【精品】第5讲 天上人间53

第5讲天上人间对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。开普勒1哥白尼之后第谷布拉赫哥白尼之后，第一个重要的天文学家，就是丹麦的第谷布拉赫（TYCHOBRAHE，15461601），他是16世纪最杰出的天文观测者。1546年12月14日，第谷布拉赫诞生在丹麦斯卡恩（SKANE，今属瑞典）的一个贵族家庭，他有5个姐妹、5个弟弟，排行老二，人们都喜欢叫他第谷。第谷的妻子克里斯汀出身低微，他们没有正式结婚，但从1573年开始生活在一起，直到第谷去世，共生育了5个女儿和3个儿子。第谷从小由他的叔叔抚养，7岁开始学习拉丁文和预科学校的课程，15591562年，被送到哥本哈根大学学习古典文学和法律。由于第谷出身高贵，并不需要为了将来的生计而谋求一个学位，因此，他很快就直接进入了中世纪大学中四门高级课程（算术、几何、音乐与天文）的学习。在15611562年间，他学习了亚里士多德的物理学、欧几里得的几何原本，以及托勒密的行星理论与星占学。1560年8月20日发生了一次日食，这次日食在哥本哈根看到的不过是一次日偏食，但是这个在预期的时刻发生的日食，导致第谷将他的兴趣转向天文观测，而这并不是当时大学中所规定的课程。为了将第谷与他的喜欢科学的朋友分开，并让他继续专心致志于法律的学习这是一个贵族所必须接受的教育，他的叔叔于1562年3月将其送往莱比锡大学，并指定了一位比他大4岁的导师，防止他继续痴迷于天文学的研究。到了1564年5月，第谷只得被迫秘密地从事天文观测。白天学习他叔叔指定的课程，晚上，当他的导师睡着的时候，再悄悄地进行天文学研究，并用节省下来的生活费，购买天文书籍和天文仪器。1563年8月，一次土星与木星的会合，成为第谷职业生涯的转折点。当时的天文表虽然也预告了这次会合，但是这些天文表有的与第谷的观测计算相差了近一个月，有的仅相差几天。这件事情给第谷留下了深刻的印象，从此他便全身心地投入到天文学的研究上来。1565年从莱比锡大学毕业后，第谷花了5年的时间在各地旅行，研究和设计天文仪器。1570年，因父亲病危，返回家乡。一年后，父亲去世，第谷利用继承的一笔遗产建立了一座小型天文台，并从事化学试验。1572年11月11日黄昏后，第谷发现，几乎就在头顶的方向，在仙后座出现了一颗比其他行星都明亮的星在闪耀，他立刻意识到这是一颗不曾发现的星星。第谷利用他的天文仪器，对这颗星星进行了精确的测算，确认是一颗恒星。由于当时的天文学家认为，恒星是不改变位置与颜色的，因此，第谷的发现修正了人们对恒星的认识。1573年，他将自己的观测分析整理成一本书出版，取名为新星DENOVASTELLA。新星的出版，使第谷一举成名。1576年2月，丹麦国王弗雷德里克二世（KINGFREDERICKII）将位于丹麦海峡的和文岛（HVEN）赠予第谷，5月23日签署命令，出资在和文岛建设天文台。在此后的20多年间，第谷进行了大量精密的天文观测，记录了丰富的天象资料，修建了规模宏大的天文观测仪器，使和文岛成为当时欧洲天文学的研究中心。随着1588年4月4日弗雷德里克二世的去世，第谷的个性导致他的愉快的时光逐渐消失，他对皇家成员的傲慢态度，导致皇家对他与和文岛的支持急剧减少。最终在1597年5月15日，第谷将他的仪器、资料全部从和文岛转移到哥本哈根的家中。然后，云游四方。1599年6月，第谷到达布拉格，接受鲁道夫二世皇帝的资助，在乌兰尼堡（URANIBORG）建立天文台。1600年2月4日，第谷聘请开普勒作为他的助手，希望后者利用他的火星观测资料，研究行星运动的理论模型。第谷知道开普勒具备这方面的才能，希望得到他的帮助，从观测数据中寻找物理规律；开普勒则需要利用第谷详尽的观测资料，来验证和修改自己的模型。两人都害怕对方抢占了自己的劳动成果，因此，一度关系陷入僵局。