数学与应用数学毕业论文----求函数极限的若干方法

学号2008210929哈尔滨师范大学学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目求极限的若干方法学生姓名范秀龙指导教师孙玉莉年级08级专业数学与应用数学2011年11月课题来源由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。国内外同类课题研究现状及发展趋势作研究函数最基本的方法极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。指导教师审查意见指导教师（签字）年月教研室（研究室）评审意见_教研室（研究室）主任（签字）年月院（系）审查意见_院（系）主任（签字）年月学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要1关键词11定义法12利用极限四则运算法则23利用夹逼性定理求极限24利用两个重要极限求极限35利迫敛性来求极限36用洛必达法则求极限47利用定积分求极限48利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限59利用变量替换求极限510利用递推公式计算或证明序列求极限611利用等价无穷小量代换来求极限712利用函数的连续性求极限813利用泰勒公式求极限914利用两个准则求极限915利用级数收敛的必要条件求极限1116利用单侧极限求极限12总结12参考文献13外文摘要14求极限的若干方法范秀龙摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余关键词夹逼准则；单调有界准则；洛必达法则；微分中值定理；一极限的定义性质及作用学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以的麻烦，而引入了一个过程0任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。数列极限标准定义对数列，若存在常数，对于任意，总存在NXA0正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。NNANX函数极限标准定义设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，,FXA对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称0XNXA是函数在无穷大处的极限。AFX设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意FX0A，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数00X0X在处的极限。FX函数极限具有的性质性质1（唯一性）如果存在，则必定唯一LIMXAF性质2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界0F0X性质3（保序性）设LI,LIXAXAFBC性质4（迫敛性）设，且在某内有00HA0UX，则FXGH0LIMX数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1定义法利用数列极限的定义求出数列的极限设是一个数列,是实数,如果对任意NXA给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数NNNXAA列的极限记为NXLIMNXA例1按定义证明01N解12令,则让即可,N存在,当时,不等式成立,NN11N2N所以01LIMN2利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随N或X增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2求,其中NNBA21LIM1,B解分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,BAANNNN11,122原式,1LIMNNBB3利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例3求的极限21N解对任意正整数N,显然有,N22而,由夹逼性定理得01NLIM24利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，1SINL0XEXNXXX10LIM1LILI第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例4求极限XX1LIM【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出，再凑，最后凑指1X数部分。解2121LIM12LI1LIMEXXXXXX5利迫敛性来求极限设,且在某内有,则00LIMLIXXFGA,0XUOFXHGX0HA例5求的极限01LIMX解且由迫敛性知0LI1X01LIX做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。6用洛必达法则求极限洛必达法则为假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和XX满足和的极限都是或都是无穷大；和都可导，GX1（）XG0（2）G且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定0（3）LIMFXLIMFX存在，且等于，即。利用洛必达法则求极限，由于分LIFXGLIFGXLIF类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例6求20COS1LIMX解是待定型20CSLIX21INL0X注运用洛比达法则应注意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。0,2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。7利用定积分求极限设函数在区间上连续，将区间分成个子区间FX,AB,ABN在每个子区任取一点，012,IAX1,IXI1,2作和式（见右下图），当时，属于最大的区间长度该和式无限接近于0某个常数，这个常数叫做函数FX在区间的定积分。要求深刻理解与熟练A,B掌握的重点内容有1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（NEWTON）莱布尼兹（LEIBNIZ）公式。要求一般理解与掌握的内容有4、广义积分的概念与计算。例7求123LIM0PPPNN解1LI1PPPN1LIMNPI设,则在内连续,PXFF01NIINI取所以,PIF所以原式110DXP难点定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先,利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时,这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例8求的值21LIMSNX解因为是无穷小量，而是有界变量，所以LIMSNX还是无穷小量，即2LISX1N09利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例9已知试证LIM,LINNXAYB1211LIMNMNXYLXYAB证明令,NNNXAYB则时，121111|0|0NNLLM于是,N12111211LIMNNNNMNABABLABXYLXY12121211NNNNLABB易知当时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因N（当时），故有界，即，使得。故NNA0M|NAN121111|0|0NNNNLLM10利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例10（1）设，对，定义。证明10X,2N21NNXX且时，1NX1（2）若C为任意的正数。置于（1）的递推公式中，给出CY，假设，则当时，1NNYY0NYC解（1）对任意的N,，而且，因为NX12NN推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为X，1NX1X从递推公式中得到2N2X解得，即。1X1LIMN（2）因为且对任意的，可以在上作归CY021NNCYY纳证明，对任意的，。由知，所以序列NN12NN是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极1NY21NNCYY限为。C11利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，LIM1XFGXFG0X记作XFG0定理设函数在内有定义，,XHF0U且有XF01若则LIMXGALIXGA2若则LIXHBFLIXH证明LILILIM1XXXGGFHAF可类似证明，在此就不在详细证明了由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11求的极限30TANSILIMXX解由而；COS1T0,INX；,2COS1X03IX,故有23300TANI1LIMLSCOSXX注由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如由于，故有又由于0INLMXXSIN0,故有，0ARCTNLI1XARCT另注在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的TANX0SIN,0X则得到的结果是错误的。3300TANSILIMLSINXX小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。12利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括如函数在点连续，则XF0及若且FU在点A连续，则00LIMXFX0LIMXA00XXF例7求的极限1COS2ARIN0LXXE解由于及函数在处连续，故2LIMRCSI4X4EUF12201COS1O1LIARINARIN0LIXXEE13利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例13求240COSLIMXXE245245400COS11LILIM0XXEXXN解本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4X4N245COS10X224510XXE245COSX因而求得245400CS11LIMLI2XXXE14利用两个准则求极限1函数极限的迫敛性（夹逼法则）若一正整数,当时，有NN且则有NNXYZLIMLINNXXZALIMNXYA利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。NYZNNYXZ例1422211NX求的极限N解因为单调递减，所以存在最大项和最小项X222211NNN222211NXNN则22N又因为22LIMLI1XXN21LILI04NNNXXYALY（2）单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例15证明下列数列的极限存在，并求极限。123,NYAAYAYAA证明从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。N又因为21321,NNYAYYA所以得因为前面证明是单调增加的。NN两端除以得NY1N因为则,从而1NAN1NAYNY即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。NNY令则LIMXYL21ILIMNXXA则因为解方程得2LA0N412L所以14LI2NXYL15利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛，则运用这个方法1N0N首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限1N例16求2LIMNX解设2NA则121LILINNLIM1NN0由比值判别法知收敛，由必要条件知1NA2LI0N16利用单侧极限求极限形如1）求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于的极限XA1XA02）求含取整函数的函数极限3）分段函数在分段点处的极限4）含偶次方根的函数以及或的函数，趋向无穷的极限ARCTNXRTACX这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例1721SIN,0XF求在的左右极限F0解01LIMSNXN00LIMLI1NNFXFX总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。参考文献1郝梅求函数极限的方法福建教育学校学报2006102刘小军高等数学解题方法云南广播电视大学理工学院学报2006083刘书田高等数学北京大学出版社20054陈璋朱学炎等数学分析复旦大学数学系高等教育出版社20065郝涌卢士堂等数学考研精解华中理工大学出版社2004外文摘