高中数学新人教a版必修5全套教案第章 解三角形第章 解三角形课题 1．1．1正

内容高中数学新人教A版必修5全套教案第章解三角形第章解三角形课题111正高中数学新人教A版必修5全套教案第一章解三角形课题111正弦定理教学目标知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法让学生从已有的几何知识出发共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程课题导入如图111，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来CB讲授新课探索研究（图111）在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图112，在RTABC中，设BCAACBABC根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又A则BC从而在直角三角形ABC中，CAB（图112）思考那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况如图113，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD则，C同理可得，BA从而ACB（图113）思考是否可以用其它方法证明这一等式由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）过点A作，C由向量的加法可得则AB，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数K使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1在中，已知，CM，解三角形。解根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知CM，CM，解三角形（角度精确到，边长精确到1CM）。解根据正弦定理，因为，所以，或当时，当时，评述应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第5页练习第1（1）、2（1）题。补充练习已知ABC中，求（答案123）课题112余弦定理教学目标知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程课题导入C如图114，在ABC中，设BCAACBABC已知AB和C，求边CBAACB（图114）讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图115，设，那么，则CB从而（图115）同理可证于是得到以下定理余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即思考这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系（由学生总结）若ABC中，C，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例1在ABC中，已知，求B及A解COS求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理解法一COS解法二SIN又，即评述解法二应注意确定A的取值范围。例2在ABC中，已知，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）解由余弦定理的推论得COS；COS；课堂练习第8页练习第1（1）、2（1）题。补充练习在ABC中，若，求角A（答案A120）课题113解三角形的进一步讨论教学目标知识与技能掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程课题导入创设情景思考在ABC中，已知，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。讲授新课探索研究例1在ABC中，已知，讨论三角形解的情况分析先由可进一步求出B；则从而1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，则符合题意的B的值有_个。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求X的取值范围。（答案（1）有两解；（2）0；（3）例2在ABC中，已知，判断ABC的类型。分析由余弦定理可知（注意）解，即，。随堂练习2（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（答案（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3在ABC中，面积为，求的值分析可利用三角形面积定理以及正弦定理解由得，则3，即，从而课堂练习（1）在ABC中，若，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为A、B、C，且三角形的面积，求角C（答案（1）或；（2）课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。课后作业（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）设X、X1、X2是钝角三角形的三边长，求实数X的取值范围。（3）在ABC中，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3CM，5CM它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。课题22解三角形应用举例第一课时教学目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形2、设置情境请学生回答完后再提问前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55M，BAC，ACB。求A、B两点的距离（精确到01M）启发提问1ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当启发提问2运用该定理解题还需要那些边和角呢请学生回答。分析这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解根据正弦定理，得AB657（M）答A、B两点间的距离为657米变式练习两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于AKM灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少老师指导学生画图，建立数学模型。解略AKM例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CDA，并且在C、D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA，在ADC和BDC中，应用正弦定理得ACBC计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB分组讨论还没有其它的方法呢师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60略解将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB20评注可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。课堂练习课本第14页练习第1、2题课时小结解斜三角形应用题的一般步骤（1）分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课后作业课本第22页第1、2、3题板书设计授后记课题22解三角形应用举例第二课时教学目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程课题导入提问现实生活中人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢今天我们就来共同探讨这方面的问题讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CDA，测角仪器的高是H，那么，在ACD中，根据正弦定理可得ACABAEHACHH例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角54，在塔底C处测得A处的俯角50。已知铁塔BC部分的高为273M求出山高CD（精确到1M）师根据已知条件大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢生需求出BD边。师那如何求BD边呢生可首先求出AB边，再根据BAD求得。解在ABC中BCA90ABC90BACBAD根据正弦定理所以AB解RTABD中得BDABSINBAD将测量数据代入上式得BD177（M）CDBDBC177273150（M）答山的高度约为150米师有没有别的解法呢生若在ACD中求CD，可先求出AC。师分析得很好，请大家接着思考如何求出AC生同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）例3、如图一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上行驶5KM后到达B处测得此山顶在东偏南25的方向上仰角为8求此山的高度CD师欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢生在BCD中师在BCD中，已知BD或BC都可求出CD根据条件易计算出哪条边的长生BC边解在ABC中A15C251510根据正弦定理BC74524（KM）CDBCTANDBCBCTAN81047（M）答山的高度约为1047米课堂练习课本第17页练习第1、2、3题课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。