1601年10月13日，第谷已经病入膏肓，临终前，他将所有的观测资料托付与开普勒，并指定他为自己的接班人。1601年10月24日病逝于捷克的布拉格。第谷的最重要的观测都是于15761597年间在和文岛上的天文台取得的。他1572年关于超新星的发现和几次彗星的观测，迫使人们对于传统的天球概念的修正，特别是他对于火星运动的精确观测，其精度达到了12，导致了开普勒后来发现行星运动的定律，他的天文观测资料与技术被广泛传播。他不赞同日心说，因此，在哥白尼模型的基础上提出了一种修正方案，折中了哥白尼与托勒密的理论，建立了一种新的地心说模型，获得了广泛的支持（图53）。2天上的动力学开普勒与行星运动21开普勒小传开普勒（JOHANNESKEPLER），德国天文学家、物理学家，1571年12月27日出生于德国斯图加特的魏尔（WEILDERSTADT）一个信奉路德教LUTHERAN的家庭。开普勒幼年时的家庭生活很不稳定，经济状况也很糟糕，他的父亲在1588年离家出走。开普勒小的时候成绩很好，1584年进入阿德尔贝格（ADELBERG）的教会学校读书，两年后升入毛尔布龙学院，这所学院是当时德国的学术中心都宾根大学（TUBINGEN）的预备学校之一。1587年10月开普勒被都宾根大学正式录取，1588年9月22日，在通过了学士学位考试。在都宾根期间，开普勒受到了天文学教授迈斯特林（MICHAELMAESTLIN）的深刻影响，后者向他传授了哥白尼理论，在开普勒的心中播下了哥白尼主义的种子。1591年8月11日，开普勒获得都宾根大学硕士学位，并继续他的神学课程的学习。但是，不久发生的一件事情，彻底改变了开普勒的人生方向。由于格拉茨（GRAZ）的一所路德教学校的数学老师去世，开普勒被意外地推荐到那里填补空缺。尽管开普勒自己希望从事神学研究，作一名牧师，但是，他的老师们发现了他在数学方面的天才，极力鼓励他接受这份差事。1594年4月11日，21岁的开普勒到达格拉茨。在格拉茨的第一年，只有很少几个学生选修他的数理天文学课，第二年竟然没有学生选修，于是他被要求承担一些古诗与算术方面的课程。在此期间，开普勒开始考虑宇宙模型的问题。按照哥白尼的日心说，太阳系有6颗行星，“为什么是6颗呢”“为什么它们的分布不是均匀的呢”他想，在上帝头脑中，应该是按照几何形状来安排太阳系的，在这个灵感的启发下，他联想到了所谓的柏拉图立体，也就是正多面体，正好是5个。上帝有可能利用这5个柏拉图立体，一个套一个，设计行星运行的天球。1596年，他发表了宇宙的奥秘（MYSTERUUMCOSMOGRAPHICUM），阐述他的宇宙模型，并公开表示对哥白尼日心说的支持。这部著作的问世，为他赢得了很高的声誉，也使得他与伽利略、第谷建立了学术联系。1598年9月，信奉天主教的大公将所有路德教的牧师驱逐出格拉茨，有人劝开普勒改信天主教，这样他就可以继续留在格拉茨教书，但是他拒绝了。这样一来，他被勒令在9月28日日落前，离开格拉茨。开普勒试图在都宾根找到工作，但都失败了。1599年8月，他听说第谷与鲁道夫二世在波希米亚筹建天文台，于是在1600年初动身前往布拉格，拜见第谷。初到布拉格，第谷仅仅把他当作一个初学者，除了吃饭时间，很少让他参与观测讨论。开普勒希望第谷把他看作一个具备独立研究能力的天文学家，但是经济拮据与位置的不稳定困扰着他，幸好，几个月后一切的危机都缓解了。开普勒很快就意识到第谷天文资料的准确性，同时也发觉第谷缺乏利用这些资料构建天文模型的能力。一年后，第谷病逝，鲁道夫II指定开普勒继承天文台台长的位置。开普勒充分利用了第谷留下的观测资料，特别是火星的运动，开始全面探索宇宙的奥秘。1609年，他发表新天文学ASTRONOMIANOVA，提出行星运动椭圆定律与面积定律。1611年，事业蒸蒸日上的开普勒的世界突然垮塌了。先是他的妻子重病，三个儿子染上天花，开普勒最疼爱的儿子最终不治。