成考专升本高数(二)第二章笔记

第二章一元函数微分学21导数与微分一、主要内容导数的概念1导数在的某个邻域内有定义，XFY0XFFXXXLIMLI00000LI0XFFX000XXDYFY2左导数00LIM0XFFXFX右导数00LI0XFFFX定理在的左（或右）邻域上连续在XF0其内可导，且极限存在；则LIM00XFXFX（或）LIM00XFXFX3函数可导的必要条件定理在处可导在处连续XF0XF04函数可导的充要条件定理存在00XFYX，00FF且存在。5导函数,XFY,BA在内处处可导。YXF,BA0XFXF6导数的几何性质是曲线上点0XFXFYX处切线的斜率。OX0X0,M求导法则1基本求导公式2导数的四则运算1OVUVU（2O（3O2VUVU0V3复合函数的导数,XFYXUFY，或DXUYDXXFF注意与的区别XFF表示复合函数对自变量求导；FX表示复合函数对中间变量求导。XF4高阶导数,3XFXFF或4,2,1NFXFNN函数的N阶导数等于其N1导数的导数。微分的概念1微分在的某个邻域内有定义，XFXOXAY其中与无关，是比较高XX阶的无穷小量，即0LIM0XOX则称在处可微，记作FYXADDXADY0X2导数与微分的等价关系定理在处可微在处可导，XFF且XAXF3微分形式不变性DUFDY不论U是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。Y一、例题分析例1设存在，且，XF12LIM000XXFXFX则等于0FA1,B0,C2,D21解XXFXFXLIM000122LI20000XFXFFX（应选D）210XF例2设其中在处,22XAXFXA连续；求。AF解AXFFFAXLIMAXAAXLI2222LIMLIMXAXAXAXAX2误解22XAXXF2222AAAF结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以X不一定存在。X例3设在处可导，且，求F121F134LIM1XX解设4,3431TXT当时，1XT14LIM134LIM311TFFXFFTX623131LI31FTFFT例4设是可导的奇函数，且，XF00KXF则等于0FA,B,C,DKKK1解XFXFXFFXFX应选AKF00（结论可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。）例5设在处是否可导122XXF1X解法一11XF21LIMLIM211FXXLILI11XFXX在处连续F12LIM1LIM1211XXFFFXX2LI1LI121XXX2LIM12LIM1LIM111XXXXFFF21FFF在处可导。XF1解法二221XF21LIMLIM211FXX2LIMLIM11XXFXX在处连续F当时，1X12XXF2LIMLIM11FFXXLILI11XXFF21FFF在处可导。XF例6设012XAEBXF求A,B的值，使处处可导。XF解的定义域XF,当时，0是初等函数，在内有定义，BXF10,不论A和B为何值，在内连续；F,当时，0X是初等函数，在内有定义，XAEF2,0不论A和B为何值，在内连续；F,1100XBFLIMLIM00BXFXXAAEFXXX200LILI只有当时，在处连续；1AF0X当时，处处连续；XF当时，0A可导可导02021XEBXAEBXFXXABXFFXX00LIMLIM022LILI00XXXEFF只有当时，在处可导；2BF当，处处可导。,1AXF例7求下列函数的导数21LNCOSXY解XVUY21LNCOSDXVDUYX21LNSI2121SINXXVARCTNTA2XY解RTT2TANTAN12TANTAN1222XXXXXXX442COSSIN2ITAN1SEC2XXY2TAN0解2TAN10LN12TAN2TANXXXXXSECTA0L2TAXXX（为常数）222RYXR解法一22XRY222222XRRY22XR解法二222YX022XRYXYCOSXYY解法一SINXYSINYXXYSIN1IXYY解法二设COS,YXFSIN1,SINXYFXYXSIN1XYYFDXYYX隐函数求导YXYLNLN解法一LLYXXYXLNLN2LNLNXXYYXYYYXY解法二设YFLL,YXFYXYYXLN,LN2LNLNXXYYFDXYYXYYX321XY解（对数法）321LNLXY3LN2LN1L21XLLLLN21XXY3121121XXXY321312112XXXXYXY解法一（对数法）XXYLNLNLN1LL1XXY1LNXY解法二（指数法）XXXEEYLNLNLNLNLNXEEYXX1LXXXXYCOSSIN2解法一（对数法）设XXYYCOS21SI,2121,YXXYLNLNLNLN12L21L2XXXY2LN2LN221XXXYXXYSILCOSLN2XXXYSINCOSINLSIN12SILSICOTSSINCOS2XXXXYX21YSINLSINCOTSSIN1LNCOS21XXXXXXX解法二（指数法）XXXEEYSINLCOLN2SINLCOSLSINLCOSLNXXEXXXSINLSICTSSIN1LNCOS21XXXXXXXYXY解法一XLNLNXYXYYLL2LNXXYYY解法二设XYXF,YXYXYXXXYXYLNLNLN1YXYXYYXYYXYXFLNLNLN12LNLNXXYYXYFDXYYYXYYYX例8已知，求。