线性代数技巧行列式的计算方法

计算N阶行列式的若干方法举例N阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例1计算行列式010210NDN解DN中不为零的项用一般形式表示为121NNNNAA该项列标排列的逆序数T（N1N21N）等于，故12N12NND2利用行列式的性质计算例2一个N阶行列式的元素满足NIJDA,1,2,IJJIAJN则称DN为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零证明由知，即IJJIAIIA0,12,IN故行列式DN可表示为1213112223233123000NNNNNNAAAA由行列式的性质A123123312300NNNAAD123123312300NNNNAAAAD当N为奇数时，得DNDN，因而得DN03化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算N阶行列式ABBDBA解这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，N列都加到第1列上，行列式不变，得11ANBBADANBA1BBA00BAANAB1NANB4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算N阶行列式001001NADA解将DN按第1行展开10000000NNAADAA12NNNAA2NN5递推公式法递推公式法对N阶行列式DN找出DN与DN1或DN与DN1,DN2之间的一种关系称为递推公式（其中DN,DN1,DN2等结构相同），再由递推公式求出DN的方法称为递推公式法。例5证明122110000NNNXDXAAA121,2NNNXXAX证明将DN按第1列展开得123210000NNNNXXAAA10101NXAX1NNAXD由此得递推公式，利用此递推1NNNDAX公式可得112NNNNNNDAXAXXD21NN1NNNAXAX6利用范德蒙行列式例6计算行列式122212121211NNNNNNNXXXDXXX解把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第N1行的1倍加到第N行，便得范德蒙行列式1222111121NIJNIJNNNXXDXXX例2计算阶行列式1N12111122222121111NNNNNNNNNNABABABBDABABAB其中1210NA解这个行列式的每一行元素的形状都是，NKIIAB0，1，2，N即按降幂排列，按升幂排列，KIAIB且次数之和都是N，又因，若在第I行0I（1，2，N）提出公因子，则D可化为一个INI转置的范德蒙行列式，即2111222121221111111NNNNNNNNNJIIIJINIJIJIJJINBBAADABBAAABA7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算N阶行列式121212NNNNXAAXDAXA解10NND（箭形行列式）12002,10NIAAXNX第行减第1行1200NJNAAXX1NJAX例3计算N（N2）阶行列式，123111NNADA其中120NA解先将添上一行一列，变成下面的阶行列ND1式112101NNAA显然，将的第一行乘以后加到其余各1ND1N行，得11210NNAA因，将上面这个行列式第一列加第I（，0IA2）列的倍，得1N1I11221212110000NINNNINNIAAAAAA，故121NNIDAA8数学归纳法例8计算N阶行列式1221100NNXDXAA解用数学归纳法当N2时2121XDXAA212XA假设NK时，有121KKKKDXAXAX则当NK1时，把DK1按第一列展开，得11KXA11KKKXA12X由此，对任意的正整数N，有121NNDXAXA9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9计算行列式ND1212NNAA解ND1212NNAA20NAA20NAA1D121NA121NIA例4计算N（N2）阶行列式11212212NNNNNXYXYD解将按第一列拆成两个行列式的和，即N121112122212NNNNNNNXYXYXYXYD再将上式等号右端的第一个行列式第I列（，3，N）减去第一列的I倍；第二个行列2I式提出第一列的公因子，则可得到1Y1212122212211222NNNNNNNNNNXYXYXYDXXYYN当N3时，0ND当时，22121XY上面介绍了计算N阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。第1讲计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式这一讲，我们将介绍一些常用的方法1化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，0AB的行列式的结果如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第I行（列）与第JIJIJ行（列）；用表示将行列式第J行（列）的K倍加到第I行（列）；用IKJ表示将第I行（列）乘以非零的数CCI例1计算行列式12313795045612D解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算23145234223100452131040252131042D43525241310402613104026121例5计算N阶行列式1231231NNAADAAA解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此N列之和全同将第2，3，N列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是112231223321231112,2,111NNNNNNINNIIIINAAADAAAAA211001NNIIAA例6计算阶行列式2111122221211NNNNNNABABD其中1210NA解这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，N即按降幂NKIABIA排列，按升幂排列，且次数之和都是N，又因，若在第I行（1，2，N）提IBI出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即NIA21112221212111111NNNNNNNJIIJINIJIJJIBBAADABBAAAB2降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算例7计算N（N2）阶行列式1001ADA解按第一行展开，得100000NADAA再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到112221NNNNA3拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和例8计算N（N2）阶行列式11212212NNNNNXYXYD解将按第一列拆成两个行列式的和，即N121112122212NNNNNNNXYXYXYXYD再将上式等号右端的第一个行列式第I列（，3，N）减去第一列的I倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到1Y1211212222211222NNNNNNNNNNXXYXYDYXXYN当N3时，0ND当时，22121XY例9计算N阶行列式，（）NAAXDAX0解将第一行的元素都表成两项的和，使变成两个行列式的和，即N0000NXAAXDAAXXAXAAX将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得100NXAAXDXA这里是一个与有相同结构的阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各1NDN1N行，得102NAAAAXXAXAAX于是有11NNNDA（1）另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和N00XAA仿上可得11NNNDXXA（2）将（1）式两边乘以，（2）式两边乘以，然后相减以消去，得XA1ND2NNNXA4加边法在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果例10计算N（N2）阶行列式，123111NNADA其中120NA解先将添上一行一列，变成下面的阶行列式D1N11201NNAA显然，将的第一行乘以后加到其余各行，得1ND1N1120NNAA因，将上面这个行列式第一列加第I（，）列的倍，得0IA211I1122121210000NINNNINNIAAAAAA，故121NNIDAA5递推法递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6也利用了递推关系式使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确例11计算N阶行列式12211000NNNXDXAA解首先建立递推关系式按第一列展开，得1123211100001001NNNNNNXXXDAXAAXXD，这里与有相同的结构，但阶数是的行列式1ND现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得2211311221NNNNNNNNXAXAXXDX，因，故111DXA11NNAA最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时，