毕业论文_线性方程组理论的有关应用

线性方程组理论的有关应用APPLICATIONSONTHEORYOFLINEAREQUATIONS专业数学与应用数学作者指导老师学校二摘要本文介绍了线性方程组的一些理论,在此基础上做了一定的推广,并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用关键词线性方程组行列式非零解矩阵的秩解空间ABSTRACTINTHISPAPER,WEINTRODUCESOMETHEORIESOFLINEAREQUATIONS,POPULARIZESOMESIGNIFICANTTHEORIES,ANDDISCUSSTHESEIMPORTANTTHEORIESOFALGEBRAINSPECIFICAPPLICATIONSKEYWORDSLINEAREQUATIONSDETERMINANTNONZEROSOLUTIONRANKOFMATRIXSOLUTIONSPACE目录摘要IABSTRACTII0引言11关于线性方程组的一般理论12线性方程组理论的几个应用221齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用222齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用523线性方程组理论在解析几何中的应用7参考文献110引言目前,新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论,而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论,从而有助于问题迅速的得以转化和解决同时将线性方程组理论应用于解析几何,沟通了代数与几何的内在联系,并可透视代数与几何的相互渗透,也可使许多几何问题得到更为简明的刻画关于线性方程组的一般理论,可参看文献13,811,一些专题研究可参看文献471关于线性方程组的一般理论在这一节,我们回顾高等代数中关于线性方程组的一般理论对于任一个矩阵,我们用表示的转置,表示的秩,表示自由未知量的个数,ATARANR表示的维数并且我们知道在经典的高等代数的教材中,有以下关于线DIM性方程组的结果定理11含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其1N系数行列式等于零定理12设齐次线性方程组1111121221200NMMNAXAXAXAX系数矩阵的秩且方程组11的解空间为则可以得到下列结IJNARARV论,这里表示方程组11解空间的维数DIMVDIV2线性方程组理论的几个应用21齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用1在求解二元方程组上的应用利用定理11可求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可例1求下面方程组的全部解,其中方程组为32301XY解将看成是常数,则方程组可改写为Y,32301YX则有3201Y求解得,代入方程组求解,得到,故原方程组的1Y2515X21X全部解为,15XY2例2已知一次函数,且,求的取FAB1F23FF值范围解应先找出与,的关系,有3F1F2F,ABAB3FAB得1023FABF这是关于的三元齐次线性方程组,显然方程组有非零解,于是1AB1203FF化简为,所以因此1420FFF412,3F1F例3等差数列的前项和为30,前2项和为100,则它的前3项和为NAMMM130170210260ABCD解由等差数列知识,可设前N项和为，所以,2NSABN2MSAB,考察以为未知数的方程组224MSAB239MSAB,12223049MMSAB由于该齐次线性方程组有非零解,因此其系数行列式为0,于是223409MS即231409MS化简,得,所以2330MMS2102MSS故选C例4已知,求证,中至少有一个不小于2FXPQFF3F12证明先找出,间的关系,有1F310242393PQFF此关于,的齐次线性方程组有非零解,于是PQ112039FF化简,假设结论不成立,即12FF,12FF132F易推出,产生矛盾,命题得证213FF2在证明一元次方程重根上的应用N由高等代数中多项式理论容易知道,多项式的重因式必是的因式因FXPXF此,的重根必是的的根,且此根是与的公共根由此结论我们可FXFX以推广到以下结论如果是的重根,则是的重根下面我们0FK10XF1K就这一理论来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根首先给出一个简单的结论设是方程与的公共根,则也是的根,01AX20120BX201AX从而有下列齐次线性方程组0120120AXB其根为,根不为零,由线性方程组理论知其系数行列式为零即21X01012AB由上述结论,我们可以获得一个判断重根的方法例5证明一元二次方程有重根的充要条件是其判别式2AXC0240BAC证明对方程两边求导有一元二次方程有重根,即其20AXB20AXBC与有公共根,由上面的结论有X120ABC展开运算即有推广到一元次方程设是240BACN110NXAAX的根,从而有下列齐次线性方程组121211100NNNNNNXAXAXAA其根为不为零,由线性方程组理论知其系数行列式为零即1,NXX11211200NNNAAA22齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例6设为矩阵,为矩阵,且,则AMNBNS0ABRBN证明把矩阵分块为,则,从而,12SI1,2ISIV其中是的解空间由定理12得于是V0XDMRVNRABN例7若是阶方阵，且,则2AIA证明因为,NRIAIRAI（21）又因即,由例6知2A0IIN（22