振动力学课后答案

18图示为一周期性方波。（1）将它展成傅里叶级数；（2）比较（1）的级数与例11中的级数，你观察到方波相位前移1/4周期时有什么效应解一个周期内函数PT可以表示为0PT由于区间0，T内关于堆成，一周内面积为0，故0。T2T0A2COSTTNTAXND320223COSCOSPTNTDNTD32220302SINSININ04PN2SITTNTBXTD320223INSINSINPTTDTD02220302COSCOCONNN图示方波的傅里叶级数展开式为011,34SINCOS2TNNPPATT04COS53TTT比较例11，可以得到相位前移1/4周期后，傅里叶级数的每一项函数由奇函数变为偶函数，但各分量的幅值不变。32,TT为奇数为偶数28求图所示的系统的固有频率，其中钢丝绳的刚度为K1滑轮质量忽略不计。解对于系统，钢绳等效为弹性系数为K1的弹簧。则每个弹簧的变形分别为1MGK24K3MG总变形1231234K系统等效刚度为12323124EMGKKK系统的固有频率为12323124ENKK227一个有阻尼的弹簧质量系统，质量是10KG，弹簧静伸长时1CM，自由振动20个循环后，振幅从064CM减至016CM，求阻尼系数C。解由幅值121064,06,ACM代入减幅公式（265）得到12020124NTAE两边求对数，12LN40T由于振动衰减的很慢，一定很小，所以，而LN402CSMG所以LN4138691206/0SGCMNS314对于图示系统，证明（1）时，摆杆的中点是节点N，在单摆振动时N点2N始终不动；（2）一般情况下，摆锤至节点N的距离为。2NBL证明（1）由于微幅振动中偏角的变化规律为，其中，2SIN1ATLNGL当时，NGL2节点N的位移可表示为NX2SINSIN21SLLAATT01IT即，当时，摆杆中点N在摆动中始终不动。2N（2）一般情况下，节点N的位移为X2SISIN1NSAXBATBTL2IN1TL则不动点N的位移0NX即，21BL21NBL2NBL摆锤至节点的距离2333求零初始条件下的无阻尼系统对图所示激振力的响应。解图示函数可以表示为01TPT当时，1T0SINTTNXPTDM1TNT001SISITTNNNDTDCOTTPM0011SSINTNPTTDKK利用分步积分法，求解后一项UDVVU令，则TSINT1COSNTD0ITNT01COSTTNNTA1SISINNNNTTTT0011SINITNPPTDTTKK011SICOTNNXTT1T当时，由于激振力已经消除，系统将以时刻时的位移和速度作11TTXTX为初始条件做自由振动。011SINCOTPTXTK1CITNT由公式（214）代入整理得到111OSSINTTTNXXTT01IICSNTNPXKT1T410如图所示，刚性杆AB质量不计，按图示坐标建立系统运动微分方程，并求出固有频率和相应的主振型。解当M下降单位长度时，根据系统受力平衡和M所受力矩为零得解得同理得120KKLL1254K2154K系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为0MMKK由得微分方程0MXK11220504XXK系统的特征矩阵为2254KPBM由频率方程得22540KPMK4221590KP解得，216856M固有频率为，17KP208KP特征矩阵的伴随矩阵254ADJBKP将固有频率值代入，得主振型，1065210875429试确定题417的系统对作用于质量M1和质量M4上的阶跃力的响应。14P解作用力方程为11223344000XXMKK令主振动为，代入得1234SINEEXT2122234000EEKMKMK令方程可写成（2）2,K1234100210EE求得特征方程为，2344160解出，1230,2于是四个固有频率为12340,2KKKMMM为求主振型，先将代入（2），得到下列方程组101232430EEEE显然，令解得。1,E234,1EEE同样将分别代入（2）得到四个主振型为234。12341121,1振型矩阵。2211则求得12,TPPM40023143657PMM系统的正则振型为0567050213276由题意，施加的作用力为0PT将作用力变换到正则坐标下1004TTPRTPTM由得IRT，其中。23231COS41COSMTTKPXTTTKM32KM512根据由位移方程得到的瑞利商，推导里兹法的矩阵特征值问题的另外TFXMR一种形式为。20MLA解里兹法中，系统的主振型假设为，12SXAA其中是以个线性独立的假设振型作为列组成的阶矩阵，DSN12,SD是维常数列向量，主振型可写为AS12,TSA将上式代入由位移方程求得的瑞利商中，得到,（1）2TTFADMARXFL式中TMDTL由于在系统的真实主振型处取驻值，所以的各元素应当从下列方程中确定FRXA0IRX1,2IS于是有210TTTTTIIALMAAL1,2IS由式（1）上式可写为（2）2TTII,I算出2TTTTTIIIIIAAAMAE1,IS其中是阶单位阵的第列，上面个方程可合写为IESSIS（3）2TA其中表示将函数分别对的各个元素依次求偏导，然后排成列向量，同样可得到A（4）2TAL相应的，式（2）可表示为，将（3）和（4）代入得0TMA2618一根简支梁在T0时刻梁上所有的点除去两端点以外都得到横向速度V，求梁的响应。解两端简支的等截面梁边界条件为,。0Y0YL0L代入1234COSINXCXXCCHSX得到，134ILL所以梁的固有频率22IIEJALA1,2I主振型SINSIIXYXCXL,I将主振型代入归一化条件，得系数220I1LILDCL2IAL梁的初始条件，0TYTYV正则坐标的初始条件为0LJJAYXD02LJJVVALI1,35I因没有激振力，正则广义力为0，SNJJJTT于是梁的自由振动为11212,SINSINIIIIXVYXTYXTALTAL2331,4SNCOIIVLXTAL72图示四边简支的矩形板受到均匀分布力P0（P0为常数）的作用而产生静变形，若T0时分布力P0突然移去，试求薄板的自由振动。解四边简支矩阵板的边界条件为；200XXW20XAXAW；。2YY2YBYB代入（737）所假设的主振型，可以得到四边简支的矩形板主振型为,SINIIJJXJYAAB固有频率20,IJDIABH将主振型归一化2,0SINIABIJJXJYHWDXYAAB222,00SINSINABIJXJYHADD2,14IJB系数,4IJAHAB初始条件；。0,XYP0T正则坐标的初始条件,0,2,1RSRSRSHPW