意义，则F0是什么【提示】由奇函数定义，FXFX，则F0F0，F002奇偶函数的定义域有什么特点这种特点是怎样影响函数的奇偶性的【提示】1偶函数奇函数的定义中“对D内任意一个X，都有XD，且FXFXFXFX”，这表明FX与FX都有意义，即X、X同时属于定义域因此偶奇函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数3函数FX的定义域为X|X3；定义域不关于原点对称，函数FX既不是奇函数也不是偶函数判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法定义法若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断FX是否等于FX，或判断FXFX是否等于0，从而确定奇偶性图象法若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于Y轴对称，则函数为偶函数另外，还有如下性质可判定函数奇偶性偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇偶数个奇函数的积、商分母不为零为奇偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数注利用以上结论时要注意各函数的定义域3XR，FX|X2|X2|X2|X2|X2|X2|FX，FX是奇函数【思路点拨】由题目可获取以下主要信息已知函数为分段函数；判断此函数的奇偶性解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明【解析】1当X0FXX2X1，X2X1X2X1FX2当X0时，X0时，FX满足FXX2X1，X0时，X0FXX2X2FX当X0时，FX0FXFX是偶函数已知函数FX不恒为0，当X、YR时，恒有FXYFXFY求证FX是奇函数【思路点拨】令XY0求F0令YXFXFX结论【证明】函数定义域为R，其定义域关于原点对称FXYFXFY，令YX，则F0FXFX，再令XY0，则F0F0F0，得F00，FXFX，FX为奇函数抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所给条件，想法寻找FX与FX之间的关系，此类题目常用到F0，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把F0求出来3本例中，若将条件“FXYFXFY”改为FXYFXY2FXFY，其余不变，求证FX是偶函数【证明】令X0，YX，则FXFX2F0FX又令XX，Y0得FXFX2FXF0得FXFXFX是偶函数1准确理解函数奇偶性定义1偶函数奇函数的定义中“对D内任意一个X，都有XD，且FXFXFXFX”，这表明FX与FX都有意义，即X、X同时属于定义域因此偶奇函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件存在既是奇函数又是偶函数的函数，即FX0，XD，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集2函数
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