课后作业课本第23页练习第6、7、8题为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20M的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少M答案20（M）课题22解三角形应用举例第三课时教学目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程课题导入创设情境提问前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢今天我们接着探讨这方面的测量问题。讲授新课范例讲解例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行675NMILE后到达海岛B然后从B出发沿北偏东32的方向航行540NMILE后达到海岛C如果下次航行直接从A出发到达C此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离（角度精确到01距离精确到001NMILE）学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解在ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，AC11315根据正弦定理SINCAB03255所以CAB19075CAB560答此船应该沿北偏东561的方向航行需要航行11315NMILE例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30M，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10M至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。师请大家根据题意画出方位图。生上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，ACBC30，ADDC10，ADC1804，。因为SIN42SIN2COS2COS2得23015，在RTADE中，AEADSIN6015答所求角为15，建筑物高度为15M解法二（设方程来求解）设DEX，AEH在RTACE中（10X）H30在RTADE中XH（10）两式相减，得X5H15在RTACE中TAN223015答所求角为15，建筑物高度为15M解法三（用倍角公式求解）设建筑物高为AE8，由题意，得BAC，CAD2，ACBC30MADCD10M在RTACE中，SIN2在RTADE中，SIN4得COS223015，AEADSIN6015答所求角为15，建筑物高度为15M例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追需要多少时间才追赶上该走私船师你能根据题意画出方位图教师启发学生做图建立数学模型分析这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解如图，设该巡逻艇沿AB方向经过X小时后在B处追上走私船，则CB10XAB14XAC9ACB（14X）9（10X）2910XCOS化简得32X30X270，即X或X（舍去）所以BC10X15AB14X21又因为SINBACBAC38或BAC141（钝角不合题意，舍去），3883答巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过14小时才追赶上该走私船评注在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课题22解三角形应用举例教学目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教学过程课题导入创设情境师以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为H、H、H，那么它们如何用已知边和角表示生HBSINCCSINBHCSINAASINCHASINBBSINAA师根据以前学过的三角形面积公式SAH应用以上求出的高的公式如HBSINC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，SABSINC，大家能推出其它的几个公式吗生同理可得，SBCSINASACSINB师除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢生如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解讲授新课范例讲解例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到01CM）（1）已知A148CMC235CMB1485；（2）已知B627C658B316CM；（3）已知三边的长分别为A414CMB273CMC387CM分析这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解（1）应用SACSINB，得S148235SIN1485909（CM）（2）根据正弦定理，CSBCSINABA180（BC）180（627658）515S31640（CM）（3）根据余弦定理的推论，得COSB07697SINB06384应用SACSINB，得S414387063845114（CM）例2、如图在某市进行城市环境建设中要把一个三角形的区域改造成室内公园经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68M88M127M这个区域的面积是多少（精确到01CM）师你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗生本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解设A68MB88MC127M根据余弦定理的推论，COSB07532SINB06578应用SACSINBS6812706578284038（M）答这个区域的面积是284038M。例3、在ABC中，求证（1）（2）2（BCCOSACACOSBABCOSC）分析这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明（1）根据正弦定理，可设K显然K0，所以左边右边（2）根据余弦定理的推论，右边2（BCCAAB）（BCA）（CAB）（ABC）ABC左边变式练习1已知在ABC中，B30B6C6求A及ABC的面积S提示解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案A6S9；A12S18变式练习2判断满足下列条件的三角形形状，ACOSABCOSBSINC提示利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”师大家尝试分别用两个定理进行证明。生1（余弦定理）得ABC根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2（正弦定理）得SINACOSASINBCOSBSIN2ASIN2B2A2BAB根据边的关系易得是等腰三角形师根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢生第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为SIN2ASIN2B有可能推出2A与2B两个角互补，即2A2B180，AB90（2）（解略）直角三角形第二章数列课题21数列的概念与简单表示法（第1课时）教学目标知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程课题导入三角形数1，3，6，10，正方形数1，4，9，16，25，讲授新课数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列注意数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第N项，例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项数列的一般形式，或简记为，其中是数列的第N项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系这一关系可否用一个公式表示（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系项序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式来表示其对应关系即只要依次用1，2，3代替公式中的N，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系数列的通项公式如果数列的第N项与N之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是数列通项公式的作用求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集1，2，3，N）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数YF（X）如果F（I）（I1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列F（1）、F（2）、F（3）、F（4），F（N），6数列的分类1）根据数列项数的多少分有穷数列项数有限的数列例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列项数无限的数列例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分递增数列从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列各项相等的数列。摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列范例讲解课本P3435例1课堂练习课本P36练习3、4、5补充练习根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式（1）3591733；（2）；（3）010101；（4）133557799；（5）2612203042解（1）2N1；（2）；（3）；（4）将数列变形为1021304150617081N；（5）将数列变形为1223344556，（1）N（N1）课时小结本节课学习了以下内容数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前N项求一些简单数列的通项公式。