布拉格成为战场，到处一片血海，5月，鲁道夫二世被迫退位。7月，妻子去世。开普勒试图返回都宾根教授天文，但是没有成功。这期间开普勒仍然遵照鲁道夫二世的要求坚守在布拉格，直到1612年1月这位君主去世，才孤单地移居奥地利的林茨，很快就被重新任命为皇家数学家。在林茨的14年间，发表了大量的著作。1619年，出版宇宙和谐论（HARMONICEMUNDI），发表了他的行星运动第三定律；16181621年间，出版了一部科普著作，名叫哥白尼天文学概论（EPITOMEASTRONOMIAECOPERNICANAE），论述他的行星运动理论；1627年，发表的鲁道夫星表（TABULAERUDOLPHINAE），比以往的任何著作都更精确地预言了行星的运动。1630年，在去巴伐利亚讨还拖欠的薪水的路上，开普勒去世。22行星运动椭圆定律与面积定律开普勒行星运动三定律中的前两个分别为椭圆定律（ELLIPSELAW）、面积定律（AREALAW）。根据这两个定律，我们知道，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳居于椭圆的一个焦点上；行星与太阳的连线，在相同的时间内扫过相同的面积。1600年，开普勒加入第谷的天文台后不久，就被指派建立火星运动的理论模型。对于开普勒来说，火星是研究行星的一个切入点，他要寻找的是支配所有行星运动的统一的物理规律。他认为，一定有一种外力推动着行星绕太阳作圆周运动，而这种力量可能来自太阳。因此，他的基本问题是行星运动的基本规律和物理原因是什么在着手火星理论的建立之前，开普勒对托勒密到哥白尼的行星理论非常熟悉。托勒密在偏心圆中引入对应点（EQUANT，图56中的E）的概念，让行星本轮的中心P绕对应点E（而不是圆心C）作匀角速度的运动。由于这一点违背了亚里士多德的“统一的匀速圆周运动”的教条，因此，到了哥白尼时代已经被废弃了，以新增的一个本轮取代对应点。但是，开普勒却很欣赏托勒密的对应点模型。根据这个模型，行星运动的速度与到太阳的距离有关，离太阳越近，速度越快。由于开普勒假设驱动行星绕太阳旋转的力量，是从太阳辐射出来的，与到太阳的距离成反比，因此，离太阳越远，受力越弱，速度自然越慢。所以，在开普勒看来，对应点的模型深刻地反映了行星运动的物理学本质。于是，通过对第谷观测资料初步接触，开普勒很快就确定了行星运动必须遵守的两个基本前提第一，地球绕太阳的轨道是一个偏心圆，火星的轨道面经过太阳，而不是地球轨道的中心；第二，火星的轨道应该包含一个对应点EQUANT。开普勒假设火星的对应点、太阳与圆心在一条直线上，但是，与托勒密不同的是，对应点到圆心与太阳到圆心的距离并不相等,即ECCS，火星绕对应点作匀角速度的运动。开普勒花费了4年的时间，用试错法进行了70多次试验，推算火星对应点的位置，结果当火星处于冲的位置时（地球介于太阳与行星之间），理论计算与第谷的观测非常吻合，黄经误差仅为2。但是，他很快就发现，这个理论不能用来计算火星的黄纬，而且，当火星不是处在冲的位置时，日心黄经的经度也出现了问题。按照当时的天文学的方法，只要一种模型可以精确地解决一个问题，就是好的模型。因此，黄经与黄纬可以用不同的模型来处理。但是，开普勒不同，他试图寻找的是支配所有行星的统一规律的物理模型，他不满足于仅仅对特定时刻的行星的黄经计算有效的理论。因此，1602年，毅然放弃，第一次火星理论的尝试以失败告终。为了使这个模型可以同时计算火星的黄经与黄纬，他还尝试着恢复托勒密的假设，将对应点固定在与太阳对称的位置上，即SCEC，但是，与第谷的观测资料相对比，计算结果黄经的误差达到了8。由于第谷对天文仪器的改进，使得当时的天文观测的精度提高了10倍，误差已经小于2。因此，理论推算的8的误差，是不能接受的。开普勒说道神明的上帝赐予我们第谷这样一位不辞辛劳的观测者，而他的结果揭示了托勒密的计算有8的误差，我们理应怀着感激的心情去接受上帝的这份恩赐因为这8不能忽略，仅仅这点误差便导致了对天文学彻底的改革。