显然成立设对阶的情形结果正确，往证对N阶的情形也正确由1N12121NNNNNXDXXAAA，可知，对N阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数N，结论成立例12证明N阶行列式210011200NDN证明按第一列展开，得2101201201200ND其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作NDN；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为1ND的行列式，记作这样，就有递推关系式22N12NND因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，结论正确1N12当时，结论正确23D设对的情形结论正确，往证时结论也正确1KNKN由121NNDN可知，对N阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数N，结论成立二、行列式计算方法1定义法2化为三角形行列式的方法3化为范得蒙行列式的方法4拆行列法5降级法6加边法7数学归纳法8递推法9因式分解法本章主要内容的内在联系重点行列式的计算难点行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质3化为范得蒙行列式的方法例1计算行列式NNNNNXXXXD21222211解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式行列式性质行列式的概念行列式依行依列展开N级排列克拉默规则NNNNNNNNNYXXYXXYP2111122221222211NIJJNIIXXY11易知等于中的系数的相反数,而中的系数为NDYP1YP1N,因此,NIJJIKXX1NKNIJJIXX14拆行列法例2计算行列式XYZD22解2221322213YZXYXZYXZYZXZYXZYXZYDXZ5降级法例3计算行列式0000D解易得1NN6加边法例4计算行列式NNAAD111132解101101101220,2122NNINNIANINNNAAAAAADI而当时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同021NA样的结果9因式分解法如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求DXXF出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则XFXG，再比较与的某一项的系数，求出值CGXFGC三、行列式的计算方法方法1化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例3浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值1231452121NNDN分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有N1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第N1列开始乘以1加到第N列，第N2列乘以1加到第N1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解112,2,1111203011000012200001IINNNRINRNDNNNNN12122N方法2按行（列）展开法（降阶法）设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有NIJDA121,2IIINAAAN或,NJJJ其中为中的元素的代数余子式IJIJ按行（列）展开法可以将一个N阶行列式化为N个N1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将N阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例4、计算20阶行列式201318920276198321D分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20201次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是N阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算解11202018,2,0911131892022736111983213420IIICRD182方法3递推法应用行列式的性质，把一个N阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，N1阶或N1阶与N2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给N阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式001001ND1,N证明其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，即知DN1与DN具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明DN按第1列展开，再将展开后的第二项中N1阶行列式按第一行展开有12NNNDD（）这是由DN1和DN2表示DN的递推关系式。若由上面的递推关系式从N阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由N1阶和N2阶行列式表示N阶行列式，因此，可考虑将其变形为11212NNNNNDD（）或（）现可反复用低阶代替高阶，有231142211NNNNNNNDDDD（）（）（）（）同样有231142212NNNNNNND（）（）（）（）因此当时由（1）（2）式可解得，证毕。1N方法4数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）例6、证明2COS10002COSSIN1SIN002COS1ND方法5利用范德蒙行列式范德蒙行列式123211123NIJJINNNNXXX例7、计算N阶行列式111222111NNNNAAAD122211NNNNAAAD解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第N行依次与第N1行，N2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第N行与第N1行，N2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第N行与第N1行对换，这样，共经过（N1）（N2）21N（N1）/2次行对换后，得到1222211111NNNNNAAAD上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得NMNEABEBA1122NNJINJINDAIJJ5消去法求三对角线型行列式的值例6求N阶三对角线型行列式的值（1）的构造是主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第N行减去第N1行的倍，则第N行变为最后所得的行列式为（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。注3一般的三对角线型行列式（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。4数学归结法例5计算行列式解猜测证明（1）N1,2,3时，命题成立。假设NK1时命题成立,考察NK的情形故命题对一切自然数N成立。【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。顶3收藏2【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。顶7收藏7【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点瞬间回眸，点亮了生命精彩。顶11收藏9【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。顶0收藏2【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。顶3收藏4【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。顶0收藏2【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。顶1收藏3【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。顶2收藏3【唯美句子】那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。顶4收藏5【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。顶3收藏5【唯美句子】在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。顶4收藏3【唯美句子】看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。顶1收藏1【唯美句子】很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。顶2收藏0【唯美句子】我嗅到浓郁的香