FSIF解设2,TXT2SINTTF2IXXF22COSCOSXF例9求下列函数的二阶导数1LN2XY解21XY222121XXXY0LNYXY解法一1YYX02YXYXYY12212XYYXY2121222XYXYY3223112XYXYXYY34312XY解法二0YY02XYXYY1202Y022YXYXYYXYYXYYYXYY13132122343343121XYXYY例10设，求。XEXY2910,10NYYN解X28XEXY279X2368XXEEXY29299917XEY2101010,2NXNN结论对于，若，则MXYN0NY例11设，求。XXYLN4950Y解148212479XXY3134684X50501505049XXY例12求下列函数的微分XEYX2SIN解法一XEXXCOSSIN2I2SINSIN2XXEXDXDYX2II2解法二SIN2XEXSINI22XDEDXXSINISIN2XDXDEXXCOSIN2I2XXDXXEX2SINSIN212YEX解法一02YY2YEXYEXY2DXEXDYY2解法一02YDYD2DYEYXXXEXDYY222中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1罗尔定理满足条件XF0,3,2,100FBABFAFBA使得存在一点内至少在内可导在上连续；在YFFXFXFAOBXAOBX2拉格朗日定理满足条件FABFFFBABA,2,100，使得在一点内至少存在内可导；在上连续，在罗必塔法则（型未定式）,0定理和满足条件XFXG1O；）或）或0LIMLIXGFAXAX2O在点A的某个邻域内可导，且；0XG3O）（或,LIMAXGFAX则）（或,LILIAXGFXGFAXAX注意1O法则的意义把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2O若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是型或型时，不可求导。03O应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4O若和还满足法则的条件，XFXG可以继续使用法则，即）（或AXGFXGFXGFAXAXAXLIMLIMLIM5O若函数是型可采用代数变,0形，化成或型；若是型可0,1采用对数或指数变形，化成或型。0导数的应用1切线方程和法线方程设,0YXMXFY切线方程000XFY法线方程0,10000XFXXFY2曲线的单调性,0BAXF内单调增加；在,F,0BAXXF内单调减少；在,F,0BAXXF内严格单调增加；在,BA,0BAXXF内严格单调减少。在,BA3函数的极值极值的定义设在内有定义，是内的一点；XF,BA0X,BA若对于的某个邻域内的任意点，都有0000XFXFXFXF或则称是的一个极大值（或极小值），0FF称为的极大值点（或极小值点）。0XXF极值存在的必要条件定理02100000XFXFXFF存在。存在极值称为的驻点0F极值存在的充分条件定理一是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在00000000321XFXFFXFXF当渐增通过时，由（）变（）；X0XXF则为极大值；0F当渐增通过时，由（）变（）；则为极小值。X0XXF0XF定理二是极值点。是极值；存在。；0000021XFXFF若，则为极大值；0F0F若，则为极小值。0XF0XF注意驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点若；则在内是BAXXF,0XF,BA上凹的（或凹的），（）；若；则在内是下XXF,XF,凹的（或凸的），（）；的拐点。为称时变号。过，,201000000XFFXFF5。曲线的渐近线水平渐近线的水平渐近线。是或若LIMLIXFAYAXFFXX铅直渐近线的铅直渐近线。是或若LIMLIXFCXXFFCXX二、例题分析例1函数在1，0上是否满足罗尔定理的条件若满23XXF足，求出的值。