）由2122两式得RAI分析以上三个例题,很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决,特别是例6，由,容易联想到把的列向量作为齐次线性方程组的解向量,从而0ABB0AX获得解决下面讨论几个例子,看起来似乎与齐次线性方程组无关系,但经过仔细分析，我们将会发现,仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决例8设为矩阵,为矩阵,则AMNBNSMIN,RABRB证明设为齐次线性方程组的解空间,其中我们令12,SVL0X由定理12知又因,由例6于是我们12,CTTCSC知即同理可得,于是结论RABSRABSRARAB成立例9设为阶方阵,则N1NN证明若为满秩矩阵,则结论显然成立现设,则存在自然数使得NK设为齐次线性方程组的解空间,则对任意,1KKRAIV0IAXIV有,于是有,，因,故由定理12知,10II1K,2I1KKR又因,从而1DMKKV1KV现设,则由此得,故22KA10K1KA10KKA于是从而,由定理12得同理可得1KKV20KR231KKNNR例10设为2阶方阵，且,则A0MA2证明不考虑的情况,则设,但,则,0A1RA0M10MA1IRA设为齐次线性方程组的解空间,与例5同样证明方法得1,2IMIVIX121MV设,从而,故,从而,于是10210MA2110A1MAV同理故22A2221,例11设为列矩阵,从中任取出列,组成矩阵,有SBRS证明设,并设为齐次12M12IISB12,TIISX线性方程组的任意解,即有0BX120IIISXX12SMII于是11200IIISMXX即1200,TIIIS是齐次线性方程组的解故齐次线性方程组解空间的维数不小于齐次AX0AX线性方程组解空间的维数由定理1知,即BMRSBRBS在一般教材或习题指导书中,上面几个例题均不是以这种方法证明的,例如,例8常用的方法是利用向量的相互线性表出,例9一般用到线性变换的方法,例10则是讨论2阶矩阵的各种可能的情况,例11用到极大无关组方面的性质这些方法彼此都不同,学生难以在短时间内掌握,而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一涉及知识较少,便于掌握,且解题范围比较全面因此,对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用,对提高学生解题信心,积累解题技巧,是十分有帮助的23线性方程组理论在解析几何中的应用命题1设有平面上四个点,矩阵,如下IIPXY1,234AB,1234XYA211233244XYB则这四点共圆的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相同,即RAB证明设平面上圆的一般方程为,其中为不全为零的20XYABC,ABC常数,考虑关于的方程组,ABC2112233440XYXYCABXYXYC23则由线性方程组的理论可知四点,共圆等价于关于,的IIP1,2ABC线性方程组23有解等价于,ABCRAB命题2设平面上有条直线,且N0IIIXBYC,IN,2412NAB1122NNABC则这条直线相交于一点的充分必要条件是RAB证明考虑方程组11220NNAXBYC则由线性方程组理论可知1这条直线相交于一点只有一个公共点）等价于方程组2有唯一解等价于,XY2RAB命题3设有空间四个点,IIPXYZ1,34I，11223344XYZAZ矩阵的秩,则I当时,四点异面II当时,四点共面ARRR3RIII当时,四点共线IV当时,四点重合21证明对施行初等变换,112,3420IRYXZABA从知B12RAI当时,向量组,线性无关,张成整个三维4R312P1314P空间2,所以四点异面II当时,不妨设的前两行线性无关,向量,线性R2RA212P13无关,于是该组向量可以将向量线性表示,故四点共面,但不共线14PIII当时,与前面类似分析可得,共线R212P134IV当时,即,四点重合10RA121340命题4设有个平面,N0IIIIAXBYCZDIN,1122NNAABC1122NNABCDB则I这个平面只有一个公共点等价于II这个平面相交于一N3RA条直线等价于2RAB证明I考虑方程组11220NNAXBYCZDXYC（25）则由方程组理论可知这个平面只有一个公共点等价于方程组25有唯一解等价N于RA3BII充分性若,则由线性方程组理论知,方程组25有无穷2RAB多个解,其基础解系含有个解向量,全部解为,因此，这个平31101KN面相交于一条直线,该直线的方向向量为必要性若这个平面相交于一条直线,则方程组25有无穷多个解,从NRA又因为这个平面不重合,故3RB1RB2ARB命题5设三角形三条边所在的直线方程分别为已3,1,30IIIAXY知的代数余子式为,则三角形的面积AIJNAIJA26213|AS其中“”的选取使为正值S证明将任意两条直线方程联立,可得到三个方程组,因三条边两两相交,故这些方程组的系数行列式,均不为零且顶点分别为13A23,13123XYA2132XY3123AXY从而123XSY132|A213|致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对周老师表示衷心的感谢参考文献1北京大学数学系高等代数M北京高等教育出版社,19882张禾瑞,郝鈵新高等代数第四版M北京高等教育出版社,19993丘维声高等代数M北京高等教育出版社,19964许绍元,赵礼峰高等师范院校数学教学改革的研究与实践J淮北煤炭师范学院学报自然科学版,22004,64685许绍元,陈亮实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会J淮北煤炭师范学院学报自然科学版,22003,53566