开普勒决定改变策略，从精确测定地球的轨道入手，从头再来。为了确定地球的偏心率，开普勒巧妙地利用了第谷对于火星大冲时刻的观测资料。如图57所示，假设火星大冲时，太阳、地球、火星分别位于S、E、M，根据第谷的观测，可以知道火星的黄经。火星经过一个恒星周期（687天），再次回到点M，而此时测得地球位于E1，三角形MSE1的各个角都可以测出来。火星再过一个恒星周期，又回到点M，而地球则到达E2；经过4个周期，得到四个地球的位置E1、E2、E3、E4，由此，就可以精确地确定地球的轨道，太阳的偏心率E001675。研究地球运动的方法，为开普勒探究火星的真实运动提供了基础，利用火星的观测数值可以确定它的轨道偏心率为E009331。在得到地球与火星的偏心率之后，开普勒开始从动力学的角度考虑火星的运动问题。按照开普勒的假设，太阳施加给行星的力与距离成反比、与速度成正比，因此，行星运动的速度将与距离成反比（VF1/R）。如图58所示，假设行星的轨道半径为1，则偏心率ESCSE，远日点与近日点到太阳的距离分别为SA1E、SB1E。按照速度与距离成反比（V1/R），而，可以E1得到行星在远日点与近日点的速度分别为EPA1VQB因此，假设AP1E，则BQ1E。由此即得。也就是相同的时间内，SQBSPA行星与太阳的连线扫过相同的面积。这个发现得出后，开普勒立即将它应用到其他行星上，除了火星之外，均与第谷的观测吻合。火星的问题是，轨道偏心率太大，这使得开普勒开始怀疑火星的轨道可能不是一个偏心圆。借助第谷的资料，开普勒进行了艰苦的尝试。他先是假设火星的轨道是一个鹅卵形的曲线，结果与第谷的观测数据也吻合的不错，但是，这条曲线的偏心率大约为FC，没有合理的物理意义，因此，他放弃了。2E后来，当他假设火星的轨道是一个椭圆时，其面积定律的计算结果与第谷的观测几乎完全吻合，而将椭圆轨道应用到其他行星也都十分完满。至此，开普勒成功地发现了行星运动的前两个基本定律椭圆定律与面积定律。并在1609年出版新天文学，宣告了行星理论的物理背景。23行星运动的和谐定律哥白尼制定日心说的时候已经发现，行星距离太阳越远，其公转速度越慢。哥白尼说“在宇宙的有序状态下，在行星的运动周期和轨道的大小之间存在一个美妙的比例关系，构成宇宙故有的和谐，而这个关系还不能找到。”对于开普勒来说，基本问题是，在和谐的宇宙中，行星周期与轨道半径到底形成了怎样的关系这个关系究竟是什么原因（力量）造成对于后者，第谷和托勒密都认为每一个行星的运动是其自身的作用，而非源于外力的作用。哥白尼提出太阳作为宇宙的中心（绝对中心），至少是五大行星（水、金、火、木、土）运动的原因。开普勒把地球作为第六个行星，对地球和行星轨道进行了物理统一，显示了他的物理的洞察力。他认为行星的运动是受到太阳的驱使。开普勒相信太阳上可能有一个运动精灵ANIMAMOTRIX，发出直的力线，象车轮的辐条一样，随着太阳绕其轴自转，正是这些力线推动着行星在各自轨道上绕太阳运动。开普勒的这个想法要比发现太阳的自转早几年，他认为太阳发出的力线，是一种磁素，随着距离的增大而减弱。这个想法受到了英国物理学家吉尔伯特（WILLIAMGILBERT，15441603）的影响，后者在1600年出版了论磁一书。根据吉尔伯特的磁学理论，开普勒想象每颗行星都象一颗巨大的磁石，磁石的轴保持固定的方向，两个磁极交替地朝向太阳，太阳吸引一个而排斥另一个，从而使得行星到太阳的距离发生周期性的变化，形成一个椭圆形的轨道。1612年，伽利略通过望远镜观察太阳黑子，证实了太阳的确在自转。这一发现，使开普勒更加确信，行星周期与轨道半径的关系，一定是太阳的驱动力所决定的。实际上，早在1596年开普勒出版宇宙的奥秘时，就讨论了行星的周期与轨道半径的关系，当时开普勒尝试着用自然界仅有的5中正多面体，完全用数学的方法，构造出一个和谐的宇宙。