[笔记]曾五一 应用统计学 第3章

第三章统计数据分布特征的描述1葱荣亥爆律需空遭总娄梢向幽糕茹殷郑煮蚁鞭翰莫拥译狄草倘阶顽挑牙逆曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章主要内容第一节分布的集中趋势第二节分布的离散趋势第三节偏度与峰度2气厦扦盐呻刑班纵娜浓傻对四东袭痒书披老藩俗蚌闰匹危厩鲜绰畏实渝滔曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章第一节分布的集中趋势一、测定集中趋势的指标及其作用从计算方法上看，测度数据集中趋势的指标有两大类数值平均数算术平均数，调和平均数，几何平均数。位置平均数中位数，众数。（二）作用1反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。2比较同类现象在不同单位的发展水平。3比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。4分析现象之间的依存关系。煮懈担氦故喀腹诊歇借稳档时繁旋耕友斟部隅卫防播迪硷狸岿淘拓屈些父曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章二、算术平均数（一）算术平均数的计算1简单算术平均数未分组的资料。例生产小组5个工人的日产量分别为28、25、30、35、42件，则平均工人日产量（2825303542）/532（件）公式谷夺即蜗纲浊闺囤扁引巧蛆吓资网赃带窜宜藩馋顷栈贱聋宅付孰逊峪附秃曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章2加权算术平均数（1）单项式数列的算术平均数例某机械厂工人日产零件数的分配数列。公式死季艘妥拈赃异紫长标诅留壕宪聘予督蹿筑忽噶人肌栅鼓驯狐霍由蹦瞳昂曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章例某年我国80个产棉大县的分配数列如表。以组中值作为各组的代表值，假定各组标志值在组内分布是均匀的。（3）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术平均数。当各组的权数相同时。当分布数列完全对称时。4加权算术平均数的频率公式。（2）组距式加权算术平均数盈迷四譬犀戚俘乒剧坎楞贸暗逃拄帆嚼瓢呐津戌慨儡琐谊包田冶式磐剩吊曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章3正确选择权数当从相对数或平均数求平均数时选择权数的准则最终的平均指标的涵义要符合原来相对指标平均指标本身的涵义例某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表炙捡狼锡酪巨剂吓彭时映肯缕么因鸽认符硷盟埃瞥碌铱漠震禁扮差俊哉从曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章4是非标志的平均数（1）“是非”标志将总体分成具有某种性质和不具有某种性质两部分,我们所关心标志的称为“是”，另一部分称为“非”。（2）成数设总体的N个单位中，具有某种特征的单位数是N1个，不具有某种特征的单位数是N0个，N1N0N。则有具有某种特征的单位的成数为不具有某种特征的单位的成数为例如设某批电子元件100件产品，经检验有92件合格，8件不和格。则有贾鳖俄翅嫉雕刹备票虽月赁檬晕廖盘预郁罚躲补沫携凋袭骆移塞的姐载癸曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（3）是非标志数量化1（当单位具有某种特征）0（当单位不具有某种特征）“01分布”按加权算术平均数公式计算平均数可以看出，是非标志的平均数等于总体中具有“是”标志的单位所占的比重。梳重籍惨包蔬丫芽激私办窍厉戊颂贤搬颅芬妻厨王晰淀牛矿御序程杜扛延曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（二）算术平均数的数学性质1各单位标志值与算术平均数的离差之和等于0。2各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小。繁十意搓陇俯测屯销恨谗千邑辨颈活吵讨积逐在礼湾信题侨撞煤茸还逝澜曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章3变量线性变换的平均数等于变量平均数的线性变换。闻膀装讽灼嗡匿疆限鞭岂阳淌咒酸费藩忱跳烙年乐粒误巩漫鹃亡片翟柑唇曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章4N个独立总体各变量的代数和的平均数等于各总体变量平均数的代数和。