解是初等函数，在1，0上有定义；23XXF在1，0上连续。23F在（1，0）内有定义；XXXF2在（1，0）内可导。23F又01123XXF0023XF满足罗尔定理的条件。由定理可得XF023F解得0,3221不在（1，0）内，舍去；23例2。证明当时，不等式成立。20XXXTAN证法一（采用中值定理证明）设2,0,0,TANXTTF是初等函数，在0,X上有定义，TT在0,X上连续。TTFAN在（0,X）内有定义TTT22COS1SEC在（0,X）内可导。TTFAN满足拉格朗日定理的条件，TT由定理可得XXFFTAN0COS12,0,0,TANCOS22XXXTAN,1COS02XXXTT2；证毕。20,TANXXX证法二（采用函数的单调性证明）设2,0,TANXXXF2,0,0TAN1SEC22XXXXF2,0,XXF0TANFXF即0TAN；证毕。2,TXX例3证明0,11LN122XXXX证设,L22XXXXXF222111LNXXXXXXF222111LNXXXXXX222221111LNXXXXX0,0LN2XXX,F011LN1022XXXFXF；0,LN122XXXX证毕。例4证明当时，。0XXX1ARCTN1LN解设，FARCTNL0X2111LNXXXXF0,011LN2XXX0,XXF0,0ARCTN1LN10XXXXFXF；证毕。0,1ARCT1LNXXX例5求下列极限XEXXXTANLIM0解2SECLIMTANLIM2000XXEXXXXXX0,LNLIMAXAX解01LIM1LIMLNLI1AAXXAXXEXX10LIM解令TXT11当时，；0XT01LIMLI1LIMLI10TTTTTTXXEETEEXXXXXELIM解法一XXXXXXXXXXXXEEELIMLI11LI22XXXE解法二XXXXXXXXXXEEELIMLIM12LI1LI22XXXXXXEE11LIM0XXE解1LIM11LI00XXXXXEEXXXXXXXXXEEEE00LI1LIM00212LIM0XXXLNLI20解200201LNLIMLNLIMXXXXX0LIM2112LIM2030XXXXXXX1LNLIM未定式）0解法一（对数法）设XY1LNXXYLNLLN1XYXXLNLIMLNLIM0LN1LIM1LNLIMXXXX1LNLILIXXXY解法二（指数法）XXXXELN1LIMLNLIM010LN1LILNLIMEEEXXXXXX1LIM未定式）解法一设XY1X1LNLNXYXX1LNLIMLNLIM11LIM11LIM10XXXX111LILIEXYXX解法二XXXXXXEE1LNLIM1LN11LIMLIM11LIM0EEXX解法三设TXT,0,1TX时11T0T10111E1LIMLIMLITTXXXX0LI未定式）0解XXXXXXXEE1LN00LN000LIMLIMLI1LIMLIM0102XXXXXEE例6XXE101LIM解设XEY11LN1LN1LNL11EXXEXYX21LN11LN1XXX200LLIMLLIMXYXX12LIM21LIM000XXXX212LI0XX211001LIMLIEEXYXXX例7为正整数）NEXNX,0,LI解XNXXNXXNXENEE2211LIMLIMLIM0LI1LIXNXXNNXEE例8设，求A、B的值。31SINLIM21XBAX解01SINLIM21XX31SINLI221XBAX0LIM21BAX（）0B1,11SIN22XXX1LIM1SINLIM21221XBAXBAXX322LI10AXAX代入（）式，得4A5B当时，原式成立。5,4BA例9求曲线在点（1，2）处的切线方程XY和法线方程。解324XXY44131XXY切线方程42Y即XY6法线方程1412XY即47XY例10曲线的切线在何处与直线2231XY平行452解1621XY52的切线与平行1Y2Y562X1,121XX321311XXXY21311XX所要求的点为1,例11求曲线上任意点处的切线与坐标轴组成的三角2AXY0X形的面积。解求切线方程0202,XAYXAY2020,XAYXAYX切线方程为0200XAY022002XAXAXAY（1）XAY2002求A、B的坐标A代入（1）式，得0AX02XAYA02XA,B代入（1）式，得BY02XXB0,2X求三角形的面积OABS2121高底2002AX例12求函数的单调增减区间XXF1和极值。解的定义域XF,0,2211XXF令，解得0XF1当时，无定义，是间断点XF0X列表如下,111,00,111,X00F极大值极小值当时，1X2111XXF为极大值；当时，为极大值。1X2111XXF单调减少区间为1,0,0,1F单调增加区间为,1,1,X例13作函数的图形XE