这种层层相套的模型中，除木星外，各行星轨道半径的理论值与观测值的误差不到5。这种吻合程度，使得年轻的开普勒确信他已经发现了上帝建筑宇宙的方式。但是，在经过了对火星模型的艰苦卓绝的研究历程之后，开普勒已经不再满足5的误差，并且放弃了原来的模型，重新认真地考虑行星周期与轨道半径的关系。1618年，经过8个多月的反复的灵感闪现之后，开普勒终于发现了这种关系任何两个行星周期的比值，等于其轨道半径的3/2次方的比值。他把这个发现称为“和谐定律”（HARMONICLAW）。1618年5月17日，在开普勒发现他的和谐定律仅仅两天之后，就将这个结果送出发表。开普勒难以抑制对这个发现的喜悦心情，在宇宙和谐论第5卷的导言部分，他写到如果你原谅我，我会感到欣慰；如果你责备我，我也坦然接受。赌注已然抛出，我正在撰写这本书或者有人读，或者留给后代，我可以等待100年，正象上帝等待了六千年才出现第一个理解他的人。3地上的力学伽利略与抛物运动31伽利略小传伽利略（GALILEOGALILEI），意大利物理学家、天文学家，近代实验科学的奠基人，1564年2月15日出生于佛罗伦萨共和国的比萨市。他的父亲是一位音乐家，母亲是一位贵族的后裔，伽利略是家里7个孩子中的老大。伽利略10岁左右被送进修道院，1578年成为一名见习修道士。1581年，伽利略遵照父亲的愿望进入比萨大学学习医学，但是，他对医学的兴趣不大。由于当时比萨大学的数学教席空缺，伽利略在天文学、物理学方面的教育都被局限在T日A平均T2年A3行星土星木星火星地球金星水星1075943336873652258895152015210007203986008140613541000380068676914073354100038006表51开普勒计算的行星周期与轨道半径哲学教授讲授的亚里士多德的学说方面。1583年，受到校外的一位数学家的吸引，伽利略对数学产生了浓厚的兴趣。尽管受到父亲的反对，他的数学研究却进步迅速。1585年，他放弃学位离开大学返回佛罗伦萨，自学欧几里得与阿基米德，1588年，发明了比重天平。在此期间，伽利略在佛罗伦萨做家教。1589年，获任比萨大学的数学教授，这一年，他在比萨斜塔上表演了著名的自由落体试验，证明相同物质不同重量的物体下落的速度是一样的，以此表明亚里士多德的理论是错误的。1591年，父亲去世，作为长子，伽利略开始承担沉重的养家糊口的责任，雪上加霜的是，伽利略的处境越来越艰难了。首先，比萨大学的薪水实在是太低，入不敷出；其次，他的傲慢与刻薄，使他不断地得罪他的同事与学校的行政当局。眼看3年的合同期即将届满，伽利略几乎没有什么希望被延长聘期，更别指望在比萨大学的位置得到提升了。万幸的是，在他的朋友的推荐下，1592年，伽利略获得帕多瓦大学（PADUA）的数学教授席位。1609年，一位荷兰的镜片制造商研制出了第一架望远镜，消息很快传遍了欧洲。伽利略了解到了望远镜的光学原理，马上就动手制作了一架，并利用他自己的望远镜进行了多项天文观测。这一年，伽利略发现了月球表面有火山口、“大海”、高山，与地球类似，从而否定了亚里士多德关于月球是一个光滑的球体的假说。1610年，伽利略发现了木星的卫星，从而证实行星也是可以有卫星的。同年，他还观测到了金星的位相，为彻底否定托勒密的地心说提供了坚实的证据。1612年，通过观测太阳黑子，发现了太阳的自转现象。伽利略的天文观测，使他成为一个哥白尼主义的拥护者，充满热情地宣传日心说，由于这些观测结果从更根本的角度威胁着亚里士多德以来的正统的宇宙观，比哥白尼与开普勒的理论著作更具颠覆性，因此，引起了天主教的极度不满。1616年，他被传讯到罗马，警告他不得讲授和传播哥白尼的学说。1632年3月，伽利略出版了关于两大世界体系的对话，通过两个分别代表托勒密地心说与哥白尼日心说的人物之口，宣传了哥白尼的日心说理论。