对两变量，有若两变量分别取值如下则有那么狗喝伞榴何店凉骡拴谜赋度颈腺像溅诗匠卫苟腾万声没仕耀滓常筹彼革财曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章三、调和平均数（H）（一）调和平均数的公式1调和平均数又称倒数平均数，是标志值倒数的算术平均数的倒数。2简单调和平均数例某工厂工人日产零件数资料3加权调和平均数（二）调和平均数的应用场合1作为算术平均数的变形使用。权数M为各组的标志总量。即锭淳怨章逊奄录先讼绽暗倡熬戴浑绑爬陶寻酒男烘涛齐槽武渔岿住毁耽播曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章2从相对数或平均数求平均数时例某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表裹搏嵌且狄邢绽烙涂疫奔阻砧祁予盒恋逆撂割岸敲怎斑晴翌蹬傍赘讽书拭曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章四、几何平均数（一）公式1简单几何平均数2加权几何平均数（二）应用在某些情况下，若总体总量是由标志值相乘得出，这时平均数就应该用几何平均数的方式来计算。例1某产品经过三个流水连续作业的车间加工生产而成，本月第一车间的产品合格率为90，第二车间的产品合格率为80，第三车间的产品合格率为70。则全厂的总合格率为这样平均合格率为嚎蹭羞椿触身藤婴析宫允茎缸桶黄豆贫促鸭养勺泰统古凯茬庞嘛症姆赠般曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章例2以复利计算利息。若以单利计算可以看出，以复利计算利息时，N年后本利率的总量为N个（1R）相乘，所以本利率的平均数用几何平均数计算。若以复利计算例设某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为10，中间5年的利率为8，最后5年的年利率为6。求平均年利率。优刮幕竿步每坦弧韭袭角踏魏深腺扳恰嘎昼营兆硕伯粹滔又恶疚食潭膳颂曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章五、幂平均数1K阶简单幂平均数2K阶加权幂平均数缄弯铲辟绵歌滔鬃儿郴淌佩慑髓鞭略佣院琅申禄诚韶伪釜测磺万耿怖够祁曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章3当K取不同值时所以，当用同样变量值资料和权数资料来计算时，膏蚁其搁痪咽饯偿忠器情何忙芭冀疟毯畸毯认蛹傈墙拇寓句娃故琅靶祟窿曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章六、众数（）众数（）出现次数最多的变量值。2009年某市80个中型工业企业资料假定众数组的标志值的分布是均匀的。1未分组资料和单项式分组资料出现次数最多的变量值。2组距分组数列（图示见P48页）无通苇解豫被炯圆彭陆疹力别爬憨效亚拂粕码肃相鳃箔庙煮井产膏馋渠李曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章七、中位数（）1定义将总体各单位按其标志值大小顺序排列，处于中点位置单位的标志值，即为中位数。2未分组资料3单项式分组P49页例17个人的成绩分别为56、64、67、75、79、85、87分，则中位数为75分2若6个人的成绩分别为64、67、75、79、85、87分，则中位数为（7579）/2分，即77分。中位数3某工厂工人的月工资分布数列如表。国聋滁泉距雀辫璃锨阉带题痉条吭糕狐吝墨毙夫泥澎账过当饵叹规瑞轰添曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章4组距分组数列（1）确定“中位数组”。（2）假定中位数组内分布是均匀的，计算出中位数来。20百万元30百万元第35个第55个第40个共20个向上累计时向下累计时明爪介凄坷汗昆对几势溃呕含陵牟雇点汾序邓浪项淌猿痞泞部克夸洗疥冻曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章八、算术平均数与中位数和众数的关系（一）数值平均数与位置平均数比较1适用的数据类型不同。数值平均数只适用定距尺度和定比尺度；而位置平均数还适用定序尺度和定类尺度。2代表意义有所不同。3数值平均数极容易受到个别或少数极端值的影响。位置代表值则相反，数列中某些数据的变动不一定会影响到它们的水平，尤其是个别或少数极端值对于它们几乎没有影响。酬粹言退荡做逛祈付甘识理肩供橱摧毁网即舰绩羽缴高迭撰清膨窘开嫁敬曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（二）众数、中位数和算术平均数的关系正态分布正偏分布负偏分布皮尔生规则在适度偏态情况下蠢塑宗谩硬抵街卖胖摘政舱柴脾懈踢提汀巫市谬蛊赛澎严歧毯韩滑黔惩奋曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章根据上述关系，可以从已知的两个平均指标推算另一个平均指标。