课题21数列的概念与简单表示法（第课时）教学目标知识与技能了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前N项和与的关系过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教学过程课题导入复习引入数列及有关定义讲授新课数列的表示方法通项公式法如果数列的第N项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一自上而下第1层钢管数为4；即1413第2层钢管数为5；即2523第3层钢管数为6；即3633第4层钢管数为7；即4743第5层钢管数为8；即5853第6层钢管数为9；即6963第7层钢管数为10；即71073若用表示钢管数，N表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且N7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循（启发学生寻找规律）模型二上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；依此类推（2N7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前N项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法用表示第一项，用表示第一项，用表示第项，依次写出成为4、列表法简记为范例讲解例3设数列满足写出这个数列的前五项。解分析题中已给出的第1项即，递推公式解据题意可知，补充例题例4已知，写出前5项，并猜想法一，观察可得法二由即课堂练习课本P36练习2补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式（1）0（2N1）（NN）；（2）1（NN）；（3）332（NN）解（1）014916（N1）；（2）1；（3）3127121912551216312123；课时小结课题22等差数列（第1课时）教学目标知识与技能了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点等差数列的性质教学过程课题导入创设情境上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P41页的4个例子0，5，10，15，20，25，48，53，58，6318，155，13，105，8，5510072，10144，10216，10288，10366观察请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征共同特征从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列讲授新课1等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“D”表示）。公差D一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列若D（与N无关的数或字母），N2，NN，则此数列是等差数列，D为公差。思考数列、的通项公式存在吗如果存在，分别是什么2等差数列的通项公式【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是D，则据其定义可得即即即由此归纳等差数列的通项公式可得已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差D，便可求得其通项。由上述关系还可得即则即等差数列的第二通项公式D范例讲解例1求等差数列8，5，2的第20项401是不是等差数列5，9，13的项如果是，是第几项解由N20，得由得数列通项公式为由题意可知，本题是要回答是否存在正整数N，使得成立解之得N100，即401是这个数列的第100项例3已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列若是，首项与公差分别是什么分析由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（N2）是不是一个与N无关的常数。解当N2时（取数列中的任意相邻两项与（N2）为常数是等差数列，首项，公差为P。注若P0，则是公差为0的等差数列，即为常数列Q，Q，Q，若P0则是关于N的一次式从图象上看表示数列的各点均在一次函数YPXQ的图象上一次项的系数是公差直线在Y轴上的截距为Q数列为等差数列的充要条件是其通项PNQ（P、Q是常数），称其为第3通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。课堂练习课本P45练习1、2、3、4补充练习1（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项分析根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项解根据题意可知3D734该数列的通项公式为3（N1）4即4N1（N1NN）44115410139评述关键是求出通项公式（2）求等差数列10，8，6，的第20项解根据题意可知10D8102该数列的通项公式为10（N1）（2）即2N122201228评述要注意解题步骤的规范性与准确性（3）100是不是等差数列2，9，16，的项如果是，是第几项如果不是，说明理由分析要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数N值，使得等于这一数解根据题意可得2D927此数列通项公式为2（N1）77N5令7N5100解得N15100是这个数列的第15项（4）20是不是等差数列0，3，7，的项如果是，是第几项如果不是，说明理由解由题意可知0D3此数列的通项公式为N令N20解得N因为N20没有正整数解，所以20不是这个数列的项课题22等差数列（第课时）教学目标知识与技能明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。过程与方法通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。情感态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学过程课题导入首先回忆一下上节课所学主要内容1等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即D，（N2，NN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“D”表示）2等差数列的通项公式（或PNQ（P、Q是常数）3有几种方法可以计算公差DDDD讲授新课问题如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件由定义得AA，即反之，若，则AA由此可可得成等差数列补充例题例在等差数列中，若97求分析要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手解AN是等差数列99972D725（94）D75532232范例讲解课本P44的例2解略课本P45练习5已知数列是等差数列（1）是否成立呢为什么（2）是否成立据此你能得到什么结论（3）是否成立你又能得到什么结论结论（性质）在等差数列中，若MNPQ，则，即MNPQ（MNPQN）但通常由推不出MNPQ，探究等差数列与一次函数的关系课堂练习1在等差数列中，已知，求首项与公差2在等差数列中若求课题33等差数列的前N项和（第1课时）教学目标知识与技能掌握等差数列前N项和公式及其获取思路；会用等差数列的前N项和公式解决一些简单的与前N项和有关的问题过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平情感态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。教学重点等差数列N项和公式的理解、推导及应教学难点灵活应用等差数列前N项公式解决一些简单的有关问题教学过程课题导入“小故事”高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时有一次老师出了一道题目老师说“现在给大家出道题目12100”过了两分钟正当大家在123；336；4610算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说“1231005050。教师问“你是如何算出答案的高斯回答说因为1100101；299101；5051101，所以101505050”这个故事告诉我们（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。（2）该故事还告诉我们求等差数列前N项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。讲授新课1等差数列的前项和公式1证明由此得从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2等差数列的前项和公式2用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式1即得此公式要求必须已知三个条件（有时比较有用）范例讲解课本P4950的例1、例2、例3由例3得与之间的关系由的定义可知，当N1时，；当N2时，即课堂练习课本P52练习1、2、3、4课时小结本节课学习了以下内容1等差数列的前项和公式12等差数列的前项和公式2课题23等差数列的前N项和（第课时）教学目标知识与技能进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前N项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值；过程与方法经历公式应用的过程；情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。教学重点熟练掌握等差数列的求和公式教学难点灵活应用求和公式解决问题教学过程课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容1等差数列的前项