尽管这部书稿出版前曾经交给教皇审查，并得到了教廷的批准，但是，出版后，伽利略却被人控告，指控他在书中将真实的内容隐蔽去蒙骗教皇。1633年，伽利略再次被召到罗马，作为异教徒接受审判。在巨大的压力下，他被迫写下悔过书，宣布重新回到对亚里士多德体系的信仰。伽利略在签署完他的悔过书后，喃喃自语到“可是地球还是在转啊”伽利略的全部著作遭到了罗马教廷的全面禁止，并被判终生软禁。不过，他仍然从事着物理学研究，直到1642年1月8日在佛罗伦萨共和国的阿塞蒂里（ARCETRI）去世32运动的分类亚里士多德在物理学中指出，一个物体的速度V正比于它所受的作用力F，反比于它受到的阻力R。为了方便起见，我们可以将这段论述近似地表达成RF根据上面的公式可以看出当阻力为0，速度为无穷大。这个结果似乎太荒谬了。因此，一个自然的推论就是，所谓的真空是不存在的，任何地方都存在一些阻力。亚里士多德说“自然是讨厌真空的”。从上面的公式还可以得出另一个结论作用力为0时，速度为0。问题又来了当我们投掷一个球、或者发射一支箭，将会发生什么情况当球脱离手、箭飞出弓之后，使它们保持继续运动的力在哪儿大约在1300年前后，在牛津大学的墨顿学院（MERTONCOLLEGE）活跃着一批物理学家，他们的带头人叫布拉德沃丁（THOMASBRADWARDINE,12901349）。根据亚里士多德的运动理论，产生了一个令人困扰的基本问题究竟是什么力支配着抛物体的运动为了解释亚里士多德的运动理论，他们提出在抛出一个物体的瞬间，原动力被施加与抛射物中，原动力推动着物体继续前进，并不断消耗，直到运动停止。布拉德沃丁学派在物理学上的主要贡献，是利用一种“文字代数”WORDALGEBRA对运动进行了分类，明确了“静止、匀速、加速”等概念，还提出了所谓的“墨顿法则”（MERTONCOLLEGERULE）。按照他们的“文字代数”，运动是这样分类的有一个物体1不动，或者2运动；如果它是运动的，则1匀速运动，或者2非匀速运动；如果它是非匀速运动的，则1匀加速运动，或者2非匀加速运动；如果它是非匀加速运动的，则变化无穷。这样的分类，对物体运动的研究是十分有益的，因为它帮助我们将纷杂的运动世界理出了头绪，找到了用数学方法研究物理问题的一个有效的切入点。如图512所示，如果物体处于静止的状态，其位置不随时间改变，在图中呈现一条水平直线（如第一栏所示）。当物体作匀速运动，其位置状态随时间线性递增（如第二栏所示）。当物体作匀加速度运动，其速度随时间线性递增，那么，它的位置状态曲线是什么（如第三栏所示）为此，让我们仔细考察一下匀速运动中速度与位置的关系。如图513所示，对于匀速运动，在任意给定时刻，位置的数值等于相应的速度曲线下面的面积。例如，匀速运动了4个时间单位，那么，位置的改变量就是4个单位。如此一来，就可以很容易地划出匀速运动的位置曲线。由此可知，速度曲线下的面积（VT）等于相应时刻的位置S，即SVT但是，对于非匀速运动该怎么办呢在这种情形下，任意给定时刻速度曲线下的面积是一个直角三角形（见图512之第三栏），布拉德沃丁注意到，假设速度的改变来量为，那么，这个三角形的面积（）等于一个以为高的矩形的面积（图514）。HV2HT2HV因此，对于匀加速运动来说，我们可以用每个单位时间段上的平均速度，来代替相应V的速度曲线下面的面积。这就是所谓的“墨顿法则”2V现在我们就利用墨顿法则来研究匀加速运动。如果将每个时间单位上的速度增量都用相应的平均速度代替，就可以很容易地发VV现，单位时间内，速度是以连续的奇数增加的，因此，匀加速运动的距离（位置的改变量），就是连续的奇数的和，等于连续整数的平方图515实际上，布拉德沃丁并没有得到最后的结论，因为它没有将上述思想数值化。最先的到这个结果的，是伽利略。不过，他是通过另外一种方式发现这个规律的。对于伽利略来说，他的基本问题是搞清楚抛物体的运动方程，而这种运动的最简单的形式，就是自由落体。