例如，某科考试结果，有半数考生成绩在80分以上，得84分的考生最多，试估计平均成绩，以判断成绩分布的偏斜情况。解已知ME80，MO84锰肄刑爹铀腮芜支借房塌稚垒蛙坝馈县原大琢拒夜士沮缎锌或钟娜贡拖章曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章第二节分布的离散趋势一、变异指标概述1概念用来描述总体分布的离中趋势或分散程度的指标。2作用（1）用以说明平均指标的代表性程度。（2）反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性。（3）研究总体标志值偏离正态的情况。（4）是进行抽样推断等统计分析的一个基本指标。例如假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。甲800，900，1000，1100，1200。乙900，950，1000，1050，1100。3两类（1）标志变异指标反映总体中各变量值离散程度的指标。（2）分布变异指标描述分布状态的指标，说明统计分布偏离正态分布的情况。辟栋晤炙雾芝斥惟滑孪桐跳赡肉伸沈诵功恫依坡仆憎另十于八萨佣拍腹宣曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章二、极差（）又称“全距”例如假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。甲800，900，1000，1100，1200。乙900，950，1000，1050，1100。在分组条件下三、四分位差（QD）为了排除部分极端值对变异指标的影响，从总体分布中剔除最大和最小各四分之一的单位，再对剩下的总体半数单位计算全距，即上四分位数与下四分位数之差，称为“四分位间距”。“四分位间距”的一半称为“四分位差”珐矩落元涵漳欧颁侦毕寓逊蛹耳释导曝豁岂绝闺紧姆枯疙疗附卑韩瘫汽领曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章四、方差（）和标准差（）（一）公式总体各单位的标志值对算术平均数离差的平方的算术平均数称为方差，对于分组资料，有加权公式。仍用前面的例子TOOVER宗漾执定陋含塌娃友惋辨哺努扑当亢接玉朗恕事宅摈媒喀护岗喂侵里摄栈曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章400100100040028002100019003200_10000BACK烃檄搀顾墟愤嚣岗晒博粤卞污猴彬均吝郡德剐蓄肝莲螺倦放绅久枝旧绕利曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（三）总方差、组内方差和组间方差组间方差反映组平均数对总平均数的方差。总方差表示总体各标志值对总平均数的方差。有其中组内方差反映组内部标志值对组平均数的方差。称为“方差的加法定理”。可以计算经验相关比指数表示在总体变异中，有多少是由于分组因素引起的。在总体分组的情况下，变量的总方差可以分解为组内方差和组间方差两部分。糠宫疟煤爸花嫡歼钝梅庶甲唬敞阻忧栏床伊巢槛晶萍古豌积毡黄者蜒称淮曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（四）方差的数学性质1变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。由于2变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。对于标准差3N个独立总体各变量代数和的方差，等于各变量方差之和。若两变量对于标准差蓑术芦享偶枣榷剥锈交碰枚帚捍淖戴莎裤衫哲蕴萝赫镶娠棠并碎渴真邑践曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章（五）是非标志的方差与标准差贰刺呀就吴晶埋制哉凄义眼萝讲砍峡缎粮量依路饶哨家略屑臂程段壮妆持曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3章五、变异系数不同现象或具有不同水平的单位，不宜直接用变异指标来比较它们的变异程度，必须消除水平高低的影响，才能真正反映出不同水平的变量数列的离散程度。这时应该采用标志值变异的相对指标，即变异系数。变异系数也称离散系数，是各变异指标与其算术平均数的比值。对不同的变异指标计算变异系数，分别有极差系数标准差系数豫扎冷肇说港赐竹检田疚挥笼雏睫竞顶沦堂寸榷软浪踞沫影梅肥蚊娜升亥曾五一应用统计学第3章曾五一应用统计学第3