问题是自由落体的下落太快，几乎不可能直接测量到它的速度的变化规律。于是，伽利略便想到了斜面实验。因为，当斜面的倾角不是太大时，从光滑的斜面上滚落的球的速度足够慢，这样一来就可以发现其速度的变化规律了。伽利略的实验表明，无论斜面的角度怎么改变，球在单位时间内滚落的路程总是以1、3、5、7的比率增加。由此，伽利略推断在光滑的斜面上自由滚落的球，其速度的增加是均匀的，换句话说，斜面上的球的自由滚落，是一个匀加速问题。这个结论极为重要，紧接着，伽利略就在此基础上，作了两个著名的思想实验自由落体思想实验当斜面的倾角不断增大，球体滚落的速度也会越来越大，以至于我们无法测量，但是，它们均保持匀加速运动。因此，当斜面增至直角，滚落的球就变成了自由落体，其速度的增加仍然是均匀的。由此得出一个重要的结论自由落体是在重力作用下的匀加速运动。惯性定律思想实验如果斜面的倾角越来越小，球体滚落的加速度也会越来越小，以至于当球从斜面上滚动到平面上的时候，其加速度将变为0。如果没有阻力的话，球就会保持匀速直线运动。由此得到第二条重要的结论惯性定律在没有外力作用的情况下，物体将一直保持原来的运动状态。惯性定律否定了亚里士多德关于物体运动的假说，它告诉我们，保持物体匀速直线运动，并不需要外力。外力的作用，将改变物体运动的状态，产生加速度。这些发现，后来被发展成为牛顿自然哲学数学原理中的三大运动公理。33抛物运动的定律现在可以考虑抛物体的运动了。伽利略认为，抛物体是两种运动的综合当一个物体被抛出后，在水平方向没有力的作用，但在垂直方向受到重力的作用。因此，抛物运动可以分解为1水平方向上（X轴）的匀速运动；2垂直方向上（Y轴）的匀加速度运动。抛物体的运动方程，由这两个分量的方程共同构成。对于水平方向上的匀速运动，根据定义，其速度为，由此即得第一个分量（水TXV平移动的距离）的运动方程TX对于垂直方向上的均加速运动，根据定义，其加速度为，问题第二个分量TVA（垂直下落的距离）的运动方程Y假设表示平均速度，而，根据墨顿法则，我们有VTAV2TAV又根据速度的定义，可以得到TYV492TATTVY当初始值为Y0，T0，就可以得到。如果给水平抛出去的球一个初速度，在给定的若干时间点，计算它的水平和垂直的位移，就可以得到水平投出一个球所画出的曲线。4小结41解决的问题开普勒行星运动三定律，首次从动力学的角度构建了行星运动理论，发现了行星运动的正确模型。通过对观测数据的分析，构造物理规律与数学公式。伽利略关于抛物体的研究，发现了惯性定律，指出力的作用将改变运动的状态，产生加速度。通过物理实验，推导数学公式。开普勒与伽利略，将观测与实验，作为理论构建的基础，创立了近代自然科学的研究方法。42遗留的问题哥白尼日心说提出来“行星是绕太阳运动的”理论之后，天文学家面临的问题就是“行星是如何绕太阳运动的”开普勒行星三定律解决了这个问题之后，又面临着“行星为什么绕太阳运行”后者虽然也是开普勒始终关怀的基本问题，但是他并没有解决。与此等价的一个命题就是到底是什么“力”在支配着行星的运动。支配行星绕太阳运动的力，与伽利略力学中改变物体运动状态的“力”是一样的吗从混乱中发现有序，是科学进步的规律。科学的目的，就是试图用最少的定律，描述尽可能多的自然现象，这就是在不同的领域寻找统一。对于伽利略之后的科学家来说，下一个目标，就是在开普勒天上的动力学与他的地上的力学之间建立统一的理论。主要参考文献CCGILLISPIEDICTIONARYOFSCIENTIFICBIOGRAPHY,NEWYORKCHARLESSCRIBNERSSON第谷传VOLII,401416；开普勒传VOLVII,289312；伽利略传VOLV,237249RSWESTFALLTHECONSTRUCTIONOFMODERNSCIENCEMECHANISMSANDMECHANI